Вопрос №31. Двудольный граф

Двудольный граф это неориентированный граф G = (W,E), если множество его вершин можно разбить на два непересекающихся множества U ∪ V = W , так, что

• ни одна вершина в U не соединена с вершинами в U и

• ни одна вершина в V не соединена с вершинами в V .

В этом случае, подмножества вершин U и V называются долями двудольного графа G.

Полный двудольный граф K_3,2.

Свойства

• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит  цикла нечетной длины.

• В частности двудольный граф не может содержать клику размером более 2.

• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-раскрашиваем; то есть его хроматическое число равняется двум.

• Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые {\displaystyle k}k элементов одной из долей связаны по крайней мере с {\displaystyle k}k элементами другой.

• Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.

• Любой двудольный граф является совершенным.

Вопрос №32. Деревья. Неориентированное дерево. Расстояние между двумя вершинами графа, глубина вершины, высота дерева, лес, бинарное дерево.

Дерево (неориентированное) – это связанный граф не имеющий циклов.

Ориентированное дерево это связанный граф без циклов, в котором полустепень входа каждой вершины, исключая V0, равна 1 и δ⁺(V0) = 0.

Вершины, полустепень которых = 0, называются листьями.

Расстояние между двумя вершинами графа — это число ребер (дуг) кратчайшей простой цепи (простого пути), соединяющей эти вершины.

Глубина вершины — расстояние от корня до этой вершины.

Высота дерева — глубина максимально удаленной вершины.

Лес — граф, состоящий более чем из одного свободного компонента, каждый из которых является деревом

Бинарное дерево — ориентированное дерево, в котором полустепень выхода каждой вершины не превышает 2.

Вопрос №33. Планарный граф. Примеры непланарных графов. Грань в планарном представлении графа. Мост, перегородка. Теорема о связи числа вершин, ребер и граней (с учетом бесконечной грани) для всякого плоского представления связанного планарного графа без перегородок.

Планарные графы – простой неориентированный граф планарный (плоский) если его можно нарисовать на плоскости или сфере так, что произвольные 2 ребра графа не пересекаются друг с другом.

Примеры непланарных графов:

Грань в планарном представлении графа:

Грань – часть плоскости, ограниченная простым циклом, не содержащая внутри других циклов.

Мост — ребро {Vi, Vj} является мостом в G(V, E), если в G1 после удаления (Vi, Vj) вершины Vi и Vj окажутся в разных свободных компонентах

Перегородка – мост, соединяющий два цикла

Теорема о связи числа вершин, ребер и граней:

Для всякого плоского представления связного планарного графа без перегородок число вершин n, число ребер m и число граней g с учетом бесконечной грани связаны соотношением

n - m + g = 2.

Данная формула называется формулой Эйлера.