4155
.pdf
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
z ln x . |
|
|
|
(2.2) |
|
В результате подстановки получается уравнение |
|
|
|||||
|
yz a b z . |
|
|
(2.3) |
|||
Оценка параметров полученной линейной модели (2.3) проводится при |
|||||||
помощи МНК. Согласно данному методу параметры a и b |
находятся из |
||||||
решения системы линейных уравнений |
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
a n b zi |
yi ; |
|
|
|
||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
||
n |
n |
|
n |
|
|
||
|
|
b zi |
2 |
zi |
yi |
, |
|
a zi |
|
|
|||||
|
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
где n – число наблюдений.
Решая систему уравнений (2.4) относительно параметров a и b получим
|
|
|
|
|
a y b z, |
b |
|
z |
y |
|
y z |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 z 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
n |
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
||||
где z |
zi , |
y |
yi , |
|
z y |
|
yi zi , |
|
z 2 |
zi |
2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n i 1 |
|
n i 1 |
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
n i 1 |
|
|
|||||||||
Нелинейная степенная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
|
a xb |
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
||||
приводится к линейному виду логарифмированием левой и правой части |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln y |
x |
ln(a xb ), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln yx |
ln a b ln x. |
|
|
|
|
(2.7) |
|||||||||
Делая следующие замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Y ln y, |
|
X ln x; |
|
A ln a, |
|
(2.8) |
|||||||||||
получаем линейное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Yx |
|
A b X . |
|
|
|
|
(2.9) |
|||||||
Параметры модели (2.9) оцениваются на основе МНК, путем решения |
||||||||||||||||||||||
системы уравнений, аналогичной системе (2.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Параметр |
b |
модели |
(2.9) соответствуют одноименному |
параметру |
модели искомой модели (2.6), а ее параметр a находится из выражений (2.8)
12
(2.10)
Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции
|
|
|
|
|
|
|
xy |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ост |
(2.11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
||
где y |
2 |
( yi y)2 - общая дисперсия |
результативного |
признака y , |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
ост2 |
|
( yi |
yxi )2 - остаточная дисперсия. |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака
|
2 1 |
|
2 |
|
объясн |
2 |
|
|
ост |
, |
(2.12) |
||||||
|
xy |
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
n |
2 |
|
где объясн2 |
|
( yxi |
y) . |
||
|
|||||
|
|
n i 1 |
|
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом нелинейного уравнения регрессии по F-критерию Фишера
|
F |
|
xy |
2 |
|
n m 1 |
. |
(2.13) |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
1 |
xy |
m |
|
|
||||
где xy |
2 - индекс детерминации, n - число наблюдений, m - число параметров |
при переменной x. Фактическое значение F-критерия (2.13) сравнивается с табличным при уровне значимости a и числе степеней свободы k1 m и k2 n m 1.
13
Практическая часть
Задание к работе
1.На основе исходных данных (см. таб. 1.1), где N – номер варианта, соответствующий трем последним цифрам номера зачетной книжки, построить
ипровести анализ нелинейной логарифмической функции yx a b ln x .
2.Построить и провести анализ нелинейной функции с квадратным
корнем yx a bx .
3. Построить и провести анализ нелинейной степенной функции
yx a xb .
4.Выписать пояснения к каждому выполненному пункту задания.
5.Сравнить построенные в п. 1, п. 2, п. 3 модели по индексу детерминации и средней ошибки аппроксимации.
6.Сделать итоговый вывод об обоснованных результатах, полученных
входе выполнения работы.
Порядок выполнения работы
1. Построить и провести анализ нелинейной логарифмической функции yx a b ln x .
1.1. Для удобства производимых вычислений составить табл. 2.1, на основе исходных данных к работе (см. таб. 1.1).
Таблица 2.1
№ |
x |
z |
y |
z y |
z |
2 |
y |
2 |
yx |
y yx |
y y |
2 |
Ai |
,% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
11 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: столбцы 8, 9, 10 заполняются после выполнения п.1.2, столбец 11 после
п. 1.3.
14
1.2. Построить нелинейное логарифмическое уравнение парной регрессии yx от x вида (2.1), найдя его параметры a и b из выражений (2.5), предварительно сделав замену (2.2).
1.3.Рассчитать индекс корреляции (2.11), индекс детерминации (2.12) и ошибку аппроксимации (1.6).
1.4.Оценить статистическую значимость полученного уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F- критерия (2.13) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 1).
1.5.Построить на графике исходные данные (зависимость y от x) и теоретическую кривую (рассчитанную по модели 2.1).
2.Аналогично с п. 1 построить и провезти анализ нелинейной
функции с квадратным корнем вида yx a b x , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1.
3.Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной
степенной |
функции |
yx |
a xb , |
при этом для удобства проводимых |
|||||||||||||||
вычислений составить табл. 2.2 (см. теоретические сведения). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
X |
Y |
|
X Y |
X |
2 |
Y |
2 |
y |
x |
|
y y |
x |
y y |
x |
2 |
Ai |
, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
|
|
10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Сравнить |
построенные |
в п. |
1, п. |
2, п. |
3 модели по |
|
индексу |
детерминации и средней ошибки аппроксимации, составив табл. 2.3.
15
|
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Модель |
|
Индекс детерминации xy |
2 |
|
|
|
|
|
Средняя ошибка аппроксимации, A ,% |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
a b ln x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
yx |
x |
|
|
|
|
yx a xb
Практическая работа № 3 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Цель работы: на основе исходных данных построить линейную модель множественной регрессии.
|
Теоретическая часть |
|
|
|
|
|
Линейная модель множественной регрессии имеет вид |
|
|
||
|
yx a b1 |
x1 b2 x2 |
... bm xm , |
|
(3.1) |
где |
yx – зависимая переменная (результативный признак); x1 , |
x2 , … , |
xm – |
||
независимые переменные ( признак факторы). |
|
|
|||
|
Уравнение (3.1) позволяет по заданным значениям факторов x1 , x2 , … , |
||||
xm |
находить теоретические |
значения |
результативного |
признака |
yx , |
подставляя в него фактическое значение факторов x1 , x2 , … , xm .
Построение линейной модели множественной регрессии сводиться к оценке ее параметров – a , b1 , … , bm . Для оценивания параметров линейной множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК).
Согласно данному методу параметры a , b1 , … , bm находятся из решения систем линейных уравнений
16
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n b1 x1i b2 x2i |
... |
bm xmi |
yi ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
a x1i b1 x1i x1i b2 x1i x2i |
... bm x1i xmi |
x1i yi ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
(3.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
.................................................................................................. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
a |
|
x |
mi |
b |
|
x |
x |
b |
|
x |
mi |
x |
2i |
|
... b |
|
x |
mi |
x |
mi |
|
|
x |
mi |
y |
, |
|
|
|
|
1 |
|
mi 1i |
2 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
где n – число наблюдений.
Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (3.1) имеет
вид
yx a b1 x1 b2 x2 .
Система уравнений для оценивания параметров двухфакторной (3.3) построения на основе МНК согласно (3.2) будет иметь вид
|
|
n |
n |
|
n |
|
a n b1 x1i b2 x2i |
yi ; |
|||
|
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
n |
n |
n |
|
n |
a x1i |
b1 x1i x1i |
b2 x1i x2i |
x1i yi ; |
||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
n |
n |
n |
|
n |
|
b1 x2i x1i |
b2 x2i x2i |
x2i yi , |
||
a x2i |
|||||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
(3.3)
модели
(3.4)
|
|
Решая систему уравнений (3.4) относительно параметров a , |
b |
, |
и |
b |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y |
|
ryx1 |
|
ryx2 rx1x2 |
, |
|
|
|
b |
|
y |
|
ryx2 ryx1 rx1x2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
1 r2 x1x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
1 r2 x1x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y b1 |
x1 b2 x2 |
|
|
|
|
|
(3.5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где ryx1 |
|
x1 y y x1 |
, |
|
|
ryx2 |
|
x2 |
|
y y x2 |
, |
|
|
|
rx1x2 |
|
x1 x2 |
x1 x2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y 2 |
y 2 , |
|
x |
|
x 2 |
x 2 |
, |
|
x |
|
x |
2 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе будет иметь вид
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ty 1 tx |
2 tx ... m tx |
|
(3.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||
где |
|
t y , t x |
, t x |
|
, … , |
t x |
|
– стандартизированные переменные |
t y |
y y |
, |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t xi |
|
xi xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
, для которых среднее значение равно нулю: |
t y |
t |
x |
0 , а среднее |
|||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
квадратическое |
отклонение |
равно единице: |
ty tx |
1; |
i - |
стандарти- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зированные коэффициенты регрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Двухфакторная модель линейной множественной регрессии в |
||||||||||||||||||||
стандартизированном масштабе (3.6) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ty 1 tx 2 tx . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
наименьших |
|
квадратов |
также |
справедлив |
для |
нахождения |
стандартизированных коэффициентов регрессии. Эти коэффициенты показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если
соответствующий фактор xi |
изменится на |
одну единицу при неизменном |
|||
среднем уровне других факторов. |
|
|
|
|
|
Коэффициенты «чистой» регрессии bi |
связаны со стандартизированными |
||||
коэффициентами регрессии i |
следующим соотношением |
|
|||
|
b |
|
y |
. |
|
|
i |
|
(3.8) |
||
|
i |
x |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
Используя соотношение (3.8), можно переходить от уравнения регрессии в стандартизированном масштабе (3.7) к уравнению регрессии в натуральном
масштабе переменных (3.1), при этом параметр а определяется как |
|
|||||||
|
|
a yx b1 x1 |
b2 |
x2 ... bm xm . |
(3.9) |
|||
Частные коэффициенты эластичности определяются из выражения |
||||||||
|
|
Э |
|
b |
|
xi |
, |
(3.10) |
|
|
yx |
|
|
||||
|
|
|
i |
yx |
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
где bi - коэффициент регрессии для фактора |
xi |
в уравнении множественной |
||||||
регрессии, y |
xi |
– частное уравнение регрессии, которые |
связывает |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
18
результативный признак с соответствующем фактором xi при закреплении остальных факторов на среднем уровне.
Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены средние по совокупности коэффициенты эластичности
|
|
|
bi |
xi |
|
|
|
Эyx |
, |
(3.11) |
|||||
yx |
|||||||
|
|
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i
которые показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%.
Практическая часть
Задание к работе
1. На основе исходных данных (см. таб. 3.1), где N – номер варианта, соответствующий трем последним цифрам номера зачетной книжки, построить и провести анализ двухфакторной линейной модели множественной регрессии
yx от x1 и x2 .
2.Выписать пояснения к каждому выполненному пункту задания.
3.Сделать итоговый вывод об обоснованных результатах, полученных
входе выполнения работы.
Таблица 3.1 Исходные данные для лабораторных работ №3 и №4
Номер измерения |
x1 |
x2 |
y |
|
|||
|
|
|
|
1 |
2,2 N |
7,3 N |
3,9 N |
|
|
|
|
2 |
3,1 N |
9,1 N |
8,1 N |
|
|
|
|
3 |
4,3 N |
10,8 N |
10,8 N |
|
|
|
|
4 |
5,3 N |
12,9 N |
13,3 N |
|
|
|
|
5 |
6,7 N |
15,0 N |
15,6 N |
|
|
|
|
6 |
7,4 N |
16,6 N |
19,5 N |
|
|
|
|
7 |
8,5 N |
18,7 N |
22,7 N |
|
|
|
|
8 |
9,1 N |
20,2 N |
24,8 N |
|
|
|
|
9 |
10,0 N |
21,8 N |
28,1 N |
|
|
|
|
10 |
11,2 N |
24,1 N |
30,4 N |
|
|
|
|
19
Порядок выполнения работы
1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 3.2, на основе исходных данных к работе (см. таб. 3.1).
Таблица 3.2
№ |
x1 |
x2 |
y |
x12 |
x2 2 |
y 2 |
x1 x2 |
x1 y |
x2 y |
yx |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: столбец 11 заполняется после выполнения п.2.
2.Построить двухфакторную линейную модель множественной
регрессии yx от x1 и x2 вида (3.3), найдя ее параметры a , b1 , b2 из выражений (3.5).
3.Сделать переход от построенной в п. 2 двухфакторной модели
множественной регрессии к модели в стандартизированном масштабе t y от t x1
иtx2 вида (3.7), найдя ее параметры 1 , 2 , используя выражение (3.8).
4.На их основе построенной в п.3 линейной модели множественной
регрессии в стандартизированном масштабе t y , провести анализ степени влияния каждого из стандартизированных факторов t x1 и tx2 на результативный признак.
5.Провести анализ степени влияния каждого из факторов x1 и x2 на
результативный признак, на основе среднего коэффициента эластичности
(3.11).
20
Практическая работа № 4 ПРОВЕРКА СУЩЕСТВЕННОСТИ ФАКТОРОВ И ПОКАЗАТЕЛИ
КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ
Цель работы: оценить качество уравнения множественной регрессии, построенного в лабораторной работе № 3.
Теоретическая часть |
|
Линейная модель множественной регрессии имеет вид |
|
yx a b1 x1 b2 x2 ... bm xm , |
(4.1) |
где yx – зависимая переменная (результативный признак); x1 , |
x2 , … , xm – |
независимые переменные ( признак факторы).
Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (4.1) имеет
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
a b1 x1 b2 x2 . |
|
|
|
|
|
(4.2) |
|||||||||||
|
Для двухфакторной модели (4.2) парные коэффициенты корреляции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисляются по следующим формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ryx1 |
|
x1 y y x1 |
, |
|
ryx2 |
|
x2 |
y y x2 |
, |
rx1x2 |
|
x1 x2 |
x1 |
x2 |
, |
(4.3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
y |
y 2 |
y 2 , |
|
x1 |
|
x 2 x 2 , |
|
|
|
|
x 2 |
x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
x2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Совокупный коэффициент корреляции для модели (4.1) определяется из выражения
Ryx x ...x |
|
|
1 |
r |
|
, |
|
|
|||||
1 2 |
p |
|
|
r11 |
||
|
|
|
|
|
где r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляций; определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для двухфакторной модели (4.2) выражение (4.4) примет
Ryx x |
|
1 |
r |
|
. |
|
|||||
1 |
2 |
|
r11 |
||
|
|
|
|
(4.4)
r11 –
(4.5)