4-1

УДК 519.8

Котко, Л.А. Симплексный метод. Методические указания и задания для студентов 3 курса специальности 150200(190601) – Автомобили и автомобильное хозяйство / Л.А. Котко, Т.М.Кравец ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО "ВГЛТА". – Воронеж, 2007. – 72 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО "ВГЛТА"

Рецензент канд.физ.-мат.наук, доц.кафедры Теории вероятностей и уравнений в частных производных И.В. Михайлова

Таблица 1

Обозначим через xj количество продукции Aj, которое нужно выпустить по плану. От реализации этой продукции получится прибыль cjxj. Реализация всей плановой продукции обеспечит прибыль

F (X) = c1x1 + ... + cnxn.

Конечно, прибыль тем больше, чем больше xj, но беспредельно увеличивать план нам не позволяют ограниченные ресурсы. Действительно, количество ресурса Si, которое потребуется для производства плановой продукции, будет равно ai1x1+...+ainxn и не должно превзойти имеющийся запас bi этого ресурса. Это приводит к ограничениям

a11x1 + a1nxn ≤ b1,

. . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + amnxn ≤ bm.

Кроме того, конечно, x1 ≥ 0, ..., xn ≥ 0.

Таким образом, мы пришли к стандартной задаче линейного программирования типа (1)-(3).

II. Задача о раскрое

На мебельном комбинате из ДСП делают различные заготовки D1, ..., Dm. Имеются различные способы раскроя плит A1, ...An. Через aaij обозначим количество заготовок Di, получаемых из одной плиты при способе раскроя

Aj,

i 1, ..., m, j 1, ....n.

Согласно плановому заданию нужно произвести bi заготовок вида Di. При производстве заготовок остаются отходы: при раскрое плиты по способу Aj получаются отходы площадью cj. Требуется обеспечить выполнение плана с минимальным количеством отходов. Данные задачи представлены в таблице 2.

Пример 1. Решить систему методом Гаусса-Жордана.

2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 2

−3x1 − 5x2 + 2x3 + 2x4 = 2

4x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 = 1

Выпишем расширенную матрицу системы

43 −3 −2 1

Переставим 1-ю и 2-ю строки

43 −3 −2 1

Умножим 1-ю строку последовательно на (-2), 3, (-4) и сложим соответственно со 2-й, 3-ей и 4-й строками, получим

Переставим местами 2-ю и 3-ю строки

Умножим 2-ю строку на (-2), 5, 5 и сложим соответственно с 1-й, 3-ей и 4-й строками. Получим

Далее, разделим 3-ю строку на 47 и получим нули в 3-м столбце

Наконец, разделив 4-ю строку на 11147 и получив нули в 4-м столбце, приходим к матрице

Восстановленная по последней матрице система имеет вид

x1 = 3

x2 = −1x3 = 2

x4 = 1.

Ответ: x1 = 3, x2 = −1, x3 = 2, x4 = 1.

IV. Базисные решения. Метод последовательного замещения для нахождения всех базисных решений

После приведения системы (5) к виду (7) неизвестным xm+1, ..., xn можно давать произвольные числовые значения и находить из уравнений

x1, x2, ...xm (поэтому неизвестные xm+1, ..., xn и называются свободными). Отсюда видно, что наша система имеет бесчисленное множество решений. Из них выделяется одно, для которого все свободные неизвестные равны нулю: xm+1 = 0, ..., xn = 0. Тогда x1 = f1, x2 = f2, ..., xm = fm. Полученное решение называется базисным. Итак, каждой базисной системе неизвестных отвечает одно базисное решение, для которого значения свободных неизвестных равны нулю.

Базисное решение называется невырожденным, если значения всех базисных неизвестных отличны от нуля: f1 6= 0, f2 6= 0, ...fm 6= 0. В противном случае базисное решение называется вырожденным.

Система уравнений (5) имеет лишь конечное число базисных решений. Действительно, число таких решений не превосходит числа базисных систем неизвестных, а последнее - числа всех возможных комбинаций из n неизвестных x1, x2, ..., xn по m, то есть Cnm. Итак, система (5) имеет не более Cnm базисных решений.

Пример 2. Найти одно базисное решение системы уравнений

Выпишем расширенную матрицу системы

21 1 7 2

Прибавляя ко второй строке третью, получим

Умножим первую строку на (-4), а затем на (-2) и сложим соответственно со второй и третьей строками

Поделим вторую строку на (-2)

Прибавим к третьей строке вторую и к первой вторую, умноженную на (-1), тогда матрица примет вид

Так как система разрешена относительно неизвестных x1, x2, x3, то эти неизвестные базисные. Давая свободной неизвестной x4 значение нуль, получим базисное решение системы (-1, 1, 3, 0).

Для нахождения различных базисных решений не нужно каждый раз заново решать систему (5) относительно базисных неизвестных. Достаточно применить метод последовательного замещения неизвестных. Пусть мы нашли базисную систему неизвестных и решили систему (5) относительно этих неизвестных, то есть привели ее к виду (6). Предположим, что теперь мы хотим вывести из числа базисных неизвестную xr и ввести xs. Это можно сделать с помощью одного шага метода Гаусса-Жордана, если коэффициент hrs 6= 0. Делим r − e уравнение системы (6) на hrs, а затем последовательно умножаем его на his и вычитаем из уравнения с номером i. В результате получим:

Система (8) уже будет разрешена относительно переменных x1, ..., xr−1, xs, xr+1, ..., xm. Таким образом с помощью одного шага

преобразований Гаусса-Жордана мы переходим от одного базисного решения

кдругому и можем перебрать все базисные решения.

Вописанном преобразовании s− тый столбец, r−тая строка и коэффициент hrs называются ключевыми.

Если коэффициент hrs = 0, то можно показать, что система x1, ..., xr−1, xs, xr+1, ..., xm не является базисной.

Итак, для перехода от одного базисного решения к другому за ключевой можно принимать любой коэффициент hrs 6= 0.

Выпишем формулы перехода от системы (6) к системе (8):

Пример 3. Найти все базисные решения системы линейных уравнений