задачи и теория к экзамену / Задачи к экзамену

Задача №20. Определите свойства следующих соответствий:

F x, y R 2

y sin 2x ,

G x, y N 2

y x 12 .

Задача №21. Определите мощность множества точек плоскости x0 y ,

обе координаты

которых целые числа. Ответ обоснуйте.

Задача

№22.

Приведите

пример

биекции

между

множествами

A R \ 0

и

B R \ 0 . Докажите, что это биекция.

A N 0

Задача

№23.

Приведите

пример

биекции

между

множествами

и

B 0; 2; 4; 6;... . Докажите, что это биекция.

Задача

№24.

Приведите

пример отношения эквивалентности

на

множестве

A 2;3; 4;5; 6;8;9;10;80 , укажите классы эквивалентности.

Задача №25. Определите свойства отношения «жить в одном городе».

Задача №26. Определите свойства отношения «быть братом».

G x, y Z2

Задача №27. Постройте график соответствия

y

100 x

2

. Определите

его свойства.

Задача №28. Постройте график соответствия G x, y N 2

y x 10 . Определите его

свойства

G x, y N 2

Задача №29. Постройте график соответствия

y 81 x

2

. Определите

его свойства.

G x, y N 2

y x 16 .

Задача

№30. Постройте граф отношения

Определите его

свойства.

G x, y P À P À

card( x) card( y) ,

Задача №31. Задано бинарное отношение

где A 1; 2;

3 . Определите его свойства. Если G отношение эквивалентности, то перечислите

все классы эквивалентности.

F x, y R 2

y 2x .

Задача №32. Определите свойства соответствия

Задача №33. Определите свойства соответствия

F x, y R 2

y 2 x .

Задача №34. Пусть на множестве людей заданы отношения

– «быть сестрой»,

–

«быть мамой». Найдите отношения: 1 1, 1

.

Задача №35. Пусть на множестве людей заданы отношения – «иметь бабушку»,

–

«быть мамой». Найдите отношения: 1 1, 1

.

Задача №36. Задано соответствие

G x, y P Z P N

x y .

Определите его

область определения, область значения и свойства.

Задача №37. Постройте диаграмму Хассе для отношения «быть делителем» на

множестве A 1; 2; 4;5;10;11; 20; 22; 44;55;110; 220 .

Укажите

наибольший,

наименьший,

минимальный и максимальный элементы.

09.03.04

Задача

№38.

Постройте

диаграмму

Хассе

на

множестве

A ; 1 ; 2 ; 3 ; 1;2 ; 2;3 1;2;3 для отношения « ». Укажите наибольший, наименьший,

минимальный и максимальный элементы.

Задача

№39. Задайте

какое-нибудь

отношение

эквивалентности на

множестве

множестве A 2;3; 4;5; 6;8;9;10;54;80 . Укажите наибольший, наименьший,

минимальный и

максимальный элементы.

Задача №41. Задайте какое-нибудь отношение эквивалентности

(докажите) на

1

1

1

1

1

0

1

1

À

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

А

0

0

1

0

отношения, заданного этим графом

1

1

0

0

.

Задача №44. Постройте орграф, заданный матрицей смежности À и определите свойства

1

1

0

1

1

0

1

1

À

0

1

0

1

отношения, заданного этим графом

1

0

1

1

.

Задача №45. Постройте орграф, заданный матрицей смежности À и определите свойства

0

1

0

1

1

1

0

0

А

1

0

1

0

отношения, заданного этим графом

1

1

0

0

.

Задача №46. Постройте орграф,

заданный матрицей смежности À и найдите матрицу

1

1

1

1

1

0

1

1

А

0

0

0

1

сильной связности этого графа

1

0

1

1

.

09.03.04

1

1

1

1

1

0

0

1

А G

0

1

0

1

достижимости этого графа

1

0

1

1

.

Задача №48. Найдите число путей длины 2 в графе, заданном матрицей смежности А

0

1

0

1

1

0

0

1

А

0

0

1

0

1

1

0

0

.

v2

0

2

3

3

8

2

0

9

1

5

3

9

0

7

0

1

7

0

0

3

вершины

8

5

0

0

0

до остальных вершин графа, заданного весовой матрицей

.

Задача №50. Найдите наилегчайшее покрывающее дерево графа, заданного весовой

0

2

6

3

0

2

0

4

2

5

6

4

0

7

0

2

7

0

0

3

0

5

0

0

0

матрицей

и его вес.

Перечень типовых задач к экзамену:

Задача №1. Дано множество

А 1; 2 ; 3; 4 . Какие из утверждений верны: а) 1 A б)

1 A, в) 2 A , г) 2 A, д) card A 4 , е) À P A .

Задача №2. Дано множество А 1; 2 ; 3; 4 ;6 . Какие из утверждений верны: а)1 A , б)

1 A, в) 6 A, г) 6 A , д) card A 3 , е) À P A .

Задача №3. Дано множество А 1; 2; 3; 4 , B 3; 6;

9 . Какие из утверждений верны:

а)

A B б) 3 B , в) 3 A , г) 2 A, д) card A 4 , е)

À B , ж) A B

Задача №4. Дано множество A 1; 6; 7 , B 1; 4; 6; 7 . Какие из утверждений верны:

а)

7 A, б) 1 A, в) 4 B , г) card A2 6 , д) card B A 12 , е) À B .

Задача №5. Дано множество

A 1; 6; 7 ,

B 1; 4 ; 6; 7 . Какие из утверждений

верны: а) 7 A, б) 1 A , в) 4 B ,

г) card A2 4 ,

д) card B A 3 , е) À B .

Задача №6. Даны множества

A 1; 2;5; 7 ,

B 1; 4; 6; 7 ,

Ñ 2; 4; 7; 11 . Найдите

A B Ñ B .

A 0;1; 2;3; 7 ,

B 1; 4; 6; 7 ,

Ñ 2; 4; 7; 11 . Найдите

Задача №7. Даны множества

A B Ñ B .

C \ A B .

Задача №11. Выберите какие из следующих соответствий являются биекцией между

множествами

A 1; 2;5; 7

и

B a;b; c; d : а)

G1 (1, a); (2, d); (5, b); (7, a) ,

б)

G2

(1, b); (7, d); (5, a); (7, c) , в) G3

(1, c); (2, d); (5, b); (7, a) .

Задача

№12. Выберите

какие из следующих соответствий на A B являются

функциями, если A 1; 2;5; 7;10 ,

B a;b; c; d :

а) G1 (10, a); (2, d); (5, b); (7, a) ,

б)

G2

(1, b); (7, d); (5, a); (7, c) , в) G3

(1, c); (2, c); (5, c); (7, c); (10, c)

Задача №13. Выберите какие из следующих соответствий не являются биекцией между

множествами

A 1; 2;5; 7

и

B a;b; c; d : а)

G1 (1, a); (2, d); (5, b); (7, a) ,

б)

G2

(1, b); (7, d); (5, a); (7, c) , в) G3

(1, c); (2, d); (5, b); (7, a) .

Задача №16.

Чему равна мощность множества Z R ? Ответ обоснуйте.

Задача №17.

Мощность множества A2 , где А множество целых чисел из 3; 4 равна?

Задача №18. Чему равна мощность множества A 4 x 5

x Z ? Ответ обоснуйте.

Задача №19. Определите мощность множества всех точек

(с целыми координатами)

Задача №22. Упростите выражение

A \

.

\ B

A

Задача №23. В графе, заданном матрицей смежности À, задайте матрицу инцидентности

1

1

1

1

1

0

1

1

À

0

0

0

1

1

0

1

1

09.03.04

0

1

0

1

1

0

0

1

À

0

0

1

0

отношения, заданного этим графом

1

1

0

0

.

Задача №25. Постройте орграф, заданный матрицей смежности À и определите свойства

1

1

0

1

1

0

1

1

À

0

1

0

1

отношения, заданного этим графом

1

0

1

1

.

Задача №26. Постройте орграф, заданный матрицей смежности À и определите свойства

0

1

0

1

1

1

0

0

À

1

0

1

0

отношения, заданного этим графом

1

1

0

0

.

À и найдите матрицу

Задача №27. Постройте орграф, заданный матрицей смежности

1

1

1

1

1

0

1

À

1

0

0

0

1

сильной связности этого графа

1

0

1

1

.

À и найдите матрицу

Задача №28. Постройте орграф, заданный матрицей смежности

1

1

1

1

1

0

0

1

А G

0

1

0

1

достижимости этого графа

1

0

1

1

.

Задача №29. Найдите число путей длины 2 в графе, заданном матрицей смежности À

0

1

0

1

1

0

0

1

À

0

0

1

0

1

1

0

0

.

Задача

№30. Приведите

пример

отношения эквивалентности на множестве

A 2;3; 4;5; 6;8;9;10;80 , укажите классы эквивалентности.

Задача №31. Определите свойства отношения «жить в одном городе».

Задача №32. Определите свойства отношения «быть братом».

G x, y Z2

Задача №33. Постройте график соответствия

y

100 x2

. Определите

его свойства.

Задача №34. Постройте график соответствия G x, y N 2

y x 10 . Определите его

свойства

G x, y N 2

y

Задача №35. Постройте график соответствия

81 x2

. Определите

09.03.04

Задача №36. Постройте граф отношения

G x, y N 2

y x 16 . Определите его

свойства.

G x, y P À P À

card( x) card( y) ,

Задача №37. Задано бинарное отношение

где A 1; 2; 3 . Определите его свойства. Если G отношение эквивалентности, то перечислите

все классы эквивалентности.

F x, y R 2

y 2x .

Задача №38. Определите свойства соответствия

Задача №39. Определите свойства соответствия

F x, y R 2

y 2 x .

Задача №40. Пусть на множестве людей заданы отношения

– «быть сестрой»,

–

«быть мамой». Найдите отношения: 1 1,

1 .

Задача №41. Пусть на множестве людей заданы отношения – «иметь бабушку»,

–

«быть мамой». Найдите отношения: 1 1,

1 .

Задача №42. Задано соответствие G x, y P Z P N

x y .

Определите его

область определения, область значения и свойства.

Задача №43. Задано соответствие G x, y P Z P N

x y .

Определите его

область определения, область значения и свойства.

Задача №44. Постройте диаграмму Хассе для отношения «быть делителем» на

множестве A 1; 2; 4;5;10;11; 20; 22; 44;55;110; 220 .

Укажите

наибольший, наименьший,

минимальный и максимальный элементы.

Задача

№45.

Постройте

диаграмму

Хассе

на

множестве

A ; 1 ; 2 ; 3 ; 1;2 ; 2;3 1;2;3 для отношения « ». Укажите наибольший, наименьший,

минимальный и максимальный элементы.

Задача

№46. Задайте

какое-нибудь

отношение

эквивалентности

на множестве

множестве

A 2;3; 4;5; 6;8;9;10;54;80 . Укажите наибольший, наименьший,

минимальный и

максимальный элементы.

Задача №48. Задайте какое-нибудь отношение эквивалентности (докажите) на

множестве A треугольник; трапеция; квадрат; ромб; пятиугольник . Укажите классы, на которые

отношение разбивает множество A.

Задача №49. С помощью соответствующего алгоритма найдите кратчайшие пути из

v2

0

2

3

3

8

2

0

9

1

5

3

9

0

7

0

1

7

0

0

3

вершины

8

5

0

0

0

до остальных вершин графа, заданного весовой матрицей

.

Задача №50. Найдите наилегчайшее покрывающее дерево графа,

заданного весовой