Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4576

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

Воронеж 2016

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Математический анализ [Текст] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 43 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22 апреля 2016 г.)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ Зубова С.П.

Содержание

Введение……………………………………………..……………………………………4

1.Предел функции………… ………………………… …………………………………5

1.1Практическая часть…………………………………………………………………5

1.2Индивидуальные задания…………………………………………………………..7

2.Производная …………………….…………………………………………………..…7

2.1 Практическая часть…………………………………………………………………7

2.2 Индивидуальные задания…………………………………………………………..9

3.Полное исследование функции………………………...…………………………..10 3.1 Практическая часть…………………………………………………..……………10

3.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..14

4.Функции двух переменных...……………………………………………………….15

4.1 Практическая часть……………………………………………………………..…15

4.2 Индивидуальные задания……………………………………………………..…..17

5.Неопределенный интеграл…………………………………………………..……..18 5.1 Практическая часть………………………………………………………..………18

5.2 Индивидуальные задания………………………………………………….……..21

6.Определенный интеграл……………………………………………….…….…….23

6.1 Практическая часть…………………………………………………………..……23

6.2 Индивидуальные задания…………………………………………………..……..27

7.Дифференциальные уравнения …………………………………….…………….29 7.1Практическая часть………………………………………….…………………..…29

7.2 Индивидуальные задания……………………………..…………………………..33

8.Ряды……………………...……………………………………………………...……..35 8.1Практическая часть……………………………………………………………..…35

8.2 Индивидуальные задания…………………………………………….…………..40 Библиографический список……..……………………………………………….…...43

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Основной задачей является выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях.

Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

Врезультате освоения дисциплины студент должен:

-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов математического анализа;

-уметь: решать задачи и примеры по различным разделам высшей математики

сдоведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.),

- уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники);

-самостоятельно изучать научную литературу по математике;

- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

П р и м е р 1.	Вычислить предел		lim	2x2	5x 7			.
					x2	1
			x 1
	2x2 5x 7	2 12 5 1 7				0
Решение. lim							.
	x2 1	12	1
x 1						0

Получили неопределенность	0	. Для раскрытия этой неопределенности


	0

необходимо, воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем сократить дробь на общий множитель, дающий в пределе ноль.

Для числителя воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на

множители a x2 b x c a (x x ) (x x ) , где										x	и	x	2	– корни квадратного
								1	2	1			2
трѐхчлена. Получаем, что
2x2 5x 7 0
D b2 4 a c 52 4 2 ( 7) 25 56 81

x		b D			5 81 5 9
1,2				2 a		2	2	4
				2 a		2	2	4
x			7	,
x				,
1		2
		2
x2 1.
Следовательно,
	2					7
2x		5x 7 2 x				7	x 1	(2x 7)(x 1) .


						2

Знаменатель разложим, используя формулу

a2 b2 (a b) (a b) . Тогда x2 1 x2

12 (x 1)(x 1) .

Имеем

lim

2x2 5x 7

lim

(2x 7)(x 1)

lim

2x 7

2 1 7

(x 1)(x 1)

1 1

x 1

П р и м е р 2. Вычислить предел

lim

7x3

2x2

2x3

7x3 2x2 4x

Решение.

lim

2x3 1

разности квадратов

92 4 12 .

Получили неопределенность			. Для раскрытия этой неопределенности
Получили неопределенность			. Для раскрытия этой неопределенности

нужно разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени, т.е. на x3 .

					7x3			2x2				4x				2							4
	7x3 2x2 4x																7							7 0 0	7		1
lim	7x3 2x2 4x		lim	x3					x3			x3	lim				7		x			x2		7 0 0	7	3	1	.
lim			lim			2x3							lim											2 0		3		.
x	2x3 1		x			2x3					1				x					1				2 0	2		2
																		2
																					x3
							x3			x3											x3
П р и м е р 3.		Вычислить предел lim												sin x2 tg 4x									.
П р и м е р 3.		Вычислить предел lim												3x arcsin 2x									.
												x 0		3x arcsin 2x
		sin x2 tg 4x						sin 0 tg 0								0
Решение. lim																		.
Решение. lim																		.
	x 0 3x arcsin 2x					3		0 arcsin 0								0

Получили неопределенность 0

Выражение под знаком предела содержит тригонометрические функции, которые позволяют выделять первый замечательный предел, а именно,

lim

sin x2

lim

tg 4x

1 ,

lim

x2 0

4 x 0 4x

2 x 0 arcsin 2x

Домножив

исходную

дробь

на дроби

1 , выделим

выражения для первых замечательных пределов из исходного выражения

lim

sin x2 tg 4x

lim

sin x2

tg 4x

3x arcsin 2x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

tg 4x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

tg 4x

x2 4x

2x 3x

x 0

arcsin 2x

lim

sin x2

lim

tg 4x

lim

x2 0

4 x 0

2 x 0 arcsin 2x

x 0

1 1 1

2 0

П р и м е р 4.

Вычислить предел

lim

cos6x

x 0 1

Решение.

lim

x 0

1 cos6x

cos(6 0)

Получили неопределенность

Сначала применим формулу 1 cos 2sin 2

, а затем воспользуемся первым

замечательным пределом lim

sin x

x 0

				x2		lim		x2			lim	x2	1		x 2	1	1		3x 2
lim														lim				lim
lim		1 cos6x								6x		2sin 2 3x		lim				lim
x 0		1 cos6x					x 0	2sin	2	6x	x 0	2sin 2 3x	2	x 0	sin 3x	2	3 x 0		sin 3x
								2sin		2
										2
	1		1	2	1
				1			.
				1			.
	2		3		18

1.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить пределы

1. а)

lim

3x2 7x 20

б)

lim

x4 6x2 5

в) lim

1 cos5x

x2 16

5x2

x 4

x 4x4

x 0

2. а)

lim

x2 25

б) lim

2x3

в) lim

3x2 11x 20

cos3x

x 5

x 7x5

x 0

3. а)

lim

x2 1

б)

lim

2x2

4x 5

в)

lim

sin 2x

10x2 x

tg3x

x 1

x 0

4. а)

lim

x2 25

б)

lim

4x5 1

в)

lim

tg2x

7x 10

5 7x x5

sin 3x

x 5

x 0

5. а)

lim

2x 8

б)

lim

4x2 5x 10

в) lim

1 cos5x

2x3

11x2

1 cos3x

x 4

x 0

6. а)

lim

6x 8

б)

lim

2x2

4x 1

в)

lim

sin 7x

x2 16

3x2

tg5x

x 4

x 0

7. а)

lim

2x 1

б)

lim

3x4 x2 x

в) lim

cos4x

x 1 3x2 4x 1

x 0

8. а)

lim

2x2

б)

lim

2x3

в)

lim

cos x 1

4x5 x 1

3x2

x 6

x 0

9. а)

lim

7x 12

б) lim

x3 4x2 7x 1

в) lim

2x2

x2 9

x4 x 2

1 cos4x

x 3

x 0

10. а) lim

x2 1

б) lim

7 x x2

в) lim

sin 6x

x2 3x

x 1

x 2 x 3x2

x 0

tg4x

2.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

2.2ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3	x
П р и м е р 1. Найти производную функции y cos	x ln		.

		2

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

– правило нахождения производной сложной функции.

cos x ln

(cos

cos

x (cosx)

3 cos2

x ( sin x)

3 cos2

x sin x

П р и м е р 2.

Найти производную функции

y tg

4x .

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

y tg

4x tg

2 x2

cos

4x tg

(2x 4)

2 x2

cos

x 2

;

cos

П р и м е р 3.

Найти производную функции

54 2 x

sin 7x

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

4 2 x

sin 7x 5

(sin 7x)

sin 7x

4 2 x

ln 5

4 2 x

cos7x

4 2 x

ln 5

4 2 x

cos7x 7

2x)

(7x)

( 2) 5

sin 2 7x

54 2 x

( 2 ln 5 7 cos7x)

sin 2 7x

y 5

П р и м е р 4.

Найти производную функции

log

(ex ) .

Решение. При нахождении производной используем

–таблицу производных основных элементарных функций;

–основные свойства производных;

–правило нахождения производной сложной функции.

																	1
		5				x								x	15		1					x		54				x
y			log		3 (e		)				log3	(e			)			log			3 (e		)		log	3 (e			)
y			log		3 (e		)				log3	(e			)		5	log			3 (e		)		log	3 (e			)
																	5
	1							4			1					1							4		1
		log		3	(ex ) 5								ex				log		3	(ex ) 5							ex
		log			(ex ) 5								ex				log			(ex ) 5							ex
	5								ex ln 3							5									ex ln 3
	5								ex ln 3							5									ex ln 3
				1						.

	5ln 3 5
					log 4			(ex )
					log 4			(ex )
						3

2.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Найти производные следующих функций.

1. а) y 4 x2 arcsin 2x ,

в)

sin 4

arctg

e x ,

2. а) y arctg

1 4

в)

tg 2 x

cos 3x

3. а) y (2x 3)

sin

в)

e5 x

ctg

4. а) y e1 6 x cos7x ,

в)

arcsin

5. а) y 4 cos5 x

ln x ,

в)

sin 9x

ctg(2x 1)

6. а) y ln 4 x sin 5x ,

б) y e 2 x ln(3x 1) ,

г) y 3 ln(cos x) .

б) y sin x ln(8 2x) ,

г) y ecos( x ) .

б) y cos x ln( x2 4) ,

г) y arccos(ln5 x) .

б) y sin 2 x ln x ,

г) y 81 sin( x4 ) .
б) y e1 x	2	x
		arccos	,

		2

г) y tg(3 x2 3) .

б) y 3 x2 arcctg 2x ,

	x
	cos
	cos
	7
в) y	7	,	г) y 5	ctg(4x 1) .
в) y	e1 3x	,	г) y 5	ctg(4x 1) .
	e1 3x

			1
			1
7. а) y arccos					6 4x ,
7. а) y arccos					6 4x ,
		x
в) y	cos3 x			,
в) y				,
	7
	tg
	tg
	x

8.а) y 3 e9 arctg (x2 1) ,

в) y sin 5x , ctg 2 x

9.а) y cos7 x 3 2x ,


		1
		tg

в)	y	x		,
		ln( x2 1)
		x	e2 x ,
10. а)	y cos

		2

в) y	arccos 5x	,

	1
	ctg

	x

	x			sin x
б)	y ln		e		,
б)	y ln		e		,
		2

г) y 2arccos(x3 ) .

б) y ln(3x 2) cos x ,

г) y 2arccos(x3 ) .

	x			5 x
б)	y sin		e		,
б)	y sin		e		,
		4

г) y arccos x4 8 .

б) y ln 4 x sin x ,

г) y sin(4 x ) .


		3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
		3.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
	П р и м е р 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
y	5x2
		и на основании полученных результатов построить еѐ график.

	x2 25
	Решение. Проведем исследование функции y		5x2	по следующей схеме:
			x2 25

1.Область определения функции.

	В область	определения исследуемой функции не входят лишь те значения x ,
для	которых	x2 25 0 ,	то	есть	x 5	и	x 5.	Поэтому
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) .

2.Вид функции.

Выясним, является ли функция четной или нечетной.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.17 Mб24571.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34572.pdf
#
08.01.20211.17 Mб44573.pdf
#
08.01.20211.17 Mб24574.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34575.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34576.pdf
#
08.01.20211.17 Mб34577.pdf
#
08.01.20211.17 Mб14578.pdf
#
08.01.20211.17 Mб24579.pdf
#
08.01.2021200.19 Кб1458.pdf
#
08.01.20211.18 Mб24580.pdf