Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4619

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	1			1					1	1		1	1		1		5	.

6 7	3 2 2		6 7			3 1 2			6	6 42		6			16		32
Пример 2. Воспользуемся методом интегрирования по частям для
вычисления определённого интеграла:
		b					b
		b					b
		udv		uv	ba			vdu
		udv						vdu
4		a					a				x				4	1	4




x cos 2x dx =		u	x	dv			cos 2xdx			=		sin 2x					sin 2xdx
x cos 2x dx =		u	x	dv			cos 2xdx			=		sin 2x					sin 2xdx
0							1			2				0		2	0
0		du	dx	v				sin 2x						0			0

							2
							2

								1
=	4	sin		2			0	1	cos 2x
=		sin		2			0		cos 2x
2					4			4
			1	0		1	1		2	.
8		4		0	4		1	8		.
8		4			4			8
		Пример 3.					e ln3	x dx			=
		Пример 3.					1	x			=
								x

4		sin	1	cos		1	cos 0
			1			1

0	8	2	4		2	4
0

	Замена переменной :
			dx		1		t4	1
								1

=	ln x	t,		dt	=	t3dt
=	ln x	t,	x	dt	=	t3dt	4
			x		0			0
	t(1)	0, t(e)		1	0			0
	t(1)	0, t(e)		1

1		0		1	.
4	4		4

Пример 4.

Воспользуемся правилом интегрирования ( ) и табличным

интегралом 4):

dx = 3 e4

3 e4 4

e4 3

3 e0

3 1 e 3 e 1 .

Пример 5.

Построить фигуру, ограниченную заданными линиями

y x2

3x 5 и y x 2,

и вычислить её площадь.

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему

y x2 3x 5, y x 2.

Решим полученную систему уравнений, приравняв их правые части

x2	3x	5	x 2
x2	2x	3	0
x1	3;	x2	1.

Для построения графиков заданных функций в системе координат xOy уточним ординаты точек их пересечения:

3 2

5, A 3; 5 ; y2 1 2

B 1; 1 .

Площадь, ограниченная графиками функций										y			f (x) и y			g(x),
удовлетворяющих условию					f (x)	g(x) , вычисляется по формуле
						b
					S	g( x)		f ( x) dx .
						a
В нашем случае			g(x)		x	2, f (x)		x2	3x			5, следовательно,
1						1								x3				1
																		1


S		x 2 x2	3x 5 dx				x2	2x 3 dx							x2	3x
S		x 2 x2	3x 5 dx				x2	2x 3 dx					3		x2	3x
3						3							3					3
3				( 3)3		3												3
	1	1 3		( 3)3		( 3)2	3 ( 3)				1		2 9 9 9 10				2		.
3		1 3			3	( 3)2	3 ( 3)			3			2 9 9 9 10				3		.
3					3					3							3

Пример 6. Вычислить объём тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Решение. Каноническим уравнением

гиперболы является уравнение

следовательно,

есть уравнение

гиперболы с

полуосями a

2 и b 3. Изобразим

на

чертеже фигуру,

ограниченную

заданными линиями, учитывая, что

4 –

это уравнение вертикальной

прямой.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,

ограниченной

линиями

f (x),

b) ,

вычисляется по формуле

f 2 (x) dx .

В нашем

случае

поэтому

4	9		2		9		x3		4


V		x		9 dx				9x

Ox	4				4	3
2									2

43 43 9 4

3	23	9 2	12	12	24 .
4

2.5.Индивидуальные задания

Задача № 1. Вычислить указанные определённые интегралы.

Вариант 1.


	dx		2	2		15	dx
	dx	;	2. sin3 x cos x dx ;	3. x ln x dx ;	4.		dx	.

							5 x2
7 2x
				1
				1		5
			6

Вариант 2.

	4		3	x dx		e
			3
1.	3x 7 dx ;	2.			;	3.

				sin2 x
	3					1
		4

				1
ln x		dx ;	4.	1	dx	.
ln x					dx


	x			0	4 x2

Вариант 3.

dx		1	3		3	dx
	;	2. ex sin(ex ) dx ; 3.	ln x dx ;	4.			.

						9 x2
2x 1
		0	1		0

Вариант 4.

	3			3				0				4
	3				2	dx		0		x	e3x2 2 dx ; 4.	4
1.		4x 3 dx ; 2.				dx			; 3.	x		sin 4x dx .
										2
	1		1			(arcsin x)3	1 x2
	1		1		2	(arcsin x)3	1 x2	1				0
					2
		Вариант 5.

dx		e	3			8	dx
	; 2.	x3 ln x dx ;	3. x2	x3	3 dx ; 4.				.

3x 2							cos2	2x
		1	1			0

Вариант 6.

	1							2			5		x5			3
	1			x				2			5					2			dx
1.	3			x	dx		;	2.	(5x 5) sin 3x dx ;	3.				dx ;	4.	2			dx
																					.
			3								2 7		2x6								.
	3		3								2 7		2x6			2		9 x2
																2
		Вариант 7.
	2		dx						2		1	2	1 x3			1		dx
			dx									2	1 x3			3		dx
																3
1.						;		2.	0 (x 5) ln 5x dx ;	3.	0 x e dx ;				4.	0				.
1.	0	1 2x 2				;		2.	0 (x 5) ln 5x dx ;	3.	0 x e dx ;				4.	0	1 9x2			.

Вариант 8.

0				dx						0						2				3		x	1
1.				dx				;	2.	( x	2)		e3x dx ;		3.	sin2 x cos x dx ;			4.		e	3	1	dx .

			6x		5		3
							3
1										2						0				0
		Вариант 9.
1	1				x					2	e4 5 x5				2					2			dx
1.	1				x		dx ;		2.	x4			dx ; 3.		(9x		5) cos 2x dx ;		4.				dx		.
1.							dx ;		2.	x4			dx ; 3.		(9x		5) cos 2x dx ;		4.						.
1	3				2					1					0					0	cos2 3x
1										1					0					0
		Вариант 10.
	1															1			1
	1										3	cos x				1			1	dx
														dx ;			e x dx ;							.
1.	4					5x dx ;				2.					3.	x		4.
1.	4					5x dx ;				2.					3.	x		4.
12												sin3 x				0			0	x2			1
											6

Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Сделать чертеж.

Вариант 1.	y	x2	x 1; y			x	2.
Вариант 2.	y	x2	6x	4;	y	2x		1.
Вариант 3.	y	x2	3x	1;	y	2x		3.
Вариант 4.	y	x2	4x	9;	y	x		3.
Вариант 5.	y	x2	4x	5;	y	3x		1.
Вариант 6.	y	x2	2x	9;	y	4x		1.
Вариант 7.	y	x2	7x	3;	y	x	5.
Вариант 8.	y	x2	5x	17;	y	2x		5.
Вариант 9.	y	x2	11x	9;	y	4x		3.
Вариант 10.	y	x2	2x	3;	y		x	1.

Задача № 3. Вычислить объём тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.

Вариант 1. y sin x, y 0, x 0, x

Вариант 2. xy 4, y 0, x 1, x 4.

Вариант 3.	x2		y2	1.
	32	22

Вариант 4.	y	2				1	x	2	,	y	0.
Вариант 4.	y	2			2		x		,	y	0.
					2
Вариант 5.	y	tgx,					y			0,	x				.
Вариант 5.	y	tgx,					y			0,	x		4		.
Вариант 6.	y	8		,			y			0,	x	2,					x	8.
Вариант 6.	y		x	,			y			0,	x	2,					x	8.
			x
Вариант 7.	y	cos x,						y		0,	x								,	x				.
Вариант 7.	y	cos x,						y		0,	x						2		,	x			2	.
Вариант 8.	y		1	x	2		1,			y	0,		x				0,			x			3.
Вариант 8.	y	6		x			1,			y	0,		x				0,			x			3.
		6
Вариант 9.	y	ctgx,						y		0,	x					,			x			.
Вариант 9.	y	ctgx,						y		0,	x			4		,			x		2	.
Вариант 10.	y		4x				x2 ,			y	0,			x				0,		x			3.

2.4. Вопросы для самоконтроля и проверки

1.Что такое интегральная сумма и в чем заключается ее геометрический

смысл?

2.Сформулируйте определение определенного интеграла.

3.Какие функции являются интегрируемыми?

4.Чему равен определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования?

5.Как изменится значение определенного интеграла, если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования?

6.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

8.Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?

9.Как найти объем тела вращения?

Библиографический список

Основная литература

1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2020. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»

Дополнительная литература

1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2020. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2020. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.22 Mб24613.pdf
#
08.01.20211.22 Mб24614.pdf
#
08.01.20211.22 Mб34615.pdf
#
08.01.20211.23 Mб54616.pdf
#
08.01.20211.23 Mб44618.pdf
#
08.01.20211.23 Mб04619.pdf
#
08.01.2021200.59 Кб1462.pdf
#
08.01.20211.24 Mб24620.pdf
#
08.01.20211.24 Mб54621.pdf
#
08.01.20211.24 Mб44622.pdf
#
08.01.20211.24 Mб24623.pdf