4681

2

УДК 517.5(075.8)

Котко, Л. А. Математика. Элементы функционального анализа [Текст] : методические указания для самостоятельной работы студентов специальности 190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство / Л. А. Котко, С. В. Писарева ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2010. – 24 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 8 от 23 апреля 2010 г.)

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры цифровых технологий ВГУ С.А. Скляднев

3

1.МНОЖЕСТВА

1.1Множества

Множества, как правило, обозначают прописными буквами некоторого алфавита A, B, C, N. R… Элементы множества обычно обозначают строчными буквами a, p, e, x, t… Знак обозначает принадлежность;

читается «элемент x принадлежит множеству M»; читается «элемент x

не принадлежит множеству M».

Буквами N, Z, Q, R обозначают, как правило, множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно.

Перечислим некоторые, наиболее употребляемые, способы задания множеств:

а) множество может быть задано путем перечисления всех его элементов; например, множество всех цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; множество лиц, присутствующих в комнате {Коля, Володя, Ира, Лена, Оля}; множество всех трехзначных чисел в двоичной системе исчисления {100, 101, 110, 111} и т.п.

b) Множество M может быть задано путем формулирования некоторого

5

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее

из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2).

Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся без остатка на три, состоит из всех целых чисел, делящихся

состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (см. рис. 3). Ясно, что А\А=.

(и только они одни), дополнение множества В до множества А называют просто дополнением.

6

Очевидно, что для любого множества А выполняется АА. Принято также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством каждого множества: А. Для любого множества А само А и пустое множество называются его несобственными подмножествами. Если же А, и существует элемент x такой, что x не принадлежит А, то А называется собственным подмножеством множества В.

Пример 1. Даны множества А, В и С. С помощью операций объединения и пересечения записать множество, состоящее из элементов, принадлежащих:

1) всем трем множествам; 2) хотя бы одному множеству; 3) по крайней мере двум этим множествам.

Решение. 1) (АВ) С;

2)(АВ) С;

3)(АВ) (СВ) (АС).

Пример 2. Найти АВ, АВ, А\В, В\А, если А={-4, -3, -2, -1, 0, 1}, B={-1, 0, 1, 2, 3}.

Решение. АВ={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, АВ={-1, 0, 1}, А\В={-4, -3, -2}, В\А={2, 3}.

1.3 Эквивалентные множества

Говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А сопоставлен один и только один элемент множества В так, что различным элементам множества А сопоставлены различные элементы множества В и каждый элемент множества В оказывается сопоставленным некоторому элементу множества А.

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называют эквивалентными.

Если множества А и В эквивалентны, то пишут А В.

7

Если А, и В не эквивалентно А, то говорят, что множество

А имеет меньшую мощность, чем множество В.

Множество А называется конечным, если существует такое число nN,

что А {1, 2, 3,…,n}.

В этом случае говорят, что множество А содержит n элементов или что множество А имеет мощность n.

Мощность пустого множества принимается равной нулю. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Множество А называется счетным, если АN .

Множество называется несчетным, если оно имеет мощность, большую, чем мощность множества N.

Теоремы Кантора.

1.Множество всех рациональных чисел счетно.

2.Множество всех действительных чисел несчетно.

.

Пример 1. Перечислите элементы множеств A, B:

8

1)A={1, 2}, B={3, 4, 5};

2)A=, B={1, 2, 3, 4}.

Решение. По определению

Порядок построения данного множества будет следующий: вначале перечислим все пары, первый элемент которых равен первому элементу множества А, а второй берется из множества В в том порядке, в котором они записаны в множестве В, затем аналогично берем второй элемент из А и составляем пары со всеми элементами из В и т.д.

Аналогичен и метод построения множества

2)=поскольку множество А пусто и мы не можем

составить ни одной пары.

Теорема 1. Мощность прямого произведения конечного числа конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств.

Множество называется k-ой степенью множества A. Из теоремы о мощности прямого произведения следует:

Пример 2. Пусть A={3, 4}. Перечислите элементы множества. Решение. По определению

=

Пример 3. Пусть E={0, 1}. Найти мощность множества

отношения. Ниже мы будем рассматривать только бинарные отношения. Если

чисел рассмотрим отношения: а) иметь один и тот же остаток от деления на пять; 2) иметь общий делитель, отличный от единицы. На множестве плоских

множестве натуральных чисел является объединением отношений « < » и « = ». Отношение « > » является дополнением отношения « », а отношение

Примерами рефлексивных отношений являются отношения « », « = » и « » на произвольном числовом множестве.

Отношения «жить в одном городе», «иметь общий делитель, отличный от единицы» на множестве целых чисел, «быть симметричным относительно оси» на множестве точек плоскости являются примерами симметричных отношений.

Отношения « < », « », « = » на множестве действительных чисел, отношение параллельности прямых, отношение «быть соседом» являются транзитивными. Отношение перпендикулярности прямых, отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» на множестве натуральных чисел свойством транзитивности не обладают.

Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 4. Для бинарного отношения выясните, какими свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) оно обладает и какими не обладает.

1) на множестве

А={1, 2, 3};