Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3993

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

739.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

3 2

45o .

откуда

1 2 3

Пример 4.4. Доказать, что прямые

2x 3y 1 0

4x 6y 5 0

параллельны.

Решение.

В самом

деле,

угловые

коэффициенты

этих

прямых

, т.е. условие параллельности выполнено.

Пример 4.5. При каком значении k уравнение y kx 1 определяет прямую,

перпендикулярную к прямой y 2x 1?

Решение.

Угловой

коэффициент

второй

прямой

k2 2 .

Условие

перпендикулярности дает 2 k 1, откуда

Пример 4.6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M 1;2

параллельно прямой y 3x 1.

Решение. Искомая прямая по условию параллельна данной прямой.

Следовательно, угловой коэффициент искомой

прямой

равен угловому

коэффициенту

данной прямой:

k 3.

Пользуясь уравнением

(1.7)

прямой,

проходящей через данную точку, и учитывая, что в этом уравнении следует положить x0 1, y0 2 и k 3, получаем y 2 3 x 1 или

y 3x 1.

Пример 4.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 3; 1

перпендикулярно прямой 2x y 3 0 .
Решение. Уравнение данной прямой можно записать в	форме y 2x 3,
откуда следует, что ее угловой коэффициент k1 2 . Угловой	коэффициент k2

искомой прямой, перпендикулярной к данной, связан с коэффициентом k1 условием

k1 k2	1. Следовательно,	k2	1	1	. Теперь остается воспользоваться
			k1	2

уравнением (4.7) прямой, проходящей через данную точку, положив в нем x0 3,

y0 1 и k 12 :

y 1 12 x 3 .

После упрощений получим

y 12 x 52 .

Пример 4.8. Найти расстояние от точки M 2; 1 до прямой y 34 x 1.

Решение. Запишем уравнение данной прямой в общем виде:

34 x y 1 0 ,

3x 4y 4 0 .

Воспользуемся уравнением (4.19) для вычисления расстояние от точки до

прямой d	Ax0 By0 C		3 2 4 1 4		2	2	.

						5
		A2 B2		32 42	25

Пример 4.9. Треугольник ABC задан координатами вершин. Найти:

1)длину стороны BC ;

2)уравнения сторон треугольника;

3)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

4)угол B в радианах с точностью до 0,01;

5)уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой AB . Сделать чертеж.

A( 6; 5),

B( 6; 0), C( 9; 4) .

Решение.

Длину стороны ВС найдем по формуле (4.15) расстояния между двумя

заданными точками M0 (x0; y0 )

и M1(x1; y1) :

(x x )2

( y y )2 .

Так как B( 6; 0) и C( 9; 4) , получаем

(9 6)2 (4 0)2

9 16

25 5 .

2) Для нахождения уравнений сторон треугольника, воспользуемся

уравнением (4.9) прямой, проходящей через

две

заданные точки M0 (x0; y0 ) и

M1(x1; y1) :

y y0			x x0		.

y	y	0	x x
1			1	0

																Рис. 4.8
Так как A( 6; 5) , B( 6; 0) ,									то уравнение стороны АВ													имеет вид	y 5	x ( 6)	,
Так как A( 6; 5) , B( 6; 0) ,									то уравнение стороны АВ													имеет вид			,
																							0 5	6 ( 6)
или, после упрощения y									5	x			5	.
или, после упрощения y										x				.
						12						2
	Аналогично находим уравнения сторон BC и AC .
Уравнение BC :					y 0			x 6	или			y				4	x 8.
Уравнение BC :					4 0		9 6		или			y			3		x 8.
					4 0		9 6								3
Уравнение AC :					y 5			x ( 6)			или				y			1	x	23	.
Уравнение AC :					4 5			9 ( 6)			или				y				x		.
					4 5			9 ( 6)							15					5
	3) Высота, проведенная из вершины																			A , есть		отрезок прямой,		которая
перпендикулярна BC .
	Из формул (4.7) и (4.14) следует, что уравнение высоты AD имеет вид:
y y		1	(x x ) , где ( x ; y )									– координаты точки A ; k – угловой коэффициент
y y	0		(x x ) , где ( x ; y )									– координаты точки A ; k – угловой коэффициент
	0	k		0		0					0
		k

прямой

BC . Из полученного в пункте 2 уравнения BC находим,

что

kBC

. По

условию

A( 6; 5) , тогда y 5

(x 6) или y

– уравнение высоты

AD .

Угол B найдем по формуле (4.11) tg B

, где k

– угловые

1 k1 k2

коэффициенты прямых, образующих данный угол.

Из полученных в пункте 2 уравнений																BC и AB находим, что					k	k					4	,
Из полученных в пункте 2 уравнений																BC и AB находим, что					k	k		BC				,
																					1			BC		3
																										3
k2 kAB	5	. Тогда
k2 kAB		. Тогда
12
					5			4						74			63	3,94 , а значит
		tg B			12			3						74			63
		tg B
			1	4		(			5	)					4	16
			1	4		(			5	)						16
			3				12						9
		B arctg ( 3,94) 1,82 (в радианах).
5) Из формул (4.7) и (4.12) следует, что уравнение прямой , проходящей
через вершину C параллельно прямой AB имеет вид:
y y0 k (x x0 ) , где ( x0; y0 )							– координаты точки C ;													k – угловой коэффициент
прямой AB.
По условию C( 9; 4)			и kAB									5	, тогда				y 4		5	(x 9) или	y		5		x	31
																										4
											12

																12						12
– уравнение прямой .
Пример 4.10. Составить уравнение плоскости, проходящей																					через				точку
М 1;2;3 .

Решение. Воспользуемся формулой (4.21). Уравнение искомой плоскости

будет

A x 1 B y 2 C z 3 0 .

Пример 4.11. Найти угол между плоскостями x 2y 2z 8 0 и x z 6 0 . Решение. Подставляя данные в формулу (4.25), получим

		1 1 2 0 2 1
cos		1 1 2 0 2 1		3	2	.

	12 2 2 22 12 02 12			2
	12 2 2 22 12 02 12		3	2	2

Значит, 45о .

Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 1, 1) и (0, 1, –1) перпендикулярно к плоскости x y z 0 .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек,

будет

A x 1 B y 1 C z 1 0 .

Условия прохождения этой плоскости через точку (0, 1, –1) перпендикулярно к данной плоскости есть соответственно

A 2C 0 и

A B C 0 .

Из первого условия получаем CA 2 . Деля второе на C , найдем:

1 2 1 1.

Деля уравнение плоскости на C и подставляя вместо

получим: 2 x 1 y 1 z 1 0 , или

2x y z 0 .

Пример 4.13. Найти угол между прямыми

x 1

z 3

y 2

Для первой прямой направляющие коэффициенты будут а для второй l2 2 , m2 2 , n2 1. Следовательно,

найденные значения,

l1 1, m1 4 , n1 1,

				1 2 4 2 1 1
		cos		1 2 4 2 1 1	2	,

			12 4 2 12 22 2 2 1 2		2
			12 4 2 12 22 2 2 1 2		2
откуда		или	3	.
откуда	4	или	4	.
	4		4

4.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 4.1. Треугольник ABC задан координатами вершин. Найти:

1)длину стороны BC ;

2)уравнения сторон треугольника;

3)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

4)угол B в радианах с точностью до 0,01;

5)уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой AB .

Сделать чертеж.

Вариант 0.	. A( 3; 3),	B( 1; 6),		C( 6; 6) .
Вариант 1.	A( 4;1),	B( 0; 2),	C( 5;10) .
Вариант 2.	A( 7; 4),	B( 3; 7),		C( 2; 5) .
Вариант 3.	A( 2;1),	B( 5; 8),	C( 7; 3) .
Вариант 4.	A( 3; 2),	B( 2; 5), C( 6;1) .
Вариант 5.	A( 5; 1),	B( 1; 4),		C( 4; 8) .
				27

Вариант 6.	A( 8; 4),	B( 4; 1),	C( 7; 3) .
Вариант 7.	A( 14; 6),	B( 2;1),	C( 1; 5) .
Вариант 8.	A( 6; 0),	B( 2; 3),	C( 3; 9) .
Вариант 9.	. A( 7; 3),	B( 5; 2),	C( 8; 2) .

5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

5.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример 5.1. Построить линию по ее уравнению в декартовой прямоугольной системе координат, указать центр кривой:

(x 1)2 ( y 2)2 36 .

Решение. Уравнение окружности с центром в точке C( x0 ; y0 ) и радиусом R

имеет вид	(x x	)2 ( y y )2	R2 . Следовательно,		(x 1)2 ( y 2)2 36	есть
	0	0
уравнение окружности с центром в точке C( 1; 2)				и радиусом R 6 (см. рис. 2).

Рис. 5.7

Пример 5.2. Построить линию по ее уравнению в декартовой прямоугольной системе координат, указать фокусы и центр кривой:

Решение. Каноническим уравнением эллипса является уравнение

при этом фокусы эллипса находятся в точках F c;0

и F c;0 , где

a2 b2 .

Следовательно,

1 есть уравнение

эллипса

полуосями a 6

и b 4.

F1 ( 2

Фокусы эллипса находятся в точках

5; 0)

F2 ( 2 5; 0) . Эллипс вписан в

прямоугольник со сторонами x 6 , x 6,

y 4 ,

y 4 . Центр эллипса находится

в начале координат.

Рис. 5.8

Пример 5.3. Построить линию по ее уравнению в декартовой прямоугольной системе координат, указать фокусы и центр кривой:

			x2		y2	1.
						1.
		9		4
	Решение. Каноническим уравнением гиперболы						является		уравнение
x2	y2	1, при этом фокусы эллипса находятся в точках					F c;0	и	F c;0 , где
		1, при этом фокусы эллипса находятся в точках					F c;0	и	F c;0 , где
a2	b2						1		2
a2	b2
				29

		x2	y2
c	a2 b2 . Следовательно,				1 есть уравнение гиперболы с полуосями
		9
				4
a 3	и b 2. Фокусы гиперболы			находятся в точках F1		13;0 и	F2	13;0 .

Асимптотами гиперболы являются прямые y ba x , т.е. y 23 x , которые можно

построить как продолжение диагоналей прямоугольника со сторонами x 3, x 3, y 2 и y 2 . Центр гиперболы находится в начале координат.

Рис. 5.9

Пример 5.4. Построить линию по ее уравнению в декартовой прямоугольной системе координат, указать ее фокус и директрису:

y2 4x .

Решение. Каноническим уравнением параболы, симметричной относительно оси Ox , является уравнение y2 2 px , при этом фокус параболы находится в точке

p		x	p			2	4x есть
F	; 0 , а уравнение директрисы имеет вид			. Следовательно,	y
F	; 0 , а уравнение директрисы имеет вид			. Следовательно,	y
2			2
уравнение параболы, фокус которой находится			в точке F(1; 0) ,		а	уравнение
директрисы имеет вид x 1.
	30

Рис. 5.10

5.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 5.1. Построить линии по их уравнениям в декартовой прямоугольной системе координат.

Взадачах а), б), в) указать фокусы кривых,

взадачах б), в), г) – центры кривых.

Вариант 0.

a) (x 2)2

( y 3)2

б)

в)

г) y2

9x .

Вариант 1.

a) (x 3)2

( y 5)2

б)

в)

г) y2

7x .

Вариант 2.

a) (x 1)2

( y 2)2

16 ,

б)

в)

г) y2 5x .

Вариант 3.

a) (x 3)2

( y 4)2

25 ,

б)

в)

г) y2

16x .

Вариант 4.

a) (x 3)2

( y 3)2

б)

в)

г) y2

3x .

Вариант 5.

a) (x 2)2

( y 1)2

36 ,

б)

в)

г) y2

2x .

Вариант 6.

a) (x 4)2

( y 2)2

49 ,

б)

в)

г) y2

6x .

Вариант 7.

a) (x 4)2

( y 4)2

б)

в)

г) y2

x .

Вариант 8.

a) (x 5)2

( y 1)2

4 ,

б)

в)

г) y2

8x .

Вариант 9.

a) (x 5)2

( y 6)2

16 ,

б)

в)

г) y2

9x .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021736.37 Кб23989.pdf
#
08.01.2021194.53 Кб1399.pdf
#
08.01.2021737.66 Кб13990.pdf
#
08.01.2021737.75 Кб23991.pdf
#
08.01.2021738.96 Кб13992.pdf
#
08.01.2021739.02 Кб03993.pdf
#
08.01.2021739.14 Кб103994.pdf
#
08.01.2021739.57 Кб23995.pdf
#
08.01.2021741.13 Кб63996.pdf
#
08.01.2021742.39 Кб03998.pdf
#
08.01.2021330.1 Кб274-1.pdf