4681
.pdf
21
Пример 3. Пусть 
- некоторая фиксированная непрерывная функция на [a, b]. Положим для любой функции
F(x)= 
.
Линейность этого функционала следует из основных свойств операции интегрирования.
6. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть 
- линейное пространство. Нормой в 
называется конечный функционал p, удовлетворяющий трем условиям:
1)p(x) 
причем p(x)
только при x=0;
2)p(x+y) 
где x, y 
3)p(
)=
каково бы ни было число 
.
Линейное пространство 
, в котором задана некоторая норма, мы назовем нормированным пространством. Норму элемента 
мы будем обозначать символом 
.
Пример 1. Прямая линия
становится нормированным пространством,
если для каждого числа
положить 
.
Пример 2. Если в действительном n - мерном пространстве 
с элементами x=(
положить
,
то все аксиомы нормы будут выполнены.
В этом же линейном пространстве можно ввести норму
и норму
=
.
22
Пример 3. В пространстве 
непрерывных функций на отрезке [a,
b] определим норму формулой
=
.
7. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Один из хорошо известных способов введения нормы в линейном пространстве – это задание в нем скалярного произведения. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве 
называется
действительная функция (x, y), определенная для каждой пары элементов x, y 
и удовлетворяющая условиям:
1)(x, y) = (y, x);
2)(x, 
)=(x, 
);
3)(
x, y) = 
(x, y);
4)(x, x) 
причем (x, x) 
только при x=0.
Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве
норма вводится с помощью формулы
|
|
|
|
. |
Если (x, y)=0, то векторы x и y называются ортогональными. |
||||
Система ненулевых векторов { |
} называется ортогональной, если |
|||
( |
)=0 при |
. |
|
|
Если векторы { } образуют ортогональную систему, то они линейно |
||||
независимы. Действительно, пусть |
|
|
||
|
|
+ |
+ …+ |
=0, |
если { |
} - ортогональная система, то |
|
|
|
( |
+ |
+ …+ |
( |
)=0, |
т.к. (
)
0 , имеем
=0 для всех i=1, 2, …,n.
23
Если ортогональная система {
} полна (т.е. наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство равно 
), то она называется ортогональным базисом. Если при этом норма каждого элемента равна 1, то система {
} называется ортогональным нормированным базисом. Вообще, если система {
} (полная или нет) такова, что
(
)=
то она называется ортогональной нормированной системой. Ясно, что если
{ } |
- ортогональная система, то |
ортогональная |
нормированная |
система. |
|
|
|
|
Пример 1. n – мерное арифметическое пространство |
с элементами |
|
x=( |
, с обычными операциями сложения и умножения в нем и |
||
скалярным произведением |
|
|
|
|
(x, y)= |
|
|
представляет собой пример евклидова пространства. Ортогональный базис в нем образуют векторы
…………………..
Пример 2. Пространство 
, состоящее из непрерывных на [a, b]
действительных функций, со скалярным произведением
(f, g)= 
также представляет собой евклидово пространство.
24
6-00
Библиографический список
Основная литература
1.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : учебное пособие : В 2 т. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2001. –
Т.1-2.
|
Дополнительная литература |
|
|
2. |
Ильин, В. А. Линейная алгебра [Текст] : учебник / В. |
А. Ильин, |
|
|
Э. Г. Позняк. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 280 с. |
|
|
3. |
Веневитина, С. С. Элементы дискретной математики, методов |
||
|
оптимизации и исследования операций [Текст] : учебное |
пособие |
/ |
|
С. С. Веневитина, Е. В. Горохов, Ю. И. Пастухова. – Воронеж, 1998. |
– |
|
|
126 с. |
|
|
Людмила Антоновна Котко Светлана Вячеславовна Писарева
МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Методические указания для самостоятельной работы студентов специальности
190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство
Редактор Е.А. Попова
Подписано в печать 28.06.2010. Формат 60×90 /16. Объем 1,5 п. л. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 150 экз. Заказ
ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия» РИО ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8 Отпечатано в УОП ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394087, г. Воронеж, ул. Докучаева, 10