4708

2. Составление математической модели Рассмотрим самую простую задачу, когда имеется неограниченное коли-

чество пиломатериалов одного типа и требуется составить оптимальный (обеспечивающий минимальные затраты пиломатериалов) план раскроя для выпиловки заданного количества заготовок нескольких типов. Предположим, что схемы раскроя для условий такой задачи составлены. Примем за неизвестные величины количество стандартных заготовок, раскраиваемых по одной схеме раскроя. Обозначим каждое искомое число буквой xi (i=1,2,…,m). Индекс i определяет схему раскроя, m – общее количество схем раскроя. Количество заготовок j-го вида обозначим Bj (j=1,2,…,n). Индекс j обозначает тип заготовки. Каждой схеме раскроя соответствует свой набор заготовок. Количество заготовок j-го типа, получаемое из доски, раскраиваемой по i-той схеме, обозначается bij. Запишем исходные данные в матричной форме (табл. 12).

33

Суммы количества заготовок каждого типа по всем схемам раскроя должны быть равны заданному для выпиловки общему количеству заготовок каждого типа:

b11X1 ... bi1 Xi ... bm1 X m B1;

b1n X1 ... bin Xi ... bmn Xm Bn .

Цель задачи – минимальный расход древесины можно записать так:

X1 X 2 X3 ... X m min .

В более строгой форме написанную задачу можно сформулировать так: требуется найти m переменных ( X1,..., X m ), которые минимизируют линейную функцию.

где i – номер схемы раскроя;

xi – количество досок раскраиваемых по i-той схеме; j – тип заготовок;

Bj – количество заготовок j-го типа, заданное по спецификации;

34

bij – количество заготовок j-го типа, выкраиваемых по i-той схеме рас-

кроя.

3. Составление оптимального плана раскроя с помощью симплекс-метода Добавим к условиям примера, рассмотренного выше, ограничения по количеству заготовок каждого типа. Пусть требуется напилить заготовок первого типа 300 штук, второго типа – 400 штук и третьего типа 300 штук. Требуется составить оптимальный план раскроя. Сведем исходные данные и результаты расчетов для приведенного примера и вышеуказанные ограничения по количе-

ству заготовок в табл. исходных данных 13.

35

Запишем условия задачи в виде

12X1 0X2 0X3 4X4 8X5 4X6 8X7 0X8 0X9 0X10 4X11 300; 0X1 15X 2 0X3 10X 4 5X5 0X 6 0X 7 5X8 10X9

15X10 5X11 400;

0X1 0X 2 32X3 0X 4 0X5 24X 6 8X 7 24X8 16X98X10 16X11 800.

(23)

X 0

Целевая функция

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 min .

Разделив правую и левую часть первого уравнения на 12, второго уравнения на 15 и третьего уравнения на 32, приведем систему уравнений (22) к каноническому виду

Для удобства решения целевую функцию преобразуем к виду

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 max .

Теперь уравнения и целевую функцию запишем в виде симплексной таблицы, форма которой показана ниже.

Чтобы найти элементы индексной строки, нужно все элементы столбца, соответствующего каждой переменной, умножить на соответствующие оценки

36

базисных переменных, сложить полученные произведения и из найденной суммы вычесть соответствующие каждому столбцу значения элементов целевой строки. Результатом будет величина индексов. Индексы рассчитывают для всех столбцов основной части матрицы, единичной матрицы и столбца свободных членов.

Таблица 14

Форма симплексной таблицы

Вычисление величин индексов

Для столбца X1: 1(-1) – (-1) = 0; для столбца X2: 1(-1) – (-1) = 0; для столбца X3: 1(-1) - (-1) = 0; для столбца X4: 0,333(-1) + 0,667(-1) + 0(-1) - (-1) = 0; для столбца X5: 0,667(-1) + 0,333 (-1) + 0(-1) - (-1) = 0; для столбца X6: 0,333(-1) + 0(-1) + 0,75(-1) – (-1) = -0,083; для столбца X7: 0,667(-1) + 0(-1) + 0,25(-1) - (-1) = + 0,083; для столбца X8: 0(-1) + 0,333(-1) + 0,75(-1) – (-1) = - 0,083; для столбца X9: 0(-1) + 0,667(-1) + 0,5(-1) - (-1) = - 0,167; для столбца X10: 0(-1) + 1 (-1) + 0,25(-1) – (-1) = - 0,25; для столбца X11: 0,333(-1) + 0,333(-1) + 0,5(-1) – (-1) = - 0,166.

С некоторой особенностью определяется индекс для столбца свободных членов уравнений. Первоначально соблюдается такая же методика, что и для других столбцов: 25 (– 1) + 26,667 (– 1) + 25 (– 1) = – 76,667. Далее допускаются, что по столбцу свободных членов в целевой строке нуль, тогда – 76,667 – 0 = – 76,667. Так как методика его вычисления отлична, его помещают в отдельной строке. Величина целевой функции с обратным знаком соответствует общему количеству досок; величина свободных членов – это количество досок, раскраиваемых по схемам, указанным в столбце обозначения базисных переменных.

Наличие отрицательных значений индексов в индексной строке указывает на неоптимальность решения, представленного в табл. 15. Переход от неоптимального решения к следующему, более близкого к оптимальному, называет-

37

ся «итерацией». При переходе к следующей симплексной табл. 16 первоначально определяются ключевой столбец, ключевая строка и ключевое число. Ключевым столбцом называется столбец, расположенный в основной части матрицы и содержащий наибольшее по абсолютной величине отрицательное число в индексной строке.

В ключевой строке содержится наименьшее положительное частное от деления элементов столбца свободных членов на соответствующие элементы ключевого столбца (отрицательные, нулевые элементы ключевого столбца при этом не берутся в расчет). Ключевое число лежит на пересечении ключевого столбца и ключевой строки. В индексной строке наибольшее по абсолютной величине число 0,667 находится в столбце Х9, который и будет ключевым в первой симплексной таблице (табл. 15). Частное от деления 26,667 на 0,667 равно 39,98, а частное от деления 25 на 0,5 равно 50, следовательно ключевая строка Х2, а ключевое число 0,667.

Первым шагом в составлении второй симплексной таблице является нахождение главной строки, которая получается путем деления всех элементов ключевой строки на ключевое число. Выделим главную строку второй симплексной таблицы и покажем ее в табл. 16.

В пересечении столбца обозначения базисных переменных с главной строкой вместо старой переменной (в нашем примере Х2) ставят переменную, стоящую в начале ключевого столбца (в нашем примере Х9).

Все элементы табл. 16, кроме тех, которые входят в главную строку, называют производными от чисел табл. 15. Их находят по формуле

где АВ – искомое число, производное числу В; В – число из предыдущей симплексной таблицы, которое заменяется

производным числом в последующей симплексной таблице; С – число, стоящее на пересечении столбца, в котором находится чис-

ло В, и ключевой строки;

D – число, стоящее на пересечении строки, в которой находится число

Ви ключевого столбца;

Е– ключевое число.

38

38

39

По этой формуле находим число, производное 25 из строки Х3

Число производное 0 из пересечения строки Х3 и столбца Х1 равно

A0 0 0 05 0. 0,667

Аналогично находим производные для всех чисел строки Х1 и Х3.

В индексной строке табл. 16 наибольшее по абсолютной величине число 0,083 в столбце Х6, который является ключевым в этой таблице. Ключевая строка Х3, ключевое число 0,75. Вычисляем все элементы главной строки табл. 17, производные числа и индекса. После вычисления производных чисел и индексов оказалось, что в индексной строке два одинаковых по абсолютной величине отрицательных числа в колонке Х10 и Х11. Выбираем в качестве ключевого столбца Х10, в качестве ключевой строки – строку Х9, и ключевое число – 1,499, так как при делении на него свободного члена уравнения получилось минимальное по величине положительное число (табл. 18). Аналогично проводим третью и четвертую (табл. 19) итерацию. Отсутствие отрицательных величин в индексной строке табл. 19 говорит о том, что найдено оптимальное решение. После округления до целых величин результаты этого решения вносим в план раскроя (табл. 20).

40