какая-то теория / связные графы

ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Связные графы

практическое занятие

Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом или путем в неориентированном (ориентированном)

графе G=(V ,Е) называется чередующаяся последовательность вершин и ребер (дуг) ,

в которой любые два соседних элемента инцидентны.

Замечание 1. Для определения маршрута в

ориентированном графе (или в неориентированном

простом графе) достаточно указать только

последовательность дуг (ребер).

Маршруты, цепи, циклы

В маршруте одно и то же ребро (дуга) может встречаться несколько раз.

•Вершина, из которой начинается маршрут,

называется началом маршрута.

Вершина, в которой заканчивается маршрут,

называется концом маршрута.

• Число ребер маршрута называется длиной

маршрута.

Маршрут называется цепью, если все его ребра

различны.

•Цепь, не содержащая повторяющихся вершин,

кроме, возможно, крайних, называется

простой цепью.

Маршруты, цепи, циклы

Маршрут называется циклическим, если его начало совпадает с концом.

Циклический маршрут называется циклом, если

он является цепью.

Циклический маршрут называется простым

циклом, если он − простая цепь.

Граф, не содержащий циклов, называется

ациклическим.

ЗАДАЧА 1.

Для графа, представленного на рисунке маршрут

Маршруты, цепи, циклы

Утверждение 1. Всякий маршрут,

объединяющий любые две вершины графа,

имеет простую цепь, соединяющую эти

вершины.

Утверждение 2. Всякий цикл в графе

содержит простой цикл.

Связные графы

Связность представляет собой бинарное отношение на множестве вершин графа. Оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Таким образом, отношение связности является отношением эквивалентности на множестве вершин графа и определяет разбиение множества вершин на непересекающиеся подмножества классы эквивалентности.

Все вершины одного класса связаны между собой, вершины из разных классов между собой не связаны. Подграф, образованный всеми вершинами одного класса,

называется компонентой связности данного графа.

Связные графы

Теорема 1. Граф является связным тогда и только

тогда, когда его нельзя представить в виде

дизъюнктивного объединения двух графов.

В ориентированных графах существуют различные виды связности.

Орграф называется связным (или слабо связным), если он связен без учета ориентации дуг. Орграф называется сильно связным, если любые две вершины достижимы друг из друга.

Орграф называется односторонне связным, если для любой пары его вершин по меньшей мере одна достижима из другой.