4006

u x; 0 f x ,

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

u ; t 0

( 0 t T ).

Значения a , , T и функция

f x

заданы в табл. 3.

Таблица 3

Вариант

a

T

f x

9

1

2

10

sin 2 x

10

2

3

10

x(3 x)

9

11

1

10

sin x

12

2

10

sin 2x sin x

13

1

1

10

x(1 x)

14

2

4

10

sin x

2

15

1

3

10

sin

2

x

3

функции u(x; t) в узлах с ординатой tk

(эти узлы образуют k -й слой сетки),

вычислить значение функции u(x; t) в любом узле xi ; tk 1

сетки с ординатой

tk 1

(узле k 1 –го слоя) при i 1, 2, ..., n 1.

Начальное условие (11) позволяет найти значения функции u(x; t)

во всех

узлах xi ; 0 ( i 0,1, ..., n ) сетки:

ui,0 u xi ; 0 f xi ,

i 0,1, ..., n .

По

формуле

(14) находим значения

функции u(x; t)

в узлах

xi ; t1 ,

i 1, 2, ..., n 1 ,

сетки. Значения искомой функции в крайних узлах 0; t1 , ; t1

u

1

(u

u

).

(15)

i,k 1

2

i 1,k

i 1,k

(i, k+1)

(i-1, k)

(i+1, k)

O

x

u

2

2u

,

t

x2

удовлетворяющее условиям

3

u x; 0 x

x ,

0 x 1,

2

u 0; t 0 ,

0 t 0,04 ,

u 1; t

1

,

0 t 0,04 .

2

Решение выполнить при h 0,2 с двумя десятичными знаками.

Решение. Шаг по оси Ot выберем исходя из условия

h2

, поэтому

2a2

(0, 2)2

0,01.

При таком выборе

расчеты будем вести по формуле (15).

2 2

сеткой, проведя прямые с уравнениями x i h ( i 0,1, 2, 3, 4, 5 ) и

t k

( k 0,1, 2, 3, 4 ), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3).

0,04

(0,4)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

0,03

(0,3)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

0,02

(0,2)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

0,01

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(4,0)

(5,0)

O

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

Рис. 3.

Таблица 4

4

0,04

0

0,17

0,31

0,41

0,47

0,5

3

0,03

0

0,18

0,33

0,43

0,48

0,5

2

0,02

0

0,20

0,36

0,46

0,50

0,5

1

0,01

0

0,22

0,40

0,50

0,52

0,5

0

0

0

0,26

0,44

0,54

0,56

0,5

tk

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

xi

k

0

1

2

3

4

5

i

u

a2

2u

,

t

x2

удовлетворяющее условиям

u x; 0 f x ,

0 x ,

u 0; t t ,

0 t T ,

u

; t t ,

0 t T .

Значения a2 ,

, T и функции

f x , t , t заданы в табл. 5.

Решение выполнить с шагом h по оси Ox ,

равным 0,2, и

с четырьмя

десятичными знаками.

Таблица 5

Вариант

a2

T

f x

t

t

1

1

1

0,12

x2 x

0

20t

2

1

1

0,12

1 x2

1

100t2

20t 1

3

1

1

0,12

x 1

2

4

1

1

0,12

x

0

1 10t2

5

1

1

0,12

2x

t

2 t

6

2

1

0,06

x

x 1

0

3t 2

7

2

1

0,06

2 x2

2 t

3

8

2

1

0,06

x

3x 1

0

2 t

9

2

1

0,06

x2

2t

1

10

1

1,2

0,1

2

2 t

2 10t

11

1

1,2

0,1

1

1

1 10t

12

1

1,2

0,1

2x

t

2,4 4t

13

1

1,2

0,1

x2

0

1,44 8t

14

2

1,2

0,05

0

t

20t

15

2

1,2

0,05

2x 1

3t

3,4 50t

4.1. Теоретическая часть

Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами A 0; 0 ,

B 0; b , C a; b ,

D a; 0 , где

a 0,

b 0 .

Задача

Дирихле

для

уравнения

Лапласа в

прямоугольнике ABCD ставится следующим образом.

Требуется

найти

непрерывную

на прямоугольнике

ABCD функцию

u x; y (x [0, a], y [0, b]) ,

удовлетворяющую внутри этого прямоугольника

уравнению Лапласа

2u

2u

0

(16)

x2

y2

и принимающую на границе прямоугольника заданные значения, то есть

u

AB u(0; y) f1( y),

y [0, b],

u

BC u(x; b) f2 (x),

x [0, a],

u

CD u(a; y) f3 ( y),

y [0, b],

(17)

u

AD u(x; 0) f4 (x),

x [0, a],

где f1( y) , f2 (x) , f3 ( y) ,

f4 (x) – заданные функции.

Будем предполагать, что функции f1( y) , f2 (x) ,

f3 ( y) ,

f4 (x) непрерывны

на соответствующих отрезках и f1 0 f4 0 ,

f1 b f2 0 ,

f2 a f3 b ,

u x; y на границе прямоугольника ABCD .

Пусть n

и

m – фиксированные натуральные числа. Обозначим h

a

,

n

b

. Числа

h ,

называют

шагами по

осям Ox , Oy

соответственно. В

m

прямоугольнике

ABCD

построим

сетку,

проведя

прямые

с уравнениями

x i h , y j ( i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m ) (рис. 4).

y

B

C

b

(i, j+1)

τ

(i-1, j)

(i, j)

(i+1, j)

(i, j-1)

D

A

x

O

h

a

Рис. 4.

Введем обозначения:

xi

i h ,

i 0,1, ..., n ;

y j j ,

j 0,1, ..., m ;

ui, j u xi ; y j ,

i 0,1, ..., n ;

j 0,1, ..., m .

Будем интересоваться только значениями ui, j

функции

u x; y в узлах

xi ; y j сетки,

i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m .

Считая h и

малыми и заменяя в уравнении (16) приближенно частные

производные 2u

и

2u

в каждом внутреннем узле x ; y

j

сетки конечными

x2

y2

i

разностями

2u(x ; y

)

u

2u

u

i

j

i1, j

i, j

i1, j

,

x2

h2

2u(x ; y

)

u

2u

u

i

j

i, j 1

i, j

i, j 1

,

y2

2

ui1, j 2ui, j ui1, j

ui, j1 2ui, j ui, j1

0

(18)

2

h2

для i 1, 2, ..., n 1;

j 1, 2, ..., m 1.

Подставляя координаты каждого граничного узла в условия (17),

получаем

u0, j f1( y j ),

j 0,1, ..., m,

ui,m f2 (xi ),

i 1, 2, ..., n 1,

un, j f3 ( y j ),

j 0,1, ..., m,

(19)

ui,0 f4 (xi ),

i 1, 2, ..., n 1.

Система линейных алгебраических уравнений (18), (19) называется

разностной схемой для задачи (16), (17). При переходе к

системе уравнений

Для определения величин ui, j

требуется решить систему уравнений (18), (19).

В случае, когда шаги h и

по осям Ox и Oy равны ( h ), уравнения

(18) имеют наиболее простой вид

u

1

(u

u

u

u

)

(20)

i, j

4

i1, j

i, j1

i1, j

i, j1