Вопрос №40. Задача о кратчайших путях, восстановление кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Алгоритм Флойда
Задача о кратчайшем пути — задача поиска самого короткого пути (цепи) между двумя точками (вершинами) на графе, в которой минимизируется сумма весов рёбер, составляющих путь.
(
x {t})
Алгоритм Дейкстры
Алгоритм Дейкстры – алгоритм, основанный на двух идеях:
Присвоение вершинам графа меток и правиле пересчета меток, при этом окончательные метки – длины кратчайших путей
Экстремальное свойство кратчайшего пути, состоящее в следущем: если кратчайший путь из вершины х в вершину у проходил через z, то его отрезок от вершины х до вершины z – кратчайший путь от х до z, и его отрезок от z до у – кратчайший путь от z до у.
Опишем шаги алгоритма Дейкстры нахождения длин кратчайших путей из вершин S до всех вершин графа. Пусть Х – множество вершин графa:
– начальная
установка меток и массивов (метку вершин
будем обозначать m(x)):
m(s) := 0, m(x) = ∞ для всех х ≠ S
S:{s}, T:X\S
– Правило
пересчета меток и изменения массивов.
Пересчитываются только метки вершин
t∈T,
для которых существуют дуги, ведущие
из множества S.
m(t)
= min(m(t),
m(y)
+ p(
)),
где
– дуга из вершины y
в вершину t
– Из
вершин, метки которых пересчитались,
выбрать вершину t,
имеющую наименьшую метку
S’:= S ∪ {t}, T’:=X\S’
– Правило
выхода из алгоритма: Если S’=S,
то переход на
,
иначе S:=S’,
T:=T’
и переход на
– m(x) – длина кратчайшего пути из вершины S в вершину x, если m(x) = ∞, то пути из вершины S в вершину х на графе не существует.
Восстановление кратчайшего пути
Кратчайший путь от вершины S к вершине t восстанавливается по известным меткам вершин, полученных с помощью алгоритма Дейкстры пошагово от вершины t до возврата в вершину S. Восстановление основано на экстремальном свойстве кратчайшего пути. Опишем один шаг возвращения:
Для
вершины y
∈
(x\{t})
найти такую, для которой выполнено
условие m(t)=m(y)+p(
),
которое восстанавливает последнюю
дугу кратчайшего пути y
после чего выполняется шаг возвращения
от вершины у и т.д.
Пример:
Для
графа, приведенного на рисунке, найти
длины кратчайших путей от вершины
ко всем остальным и восстановить
кратчайший путь из
к
№ шага пересчета меток |
Метки вершин |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
1 |
0 |
1 |
3 |
∞ |
2 |
4 |
∞ |
∞ |
∞ |
2 |
0 |
1 |
3 |
∞ |
2 |
4 |
∞ |
∞ |
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
4 |
2 |
3 |
∞ |
∞ |
2 |
4 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
∞ |
3 |
2 |
5 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
∞ |
3 |
2 |
6 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
6 |
3 |
2 |
7 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
6 |
3 |
2 |
8 |
0 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
Решение задачи свели в таблицу (окончательные метки обозначены голубым)
Проведем восстановление пути из в :
Ясно,
что m(
)
= min
, m(
)
= 4
Выберем путь, например , через
m(
)
= min
, m(
)
= 2
Таким
образом, кратчайший путь из
в
имеет длину 4 и путь
