4576

y(x)

5x2

y( x)

5( x)2

5x2

y(x)

5x2

,

,

.

x2 25

( x)2 25

x2 25

x2 25

Видим, что y( x) y(x) для любого x из

области определения функции.

Для нахождения

точек

пересечения

графика

с осью

Ox

решим

систему

уравнений

y 0,

5x2

y

.

x

2

25

Отсюда получаем, что x 0 ,

y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой

пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения

точки

пересечения

графика

функции

с

осью Oy

решим

систему уравнений

x 0,

5x2

y

.

x

2

25

2

2

2

2

2

2

2

5x

(5x

(x

25)

5x

(x

10x (x

25)

5x

2x

)

25)

y

2

2

2

2

2

(x

25)

(x

25)

x

25

10x (x2

25 x2 )

250x

.

(x2 25)2

(x2 25)2

y 0 при

x 0 , y не существует при

x 5

и x 5.

Точки

x1 5 ,

x2 0 ,

x3 5 разбивают область определения функции на четыре интервала

( ; 5) ,

( 5;0) ,

(0;5) , (5; ) . Определим знак производной

y

на каждом из них.

Возьмем любое

число

из

интервала

( ; 5) ,

например

6 .

Так

как

250 ( 6)

1500

y ( 6)

12,4 0 ,

поэтому

на

всем

интервале

( ; 5)

(36 25)2

121

13

производная y 0

и,

следовательно,

функция монотонно возрастает. Аналогично

определяем знак производной y

на трех других интервалах:

250 ( 1)

250

y ( 1)

0,4 0

,

(1 25)2

576

250 2

500

1,1 0 ,

y (2)

(4 25)2

441

250 7

1750

y (7)

3,1

0 .

(49 25)2

576

Результаты исследования занесем в таблицу:

x

( ; 5)

( 5;0)

0

(0;5)

(5; )

y

+

+

0

−

−

y

0

y

функция

функция

max

функция

функция

возрастает

возрастает

убывает

убывает

Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) ,

( 5;0) и убывает

на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке

x 0 производная меняет знак с «+» на «−»,

следовательно,

x 0 −

точка максимума функции. Значение функции в этой точке

равно:

ymax(0) 0 .

5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость,

точки перегиба графика).

Найдем вторую производную функции:

2

250x

(x

2

25)

2

x ((x

2

25)

(x)

)

y

250

( y )

2

2

2

4

25)

(x

25)

(x

250

1 (x2 25)2 2x (x2 25) 2x

250

(x2

25) (x2 25 4x2 )

(x2 25)4

(x2 25)4

250

3x2 25

.

(x2 25)3

y 0 , если 3x2

25 0 . Это уравнение не имеет решения.

y не существует при x 5 и x 5.

Точки

x1 5,

x2 5

разбивают

область определения функции на три

интервала: ( ; 5) , ( 5;5) , (5; ) . Определим знак производной

y на каждом из

3 62

25

133

250 (62 25)2 250

121 274,8

0 , поэтому на всем интервале

них. Так как

y ( 6)

14

y

x2

y

x3

9.

.

10.

.

x2 1

x2 1

z

4 y2 x .

Функция z

4 y2

x определена во всех точках, координаты x и y

которых

удовлетворяют

неравенству

4 y2 x 0

или x 4 y2 . Уравнение

x 4 y2

задаѐт параболу, а

неравенству x 4 y2

удовлетворяют координаты точек

плоскости, расположенных левее этой параболы:

а) При нахождении частной производной

z

переменная

y рассматривается

x

как постоянная:

z 9x8 y2 4 .

x

При нахождении частной производной z

переменная x

рассматривается как

2 z

z

9x

8

2

4 72x

7

2

y

y

,

x

2

x

x

x

2 z

z

9x

8

y

2

4 18x

8

y

,

y x

y

x

y

2 z

z

2x9 y 2 2x9 ,

y

2

y

y

y

2 z

z

2x9 y 2 18x8 y .

x y

x

y

x

z

2x ln y ,

z

x2

.

y

x

y

Найдѐм частные производные второго порядка:

2 z

z

2x ln y

2ln y ,

2

x

x

x

x

2 z

z

2x ln y

2x

,

y x

y

x

y

y

2 z

z

x2

2x

,

x y

y

x

x

y

y

2 z

z

x2

x2

y

.

2

y

y

2

y

y

y

Задание 3. Исследовать на экстремум функцию z 4x2 4xy 2y2

8x 2y 1.

Вычислим частные производные первого порядка

z 8x 4 y 8,

z 4x 4 y 2

x

y

и приравняем их к нулю:

8x 4 y 8 0

4 y 2 0.

4x

Решая систему уравнений, находим стационарную точку

x

3

,

y 1. Чтобы

2

3

определить, действительно ли точка

; 1 является точкой экстремума, найдѐм

2

2 z

2 z

2 z

2

3

Так как величина

2

2

в точке

; 1

положительна:

x

y

x y

2

2 z

8

3

3

точка

Так как

x

2

положительна в точке

; 1

, то точка

; 1

2

2

минимума.

Найдѐм

значение

функции

в

этой

3

3 2

3

1 2

1

2

3

2 1 1 4

точке: zmin

z

;

1

4

4

8

2

2

2

2

4.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание

1. Изобразить

область определения

D(z) функции двух переменных

z f (x; y) .

x

z

x y .

1.1.

1.6.

z ln

.

y

1.2.

z ln(xy) .

1.7.

z

4 x2

y2

9 .

z x

z

9 x2 y2 .

1.3.

1.8.

sin y .

z

y2

25 .

1.4.

z

x 3y2 .

1.9.

x2

1