4708

21

Краткие теоретические сведения

В пиломатериалах хвойных пород основным сортообразующим пороком являются сучки. Общее количество сучков, выходящих на пласти досок, может быть определено по формуле Ю. Р. Бокшанина

сучков на поверхности бревен; α – центральный угол охвата пласти досок.

В формуле (12) распределение сучков на поверхности бревен принимается равномерным. В действительности наблюдается концентрация сучков на поверхности отдельных четвертин бревен, что, по мнению П.П. Аксенова, не исключает использования этой формулы и для этих случаев.

На пластях досок бездефектные участки имеют неодинаковые размеры по длине и ширине. Установлено, что по мере удаления пластей досок от центра торца бревен на них уменьшается и количество сучков. Наибольшая концентрация сучков на пластях досок соответствует участкам, прилегающим к продольной оси досок, а наименьшая – к периферии. Вследствие уменьшения размеров сучков при выработке досок ближе к центру некоторая их часть переходит в неучитываемые.

По ширине досок сучки распределяются по закону кривой Гаусса относительно продольной оси. Поэтому при продольном раскрое досок меньше сучков попадает в узкие заготовки. Это повышает их сортность и уменьшает переход годной древесины вместе с пороками в вырезки.

Размер сучков, выходящих на пласть доски, может быть определен по формуле

22

где dδ – размер сучка на поверхности бревна; dc – искомый размер сучка на пласти, находящийся на расстоянии z, от центра торца бревна; z – расстояние от центра торца бревен до пласти доски; d – диаметр бревна; β – угол наклона сучка к оси х, перпендикулярной к пласти.

По принятому в России методу размеры сучков определяются по расстоянию между касательными, проведенными параллельно продольной оси доски. Поэтому сучок одного и того же размера d δ , выходящий на поверхность бревна диаметром d, расположенный под утлом β к оси х на пласти досок на расстоянии z, будет иметь различные размеры (рис. 17). Минимальные размеры он будет иметь при совпадении его оси с осью х, а с увеличением угла наклона к этой оси его размер будет увеличиваться.

Рис. 17. Схема расположения сучков под разными углами к оси х

Если размеры сучка, расположенного под углом к оси х, разделить на размеры того же сучка при совмещении его с осью х, то отношение их будет:

при β =0° 1,00; при β =30° 1,35; при β =45° 2,06; при β =60° 4,26.

Закономерности распределения сучков на поверхности пиломатериалов учитываются при разработке теорий раскроя досок на заготовки, а также при моделировании и оптимизации раскроя хлыстов, бревен и пиломатериалов.

23

Контрольные вопросы:

1.Каким образом можно прогнозировать количество сучков на пластях

досок?

2.Какая существует закономерность в отношении наличия сучков на пластях досок по мере удаления последних от оси бревна?

3.Как изменяется диаметр сучка на пластях досок по мере его удаления от оси бревна?

4.Каким образом надо распиливать бревно с тем, чтобы размеры сучков на пластях досок были минимальны?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ПИЛОМАТЕРИАЛОВ НА ЗАГОТОВКИ

Цель работы: Познакомиться с одним из возможных методов оптимального планирования раскроя пиломатериалов на заготовки.

Порядок выполнения работы

Получить от преподавателя обрезную или необрезную доску (замерить ее параметры: толщину, ширину, длину и качество), а также несколько типов планируемых к выпиловке заготовок, качество и толщина которых совпадают с качеством и толщиной доски, а ширина и длина резко отличаются.

Ознакомиться с помещенным ниже теоретическими положениями по оптимизации раскроя пиломатериалов на заготовки.

Выбрать целесообразный для данного конкретного случая способ раскроя пиломатериалов.

Пользуясь формулами, приведенными в теоретической части, определить количество схем раскроя пиломатериалов.

Построить все возможные схемы раскроя по ниже представленной форме (табл. 9).

Определить в каждой схеме количество заготовок того или иного типа и получаемый при этом объемный выход.

24

Составить математическую модель раскроя пиломатериалов на заготовки. Составить оптимальный план раскроя с помощью симплекс-метода, опе-

ративным методом по «шкалам» или ЭВМ. Сделать выводы.

Краткие теоретические сведения

Для решения задач оптимизации планирования раскроя пиломатериалов используется математический аппарат линейного программирования. Методика решения этих задач включает в себя три основных этапа:

подготовка исходных данных; составление математической модели; непосредственное решение задачи. 1. Подготовка исходных данных

1.1. Варианты планирования раскроя пиломатериалов на заготовки Классификация всех возможных начальных условий и результатов пла-

нировании раскроя в зависимости от начальных условий показана в табл. 10. Буквами Н в таблице обозначено неограниченное, а буквой О – ограниченное количество пиломатериалов или заготовок. Всего имеется 16 различных вариантов начальных условий и результатов раскроя. Каждый из этих вариантов обозначается двумя цифрами. Например, вариант 3-2 означает, что задано несколько типов пиломатериалов ограниченного количества для выпиловки неограниченного количества заготовок одного типа, и при этом получается единственное решение. Из таблицы видно, что все варианты для одного типа заготовок ограниченного или неограниченного количества приводят к единственному решению. Решение сводится фактически к отысканию схемы раскроя, обеспечивающей максимальный выход заготовок заданного типа.

25

26

Все варианты для нескольких типов заготовок неограниченного количества приводят в случае отсутствия ограничений на соотношение разных типов заготовок по количеству к получению неопределенного множества решений. В том случае, если в вариантах с несколькими типами заготовок количество этих заготовок ограничено, может быть найдено оптимальное решение.

Целью решения задачи для вариантов 1-1, 2-1, 3-1 и 4-1, где количество пиломатериалов и заготовок не ограничено, является составление планов раскроя пиломатериалов на заготовки на условно принятое количество пиломатериалов или заготовок или на условно принятый срок работы раскроечного цеха.

Целью решения задачи для вариантов 1-2, 2-2, 3-2, 4-2, где количество пиломатериалов ограничено, а количество заготовок не ограничено, является составление плана раскроя, обеспечивающего максимально возможный выход заготовок. Причем, решения задач в вариантах 2-1 и 2-2, 4-1 и 4-2 могут стать единственными в случае, если задано соотношение количества заготовок разных типов.

Целью решения задач для вариантов 1-3 и 1-4, 2-3 и 2-4 , 3-3 и 3-4, 4-3 и 4-4 является выполнение спецификации на заготовки при минимальных затратах пиломатериалов.

1.2. Выбор способа раскроя При выборе способа раскроя учитывают породу, степень обработки, ка-

чество сырья – пиломатериалов; размеры и требования к качеству заготовок; возможности способов раскроя.

1.3. Требования к схемам раскроя и расчет их общего количества Все схемы раскроя для одной спецификации должны соответствовать вы-

бранному способу раскроя.

Количество типов заготовок при механизированном раскрое пиломатериалов без разметки не должно превышать трех в одной схеме. При предварительной разметке число типов заготовок в одной схеме не ограничивается, а при автоматизированном раскрое число типов заготовок определяется техническими возможностями оборудования.

Схемы должны быть информативными, то есть содержать номер схемы и номер типа пиломатериалов, номер и количество заготовок каждого типа, объемный выход заготовок.

Для расчета общего количества схем раскроя схему раскроя можно представить как сочетание с повторениями элементов-заготовок, зависящее от размеров заготовок.

27

Пусть n – общее число типов заготовок в спецификации, m – количество типов заготовок в одной схеме, t – максимально возможное по условиям технологии количество типов заготовок в одной схеме.

C m t

Общее количество схем раскроя n в этом случае можно представить как сумму сочетаний разложения по индексу m

В формуле (14) каждый член может быть вычислен по известной формуле

Каждое из полученных по формуле (15) сочетаний не обычно, а с повторяющимися элементами, зависящее от размеров элементов-заготовок. Назовем такие сочетания размерными и для их обозначения рядом с индексом n будем ставить индекс p. Для удобства проектирования схем в размерных сочетаниях вверху будем ставить индексы заготовок, обозначающие их типы. В каждом размерном сочетании суммарное количество индексов заготовок должно быть

мерного сочетания буквой R, величину элементов размерного сочетания обозначим буквой r. R и r соответствуют размерам ширины доски и заготовки при продольно-поперечном способе раскроя или размерам длины заготовки – при поперечно-продольном способе раскроя.

ность > ri+k + ri+l. Если 4) разность ≤ ri+k + ri+l , то последний член формулы опускается.

Для учета потерь древесины на пропилы вводится дополнительное усло-

вие

n

R ri z t ,

i 1

где R – размер ширины доски, мм;

ri – размер ширины i-той заготовки, мм; z – число пропилов, шт;

t – ширина пропила, мм.

При невыполнении дополнительного условия из целой части частного от деления дополнительно вычитается единица, если самих узких заготовок по схеме содержится один ряд или, если самих узких заготовок несколько рядов. Число этих заготовок уменьшается на один, а число схем остается в соответствии с основным условием.

При вычислении по формулам (16) и (17) результатом является целая часть частного от деления. Остаток выражается в натуральных единицах измерения.

Ниже приводятся формулы для расчета общего количества схем раскроя при различных значениях n и m:

29

Цифры в скобках показывают, по какому типу заготовок проверяется величина остатка от деления.

Рассмотрим пример. Дан один тип обрезных досок хвойной породы сечением 40×200 мм, длиной 5 м и три типа заготовок:

1)сечением 40 × 60 мм, длиной 1,2 м;

2)сечением 40 × 50 мм, длиной 0,9 м;

3)сечением 40 × 40 мм, длиной 0,6 м.

Требуется рассчитать, построить все возможные схемы раскроя для числа заготовок в одной схеме не больше трех.

30

Для условий задач подходящим является продольно-поперечный способ раскроя. Расчет ведем по формуле (21) для размеров ширины.

=3+2+2+3+1=11 схем.

При вычислении четвертого члена формулы (21) для заданных условий задачи имеем 200/60=3 и остаток 20<50, где 50 – размер заготовки (мм) второго типа, по которому проверяется величина остатка. Согласно основному условию

(2) формулы (16) результат равен 3 – 1 = 2. Дополнительное условие соблюдается: 20>3×4, то есть величина остатка больше расхода древесины на пропилы. Аналогично получены результаты и для других членов формулы. Результаты последнего и предпоследнего членов формулы пришлось опустить по условию

(4) формулы (17).

Результаты построения схем раскроя для каждого члена формулы (21) приведены в табл. 11. В этой таблице n1, n2 и n3 – это соответственно количество заготовок каждого типа из спецификации, шт, а О – объемный выход заготовок полученный после раскроя, %.

Таблица 11

Построение схем раскроя