4611

21

Лекция № 3

Понятие о неравновесной термодинамике

ВОПРОСЫ

3.1.Живые организмы, сообщества, ценозы, биосфера - открытые термодинамические системы. Полная система уравнений переноса. Теорема Онзагера.

3.2.Теорема Пригожина.

3.1.Живые организмы, сообщества, ценозы, биосфера – открытые термодинамические системы. Полная система уравнений переноса.

Теорема Онзагера.

Классическая термодинамика дает количественное описание равновесных (обратимых) процессов, в которых в силу достаточной медленности процесса в каждый момент времени состояние системы можно считать равновесным, т.е. все ее параметры, имеющими определенное (единственное для всей системы) значение.

Для неравновесных процессов классическая электродинамика дает лишь неравенства, указывающие направление процесса. Между тем реальные процессы часто существенно неравновесны. Это в большой степени относится к живым организмам, экологическим системам, биосфере в целом - так называе-

мым открытым системам, которые обмениваются с окружающей средой

веществом, энергией и импульсом.

Применение второго начала термодинамики к биологическим системам в его классической формулировке приводит к парадоксальному выводу, что процессы жизнедеятельности идут с нарушением принципов термодинамики. Дело в том, что усложнение и увеличение упорядочности организмов в период их роста происходит самопроизвольно. Оно сопровождается уменьшением, а не увеличением энтропии, как следовало бы из второго начала. Но, увеличение энтропии в необратимых процессах должно происходить в изолированных системах, а биологические системы являются открытыми. Проблема состоит в том, чтобы понять, во-первых, как связано изменение энтропии с параметрами процессов в открытой системе, во-вторых, можно ли вообще предсказать направление необратимых процессов в открытой системе по изменению ее энтропии. Утверждается, что общее изменение энтропии dS открытой системы может происходить независимо либо за счет процессов обмена с внешней средой deS, либо вследствие изменений внутренних необратимых процессов diS

(2.15)

Во всех реальных случаях diS˃0, и только если внутренние процессыидут равновесно и обратимо, то diS=0. Для изолированных систем deS=0, и мы приходим к классической формулировке второго начала термодинамике:

координат).

Если выбрать систему координат так, чтобы направление grad совпадало с направлением одной из координатных осей, например осью z , то величина градиента будет равна производной от функции именно по этому направлению:

Интенсивность переноса вещества, тепла, заряда, импульса характеризуется потоком соответствующей величины - количеством этой величины, проходящей в единицу времени через данную поверхность. Чтобы сравнить между собой потоки через разные поверхности вводится вектор, называемый плотностью потока, равный по величине потоку через площадку единичной площади, перпендикулярную градиенту соответствующей функции, а по направлению совпадающий с направлением потока. Как показал опыт, плотности потоков будут пропорциональны соответствующим градиентам:

го тока, соответственно;

, D, , – коэффициенты теплопроводности, диффузии, вязкости, электропроводимости;

T, ,v, – температура, плотность, скорость течения, электрический потенциал.

Как видим, все эти явления описываются уравнением одного типа:

Естественным обобщением уравнения (2.20), характеризующего поток, создаваемый одной силой, на случай одновременного действия нескольких сил является система уравнений:

24

Уравнения (2.21) называются феноменологическими уравнениями термодинамики неравновесных процессов.

Существенно новым является здесь взаимное влияние всех этих процессов: каждая обобщенная сила, вообще говоря, влияет на формирование всех потоков. В результате возникают так называемые перекрестные эффекты, например, градиент температуры может вызвать поток вещества в многокомпонентных структурах (термодиффузия), а градиент концентрации - поток теплоты (диффузионный термоэффект).

Одна из основных теорем термодинамики неравновесных процессов установлена Л. Онзагером (1931 г.), она утверждает, что, если нет магнитного поля и вращения системы в целом, то

т.е. коэффициент переноса i-того потока под действием k-той силы равен коэффициенту переноса k-того потока под действием i-той силы.

Соотношения Онзагера находят непосредственное использование в анализе свойств биологических систем. Например, определяя значение коэффициентов Lik , можно установить степень проницаемости мембраны для растворенного в ней вещества.

Неравновесные процессы, происходящие в открытой системе, должны согласно второму началу термодинамики приводить к производству энтропии в

этой системе. Как оказывается, количество энтропии, возникающее в единице

объема в единицу времени в системе с термодинамическими потоками Ji , которое называется локальным производством энтропии, равно

где s – энтропия в единице объема.

3.2. Теорема Пригожина

Далее рассмотрим клеточный метаболизм, где присутствуют две группы процессов: а) поступление извне глюкозы, выделение наружу продуктов ее окисления, для которого изменение энтропии – deS, и окисление глюкозы в процессах дыхания – diS.

25

Вфотосинтезе приток свободной энергии света приводит к появлению сложной молекулы глюкозы из простых соединений H2O и CO2 и уменьшению энтропии клетки deS , а распад глюкозы в дыхании в клетке увеличивает ее энтропию diS

Взависимости от соотношения скоростей изменения deS и diS общая энтропия открытой системы dS может со временем либо увеличиваться, либо уменьшаться. Продифференцируем по времени выражение (2.15):

Приток отрицательной энтропии соответствует оттоку во внешнюю среду положительной энтропии и притоку извне питательных веществ с освобожде-

,что соответствует общей деградации и распаду открытой системы.

Встационарном состоянии

мени предсказать установление в открытой системе стационарного состояния? Пусть в открытой системе вблизи равновесия одновременно протекают два

процесса, для которых справедливы соотношения Онзагера (2.21) и (2.22). Если первый процесс (J1X1) приближается к стационарному режиму, то при

достижении стационарного режима первый поток станет равным нулю J1=0. Далее найдем величину T

что общий поток стане равным нулю J=0. Исследуем, как зависит величина T

от изменения .Для этого возьмем частную производную этой величины по Используя (3.3), получим:

Но в стационарном состоянии J=J1=0. Следовательно, равенства:

точке J=J1=0 означает, что в стационарном состоянии положительная функция имеет экстремум (в данном случае минимум) и принимает соответственно

минимальное положительное значение. Следовательно .по мере приближения

к стационарному состоянию скорость производства энтропии внутри открытой системы монотонно уменьшается, постепенно приближаясь к своему минимальному положительному постоянному значению. В этом и состоит критерий направленности необратимых процессов в открытых системах, находящихся вблизи положения равновесия, где справедливы соотношения Онзагера.

Контрольные вопросы к лекции № 3

1.Что такое открытая термодинамическая система?

2.Раскройте понятие стационарного неравновесного процесса.

3.Запишите уравнение, описывающее плотность потока при стационарном неравновесном процессе.

4.Теорема Онзагера.

5.Что такое локальное производство энтропии?

6.Сформулируйте теорему Пригожина.

Лекция № 4

Модель роста многопородной системы – смешанного древостоя

В последнее время все большее значение приобретают математические методы исследований закономерностей формирования лесных экосистем, основанные на биологических законах роста и развития леса. Экологофизиологические модели позволяют лучше представлять процессы, происходящие в фитоценозах. В таких моделях математические функции связаны с рассматриваемыми явлениями. Их параметры имеют содержательную интерпретацию и могут быть измерены подобно физическим величинам. Наиболее сложны процессы, происходящие в фитоценозах, которые включают несколько древесных пород. Именно, вопросу математического моделирования хода роста смешанных насаждений на примере дубрав Тульских засек и посвящена настоящая лекция.

27

Основой предлагаемой эколого-физиологической модели лесной динамики (ЭМЛД) многопородного древостоя служит модель одновозрастной однопородной системы (древостоя) М.Д.Корзухина [6]. В предлагаемой новой модели динамики смешанных (двухпородных) древостоев учитываются факторы не только межвидовой, но и внутривидовой конкуренции древесных пород:

Параметры и компоненты разработанной модели имеют определенный эколого-физиологический смысл и позволяют оценить величину и знак межвидовой и внутривидовой конкуренции древесных пород:

В случае независимого произрастания пород, т.е. для чистых насаждений модель принимает вид:

1-я порода

2-я порода

В качестве примера промоделируем ход роста и развития смешанных кле- ново-липовых дубрав второго бонитета Тульских засек [6]. Расчеты проводились, начиная с возраста 40 лет. Это связано с особенностями формирования данных насаждений, так как до 30-летнего возраста спутниками дуба и липы являются также береза, осина, ильм, ива. Путем целенаправленного проведения рубок ухода из насаждений удаляются перечисленные второстепенные породы и после 30 лет в составе остаются главная порода - дуб черешчатый и основной его спутник в данном типе леса - липа мелколистная.

Первоначально на основании модели динамики М.Д.Корзухина [6] для чистых древостоев дуба и липы были рассчитаны значения r11 - r17 и r21 -r27, т.е.параметры модели одновозрастной однопородной системы М.Д.Корзухина

28

При этом параметры модели (2) r11 - r17 для первой породы определялись на основе таксационных показателей хода роста сомкнутых семенных дубовых древостоев II бонитета для европейской части России [8]:

где N121 -N126 и D121 - D126 - число деревьев ( шт/га ) и средние диаметры (см) по десятилетним периодам ( T0 - T6).

В результате расчетов получим, что для дуба:

Проверка выше полученных параметров путем подстановки их и данных начального периода T0 = 40 лет ( N120 =2474 шт/га, D120 = 11.1 см ) показала достаточно высокую степень согласия опытных данных (4) с теоретическими, полученными по модели. Так, отклонения для числа деревьев ( 1) оказались в пределах от -11.6% до +10.1%, а для средних диаметров ( 2) - от -0.8% до

+3.3%:

Более наглядно это отражено на графиках : рис.1 и рис.2:

Параметры модели (3) r21 – r27 для второй породы – липы мелколистной определялись аналогичным образом на основе таксационных показателей хода роста сомкнутых порослевых древостоев липы II бонитета для Тульской облас-

ти[8]:

где N221 - N226 и D221 D226 - число деревьев ( шт/га) и средние диаметры (см) по десятилетним периодам (Т0 - Т6 ).

Расчеты показали, что для липы:

Проверка параметров (7) их подстановкой в модель (3) также показала достаточно высокую степень совпадения опытных [6] и теоретических данных, при этом отклонения составили: от -11.1% до +11.1% для количества деревьев и менее 1% для средних диаметров. Полученные результаты достаточно наглядно отражают графики, приведенные на рис. 3 и рис. 4.

После определения параметров r11 – r17 для первой породы ( дуба черешчатого ) и r21 – r27 ля второй породы (липы мелколистной ) их значения, а также опытные данные [ 6 ] в эколого-физиологическую модель (1). В результате расчетов нами были определены величины неизвестных параметров, которые оказались равными: