Вопрос №4.Операции алгебры множеств
Алгебра множеств - это математическая структура, которая состоит из
некоторого множества и набора операций над элементами этого множества.
Будем называть алгеброй множеств - множество всех подмножеств
универсального множества P(U) и операции объединения, пересечения и
дополнения, удовлетворяющие приведенным выше законам.
Все рассматриваемые далее множества являются подмножествами некоторого универсального множества U.
Определение 1.
Объединением множества А и В называется множество, которое состоит из элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В.
Определение 2.
Пересечение множеств А и В состоит из элементов, которые одновременно принадлежат и А, и В.
Определение 3.
Дополнением к мн-ву А называется мн-во, состоящее из элементов универсального мн-ва, не принадлежащих мн-ву А.
Определение 4.
Разность мн-в А и В состоит из элементов мн-ва А, не принадлежащих мн-ву В.
Определение 5.
Симметрическая разность состоит из элементов, которые принадлежат либо мн-ву А, либо мн-ву В, но при этом не принадлежат пересечению этих мн-в.
Теорема 1. Операция разности множеств является комбинацией операций
пересечения и дополнения.
Доказательство:
Теорема2. Пусть U универсальное множество, A,B,C - его подмножества. Тогда следующие равенства являются тождествами:
Теорема 3. Следующие предложения о произвольных множествах A и B попарно эквивалентны:
Доказательство:
Вопрос №5. Теоремы:
1) A\B 2) Тождества алгебры множеств
3)Теорема о попарной эквивалентности предположений о произвольных множествах
Теорема 1. Операция разности множеств является комбинацией операций пересечения и дополнения.
Из
1 и 2 следует, что А\В=А∩
Теорема 2.
Каждый из законов, как правило, состоит из двух аналогичных по форме равенств, каждое из которых получается из другого путем замены ⋂ на ⋃ и наоборот, ø на универсальное множество и наоборот.
Эти два свойства известны как принципы двойственности, законы 7 и 8 при этом, переводятся сами в себя и называются самодвойственными.
Теорема 3. Следующие утверждения о произвольных множествах А и В попарно эквивалентны.
А Є B
А ⋂ В = А
А ⋃ В = В
Доказательство:
Докажем, что из 1 вытекает 2.
2)Докажем, что из 2 вытекает 3.
Докажем, что из 3 вытекает 1.
Вопрос №6. Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.
Диаграмма Эйлера-Венна — схематичное изображение всех возможных отношений (пересечение, объединение, разность, симметрическая разность, дополнение) нескольких подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества. Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.
Рассмотрим примеры всех возможных отношений:
Пересечение множеств. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.
Обозначение:
или А*В.
Объединение множеств. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.
Обозначение:
или А+В.
з
Разность множеств. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В.
Обозначение: А\В.
Симметрическая разность множеств. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В.
Обозначение:
.
Дополнение к множеству. Дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А.
Обозначение:
.
