Вопрос №7. Декартово произведение множеств. Мощность декартова произведения конечных множеств.

1. Декартово произведение множеств

Декартовым (прямым) произведением мн-ва А на мн-во В (АхВ) называют множество пар (а, в) таких, что а ∈ А, в ∈ В.

АхВ = {(а, в) | а ∈ А & в ∈ В}

Теорема «Мощность декартова произведения конечных множеств»

Пусть А1, А2, …, Аn — конечные мн-ва и card A1 = m1, card A2 = m2, …, card An = m_n.

Тогда мощность мн-ва А1хА2х…хАn равна произведению мощностей А1, А2, …, Аn.

Доказательство методом математической индуктивности:

1)При n=1

card (А1)=m1

2)Индуктивное предположение

card (A1….Ak) = n1*m2….mk

3)Докажем для n=k+1

Возьмем произвольный вектор (a1,a2,…ak)Є A1,A2…An

| А1×…×Аk+1 |= (m1*...*mk )mk+1

Следствие из теоремы:

card(Aⁿ)=(card A)ⁿ

2. Свойства

1. Если A, B — конечные множества, то A × B — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A × B|=|A| ⋅ |B|.

3. Anp ≠ (An)p — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np, во втором же — как матрицу размеров n × p.

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×A.

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A × B) × C ≠ A × (B × C).

6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗ B) × C = (A × C) ∗ (B × C), ∗∈ {∩, ∪, ∖}

Вопрос №8. Соответствия и их виды, понятия и определения

1. Соответствие G.

Пусть даны 2 множества A и B. Будем понимать под соответствием между множествами A и B любое подмножество G их декартовых произведений.

Говорят, что элемент а ∈ А соответствует элементу в ∈ В при соответствии G, если пара

(а, в) ∈ G.

2. Образ элемента.

Образом элемента a ∈ А при соответствии G называется множество элементов из множества B, с которым элемент a находится в соответствии G.

Образ a = {y∈B | (a,y) ∈G }

Образ 1 = {a,b}

Образ 2 = {Ǿ}

Образ 3 = {c}

3. Прообраз элемента.

Прообразом элемента b ∈ B называется множество элементов из A, которые соответствуют элементу b при соответствии G.

Прообраз b = {x ∈ А | (x,b) ∈ G }

Прообраз a = {1}

Прообраз b = {1}

Прообраз c = {3}

Прообраз d = {Ǿ}

4. Область определения соответствия.

Множество D(G) называется областью определения соответствия G и состоит из тех элементов множества A, образы которых не пусты.

D(G) = {a ∈ А | образ a ≠ Ǿ}

5. Множество значений соответствия.

Множество E(G) называется областью значений соответствия G и состоит из тех элементов множества B, прообразы которых не пусты.

E(G) = {b ∈ B | прообраз b ≠ Ǿ}

6. Всюду определенное соответствие.

Соответствие G называется всюду определенным (В.О.) на множестве А, если его область определения совпадает с А, то есть D(G) =A.

7. Сюръективное соответствие.

Соответствие G называется сюрьекивным (С) на множестве B, если его область значений совпадает с B, то есть E(G) =B.

8. Функциональное соответствие.

Соответствие G называется функцией или функциональным (Ф), если каждый элемент из D(G) имеет в качестве образа одноэлементное множество.

9. Инъективное соответствие.

Функциональное соответствие G называется инъекцией или инъективным, если каждый элемент из E(G) имеет одноэлементный прообраз.

10. Отображение «в» и «на».

Будем называть отображением множества А в множество В всюду определенное соответствие.

Сюръективное отображение множества А в множество В называется отображением множества А на множество В.

11. Биекция.

Инъективное отображение множества А на множество В называется биекцией.

12. Таблица свойств соответствия.

№	В. О.	С	Ф	И
1	0	0	0	0	Соответствие
2	0	0	0	1	—
3	0	0	1	0	Функция
4	0	0	1	1	Инъекция
5	0	1	0	0	Сюръекция
6	0	1	0	1	—
7	0	1	1	0	Сюрьекивным функция
8	0	1	1	1	Сюрьекивным инъекция
9	1	0	0	0	Всюду определенное соответствие
10	1	0	0	1	—
11	1	0	1	0	Отображение А в В
12	1	0	1	1	Инъективное отображение А в В
13	1	1	0	0	В. О. сюрьективное соответствие
14	1	1	0	1	—
15	1	1	1	0	Отображение А на В
16	1	1	1	1	Биекция