Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4006

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

745.73 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Методические указания к практическим занятиям для студентов

по специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов,

специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса»

Воронеж 2017

УДК 517.958

Веневитина, С.С. Математика. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям для студентов по специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов, специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса» / С. С. Веневитина, В. В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2017. – 29 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22.04.2016)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного университета С.П. Зубова

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….. 4

1. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом Даламбера…………………………………………………………….. 5

1.1.Теоретическая часть…………………………………………………………. 5

1.2.Практическая часть………………………………………………………..... 6

1.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 6

2. Решение смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности методом разделения переменных……………………… 8

2.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 8

2.2.Практическая часть………………………………………………………..... 9

2.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 10

3. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей…………………………... 12

3.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 12

3.2.Практическая часть………………………………………………………..... 15

3.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 17

4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом конечных разностей…………………………………………………. 18

4.1.Теоретическая часть………………………………………………………… 18

4.2.Практическая часть………………………………………………………..... 21

4.3.Индивидуальные задания…………………………………………………… 28

Введение

Дисциплина «Прикладная математика» включает в себя такой раздел математики как уравнения математической физики.

В методических указаниях рассмотрены метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны, метод разделения переменных решения смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности, метод конечных разностей решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности, метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Изложены необходимые теоретические сведения и разобраны примеры решения задач по каждой теме. Приведены варианты индивидуальных заданий.

Методические указания помогут подготовиться к практическим занятиям студентам, обучающимся по направлению подготовки 23.04.01 – Технология транспортных процессов. Они могут быть полезны также студентам других направлений подготовки.

1. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом Даламбера

1.1. Теоретическая часть

Задача Коши для уравнения колебаний струны

2u	a2	2u	( a2	const 0 )	(1)
t2		x2

ставится следующим образом.

Требуется найти функцию u x; t , удовлетворяющую уравнению (1) при x ( , ), t (0, ) и начальным условиям


	u x; 0 x ,		u x; 0	x		x ,	(2)
	u x; 0 x ,			x		x ,	(2)
			t
где x , x	– заданные функции.
Будем предполагать, что функция					x	дважды дифференцируема и
функция x один раз дифференцируема на промежутке ; .
Опишем метод Даламбера решения поставленной задачи.
Известно,	что если	и				– произвольные	дважды
дифференцируемые на промежутке ; функции, то функция
	u x; t x at x at .						(3)

является решением уравнения (1).

Определим функции и таким образом, чтобы выполнялись условия

(2):

u x; 0 x x x ,

u x; 0 a x a x x .t

Разделим обе части последнего равенства на a и проинтегрируем от 0 до x . Получим

x						1	x
( ( ) ( ))d (x) (x) (0) (0)						1	( )d .
( ( ) ( ))d (x) (x) (0) (0)						a	( )d .
0						a	0
0							0
Тогда (x) (x)	1	x ( )d c , где c			0 0 .
Тогда (x) (x)	a	x ( )d c , где c			0 0 .
	a		0	0
			0	0
		0

Имеем два равенства

	(x) (x) (x),				(x) (x)							1	x ( )d c .
	(x) (x) (x),				(x) (x)							a	x ( )d c .
												a				0
																0
													0
Складывая их и вычитая, получаем
	1		1	x		c0				1				1		x	c0
(x)	1	(x)	1	( )d		c0	,	(x)		1	(x)			1		( )d	c0	.
(x)		(x)		( )d			,	(x)			(x)					( )d		.
2			2a	0	2				2						2a	0	2
				0												0
Таким образом,		мы определили функции x									и		x .			Поэтому решение по
формуле (3) принимает вид
u(x; t) (x at) (x at)								1	x at					1		x at
								1	( )d					1		( )d .
									( )d							( )d .
				2				2a	0					2a		0
									0							0

Меняя местами пределы интегрирования в последнем интеграле, получаем окончательную формулу – формулу Даламбера

	(x at) (x at)	1	x at
u(x; t)			( )d .

	2	2a x at

1.2. Практическая часть

Пример 1.1. Используя удовлетворяющую уравнению

2u 2ut2 x2

и начальным условиям

u(x; 0)	x	,

	1 x2

формулу Даламбера, найти функцию u(x; t) ,

( x , 0 t )

u(x; 0)	sin x	( x ).
t

Решение. Пользуясь формулой Даламбера, получаем

			1	x t				x t				1	x t
u(x; t)													sin d

				1 (x t)		2	1 (x t)			2
		2										2 x t
	1			x t				x t			sin x sin t.

	2				2		(x t)		2
		1 (x t)				1

1.3. Индивидуальные задания
Используя формулу Даламбера, найдите функцию					u(x; t) ,
удовлетворяющую уравнению
2u	a2	2u	( x , 0	t )
t2		x2

и начальным условиям

			7
	u x; 0 x ,		u x; 0		x	( x ).
	u x; 0 x ,		t		x	( x ).
			t
Значение a и функции x , x заданы в табл. 1.
									Таблица 1

	Вариант	a			x				x

	1	2			ex 1				x cos x
	2	1			cos x				x e x
	3	2			x2			x sin 2x
	4	1			x3			x2 sin x
	5	2			3x			1	x cos3x
	5	2			3x		2		x cos3x
							2

	6	1			1				x e 3x

					x2 1
					x2 1

	7	2			e x				x 5x
	8	1			ex2		sin x cos2x
	9	2			x3		cos x cos3x

	10	1			e1 x		sin x sin5x
	11	2			x2 1			ex cos x

	12	1			x ex			ex sin x

	13	2		x2 2x					x2 e x
	14	1			e x3			x2 cos 2x
	15	2			sin x			x cos2x

2. Решение смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности методом разделения переменных

2.1. Теоретическая часть

Смешанная задача для уравнения колебаний конечной струны с закрепленными концами ставится следующим образом.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

колебаний струны (1) при 0 x

, t 0, начальным условиям

u(x; 0) f x ,

u x; 0

g x

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

; t 0

( t 0 ),

где f x , g x – заданные функции.

Будем предполагать, что

f 0 f 0,

g 0 g 0 .

Методом разделения переменных решение поставленной задачи

находится в виде

u(x; t) (Cn cos

t Dn sin

t) sin

(4)

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...),

(5)

g(x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(6)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности

u a2

(a2 const 0)

(7)

с однородными граничными условиями.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению (7) при 0 x , 0 t T , начальному условию

u x; 0 f x , ( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,	u	; t 0	( 0 t T ),
где f x – заданная функция.

Будем предполагать, что функция f x непрерывна на отрезке 0, и

f 0 f 0.

Методом разделения переменных решение последней задачи находится в

виде

an 2

sin n x,

(8)

u(x; t) Cne

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(9)

2.2. Практическая часть

Пример 2.1. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

(

x , t 0),

начальным условиям

u x; 0 5sin x ,

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

u(x; 0)	0 ( 0 x )
t
u ; t 0		( t 0 ).

Решение. Пользуясь формулами (5), (6) при			, a 0,	f x 5sin x ,
g x 0 , находим: C1 5, Cn 0,	n 2, 3, ...;	Dn 0,	n 1, 2, ...
Подставив полученные	значения	в	формулу (4), получаем
u(x; t) 5sin x cos 2t.
Ответ: u(x; t) 5sin x cos 2t.

Пример 2.2. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

u	5	2u	( 0 x 1, 0 t 6),
t	5	x2	( 0 x 1, 0 t 6),
t		x2
начальному условию
u x; 0 sin x				( 0 x 1)
и граничным условиям
u 0; t 0 ,			u 1; t 0		( 0 t 6).

		10
	Решение. Пользуясь формулой (9) при		1,	f x sin x находим:
C1 1,	Cn 0,	n 2, 3, ... Подставив полученные	значения в формулу (8),

получаем u(x; t) e 5 2t sin x.

Ответ: u(x; t) e 5 2t sin x.

2.3. Индивидуальные задания

Задача 2.1. Найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

				2u		a2		2u		( 0 x , t			0),
				t2		a2		x2		( 0 x , t			0),
				t2				x2
начальным условиям
		u(x; 0) f x ,							u x; 0		g	x	( 0 x )
		u(x; 0) f x ,									g	x	( 0 x )
										t
и граничным условиям
				u 0; t 0 ,						u ; t 0		( t 0 ).
Значения a , и функции					f x ,			g x заданы в табл. 2.
															Таблица 2

	Вариант		a							f x					g x

	1	2				1				sin x				0

	2	1				1				0					sin 3 x

			3
			3

	3	2								0				sin x 2sin 2x

	4	1								2sin x sin3x				0

	5	2				1				x(1 x)				0

	6	1				2				0					x(2 x)

														4
														4

	7	2				3				sin x				0
										3

	8	1				4				0					sin x
														4
Задача 2.2. Найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению
				u	a2		2u			( 0 x ,		0 t T ),
				t	a2		x2			( 0 x ,		0 t T ),
				t			x2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021744.31 Кб14001.pdf
#
08.01.2021744.76 Кб44002.pdf
#
08.01.2021745.27 Кб14003.pdf
#
08.01.2021745.4 Кб14004.pdf
#
08.01.2021745.63 Кб14005.pdf
#
08.01.2021745.73 Кб24006.pdf
#
08.01.2021746.06 Кб34007.pdf
#
08.01.2021746.06 Кб14008.pdf
#
08.01.2021194.74 Кб1401.pdf
#
08.01.2021746.59 Кб14010.pdf
#
08.01.2021746.9 Кб14011.pdf