4802

Рис. 1.4.

1.4. Осевые моменты сопротивления

Осевые моменты сопротивления Wx и Wy представляют собой отно-

шения соответствующих моментов инерции к расстояниям до точек, наиболее удаленных от соответствующих осей.

Втаком виде момент сопротивления определяется для поперечных сечений стержней из материалов, имеющих одинаковые прочностные характеристики на растяжение и сжатие (это, как правило, пластичные материалы).

Вслучае если материал имеет различные прочные характеристики на растяжение и сжатие (например, серый чугун, бетон и другие хрупкие материалы), то определяют моменты сопротивления по растянутой и сжатой зонам.

Размерность осевых моментов сопротивления – длина в третей степени (м3, см3, мм3).

Осевые моменты сопротивления используют для нахождения максимальных напряжений при изгибе.

1.5. Определение осевых моментов инерции и моментов сопротивления

Определение осевых моментов сопротивления Wx и Wy сечения,

прямоугольного сечении, показанного на рис. 1.5.

13

В данном случае оси x и y являются главными центральными, т. к. они есть оси симметрии сечения.

1.6. Определение осевых моментов сопротивления

Определение осевых моментов сопротивления Wx для круга, пока-

занного на рис. 1.6.

По формуле (1.2) имеем

Рис. 1.6.

Полярный момент сопротивления W есть отношение полярного мо-

мента инерции I к расстоянию от полюса до максимально удаленной точки

Размерность полярного момента сопротивления – длина в третей степени (м3, см3, мм3).

1.7. Определение полярных моментов инерции и моментов сопротивления

14

Определение полярных моментов инерции моментов сопротивления кольцевого сечения, показанного на рис. 1.7.

Dн - внешний диаметр круга;

Dв - внутренний диаметр круга;

Рис. 1.7.

15

Полярный момент сопротивления используются для определения максимальных напряжений в стержнях круглого сечения при расчетах их на прочность.

1.8. Изменение моментов инерции

Изменение моментов инерции при переходе к параллельным осям, показанных на рис. 1.8.

Изменение геометрических характеристик сечения (фигуры) при переходе к другим осям координат связано с изменением координат точек сечения (фигуры). Поэтому рассмотрим, как изменяется координаты точек при перехода к другим координатным осям.

Пусть xОy

Рис. 1.8.

координатные оси. Координаты центра тяжести элементарной площадки dА суть x и у.

Возьмем координатные оси x1О1y1, параллельные исходным. При этом координаты начала для этих осей (координаты точки О1) будут x01 и y01, а координаты центра тяжести элементарной площадки x1 и y1. Координаты x y и x1 y1 связаны следующим образом:

x x1 x01; y y1 y01.

Следовательно:

16

Как видно из выражения (1.15) и (1.16), статический момент площади сечения относительно оси, параллельной исходной, равен статическому моменту площади сечения относительно исходной оси минус произведение площади сечения на соответствующую координату (в исходной системе координат) начала параллельных координат.

Из выражения (1.17) и (1.18) можно определить либо координаты центра тяжести (координаты точки 01)

x01 SAy ;

y01 SAx ;

либо статические моменты площади относительно осей xОy, параллельных центральным

Из выражения (1.19) и (1.20) видно, что статические моменты площади сечения (фигуры) относительно осей, параллельных центральным, равны произведению площади сечения на соответствующие координаты центра тяжести этой площади.

Соотношениями (1.19) и (1.20) широко пользуются для определения статических моментов площади сложного сечения.

Осевые моменты инерции относительно осей, параллельных исходных,

I x1 x12dA x x01 2 dA x2dA 2x01 xdA x012 dA.

A A A A A

18

Из выражений (23) и (24) следует, что осевые моменты инерции мини-

мальны для осей, проходящих через центр тяжести, так как величины y012 A и

x012 A всегда положительные.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей параллельных исходным имеет вид:

I x1 y1 x1 y1dA x x01 y y01 dA

A A

xy x01 y y01 x x01 y01 dA

A

x ydA x01 ydA y01 xdA x01 y01 dA.

1.9. Изменение статических моментов

Изменение статических моментов площади сечения и моментов инерции при повороте координатных осей на угол , показанного на рис.

1.9.

Выразим новые координа-

ты x1, y1 через исходные

x, y

x1 OA BC

OE cos FE sin ;

x1 x cos y sin . (1.27)

19

Рис. 1.9.

y1 FD CD FE cos AE FE cos OE siny cos x sin ;

Осевые моменты инерции площади сечения относительно осей x1 и y1 имеют вид:

A

cos2 x2dA sin 2 x ydA sin 2 y2dA.

A A A

20

Соотношение (1.31) часто используют для проверки правильности вычислений при определении осевых моментов инерции относительно повернутых осей.

Экстремальные свойства осевых моментов инерции пощади сечения при повороте осей определяют, пользуясь необходимым признаком экстремума

В выражении (1.32) угол обозначает 0 , т.к. это не произвольный угол, как в выражениях (1.29) и (1.30), а угол, при котором первая производная от (1.29) и (1.30) обращается в нуль.

Учитывая, что тангенс изменяется в пределах от -∞ до +∞, главное значение 0 может лежать либо в четвертой четверти, либо в первой. Угол отсчи-

тывается от оси x. Положительный против хода часовой стрелки, а отрицательный – по ходу часовой стрелки.

Центробежный момент относительно оси x1 и y1 и имеют вид: