4561
.pdf
|
31 |
Вариант 5. |
z 3xy 4 y x2 y2 x 1. |
Вариант 6. |
z 9 y 3xy 6x 3y2 x2 4 . |
Вариант 7. |
z 4x 3y2 5 7 y 3x2 5xy . |
Вариант 8. |
z 6x 2xy 5 x2 y2 10 y . |
Вариант 9. |
z 10 y 8 x2 xy x 2 y2 . |
Вариант 10. |
z 4x 1 x2 3xy 4 y2 6 y . |
Вариант . |
z 4x2 4xy 2 y2 8x 2 y 1. |
Решение варианта .
Задача № 1. Изобразить область определения D(z) функции двух
переменных z 4 y2 x .
Функция z |
4 y2 |
x |
определена во всех точках, координаты x и |
|||||
y которых |
удовлетворяют |
неравенству |
4 y2 |
x 0 или |
x 4 y2 . |
|||
Уравнение |
x 4 y2 |
задаѐт |
параболу, |
а |
неравенству |
x 4 y2 |
удовлетворяют координаты точек плоскости, расположенных левее этой параболы:
Рис.4.
32
Область определения
рис.4.
D(z) функции z 4 y2 x изображена на
Задача № 2. Найти частные производные функции двух переменных 2- го порядка.
а) |
При нахождении частной производной |
z |
переменная |
y |
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
рассматривается как постоянная: |
|
|
|
|
|
||
|
z |
9x8 y2 4 . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
При |
нахождении частной производной |
z |
|
переменная |
x |
||
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
рассматривается как постоянная:
z 2x9 y 2 .y
Найдѐм частные производные второго порядка:
2 z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
9x |
8 |
y |
2 |
4 |
72x |
7 |
y |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
9x |
8 |
y |
2 |
4 |
18x |
8 |
y , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y x |
|
y |
x |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
2x9 y 2 2x9 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
2 |
|
y |
y |
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
z |
|
|
2x9 y 2 |
18x8 y . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
x y |
|
x |
y |
|
x |
|
|
б) найдѐм частные производные первого порядка:
z |
2x ln y , |
z |
|
x2 |
|
x |
y |
|
. |
||
|
|||||
|
|
y |
Найдѐм частные производные второго порядка:
2 z |
|
|
z |
|
|
2x ln y 2 ln y , |
||
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
|
x |
|||||
|
|
x |
x |
|
|
33
|
2 z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2x ln y |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
z |
|
|
|
z |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
y |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
y |
2 |
|
|
y |
y |
|
y |
y |
|
y |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача № 3. Исследовать на экстремум функцию |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z 4x2 4xy 2 y2 8x 2 y 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим частные производные первого порядка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z 8x 4 y 8, |
|
|
z |
4x 4 y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и приравняем их к нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 4 y 8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y 2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
систему |
уравнений, |
находим |
стационарную |
|
точку |
||||
x |
3 |
, y 1. Чтобы |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
определить, |
действительно |
ли точка |
|
|
|
; 1 |
|||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
является точкой экстремума, найдѐм частные производные второго порядка:
2 z 8x 4 y 8 8,x2 x
2 z 4x 4 y 2 4 ,y2 y
|
2 z |
|
|
|
|
4x 4 y 2 4 . |
|
|
|
|
||||||||
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 z |
|
2 z |
|
2 z 2 |
|
|
3 |
|
|||||
Так как величина |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
в точке |
|
|
|
; 1 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x y |
|
|
|
2 |
|
||
положительна: 8 4 ( 4)2 |
16, то эта точка является точкой экстремума. |
34
Так как |
2 z |
8 |
положительна в точке |
|
3 |
; 1 |
, то точка |
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
точка минимума.
Найдѐм значение функции в этой точке:
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
; 1 |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 2 |
|
|
3 |
1 2 1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|||
zmin |
z |
|
|
; 1 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 1 1 4
Библиографический список
Основная литература
1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»
Дополнительная литература
1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»
2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»