Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3984

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

733.03 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов по направлению подготовки

23.03.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Воронеж 2018

УДК 517.9 Сапронов, И. В. Спецглавы математики [Электронный ресурс] : методические

указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов по направлению подготовки 23.03.03 – Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов / И. В. Сапронов, П. Н. Зюкин, С. С. Веневитина ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж,

2018. – 29 с.

Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТУ» (протокол № 6 от 23.03.2018)

Рецензент заведующий кафедрой высшей математики ФГБОУ ВО Воронежский ГПУ, д-р физ.-мат. наук, проф. В. В. Обуховский

В соответствии с рабочей программой при изучении дисциплины «Спецглавы математики» предусмотрено выполнение расчетно-графической работы, направленное на закрепление теоретического материала и приобретение навыков решения задач для уравнений математической физики.

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы предназначены для студентов направления подготовки 23.03.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов.

Оглавление

Введение ...……………………………………………………………………...…...4

1.Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны…………………………………………………………………………..........5

1.1.Теоретическая часть…………….………………………………………..……..5

1.2.Практическая часть…………….……………………………………….…..…..6

1.3.Индивидуальные задания…..….…………………………………………...…..6

2.Метод разделения переменных решения смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности………………….………...8

2.1.Теоретическая часть…………….………………………………………………8

2.2.Практическая часть…………….……...…………………………………..……9

2.3.Индивидуальные задания…..….…………………………………………..….10

3.Метод конечных разностей решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности ……………………………………………..…….12

3.1.Теоретическая часть…………….……………………………………………..12

3.2.Практическая часть…………….……...………………………………………15

3.3.Индивидуальные задания…..….…………………………………………..….17

4.Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике ……………………………………………….….…18

4.1.Теоретическая часть…………….……………………………………………..18

4.2.Практическая часть…………….……...…………………………………...….21

4.3.Индивидуальные задания…..….…………………………………………..….27 Библиографический список……………………………………...……………...29

Введение

В соответствии с учебным планом направления подготовки 23.03.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, изучение дисциплины «Спецглавы математики» предусматривает выполнение расчетно-графической работы. Рабочая программа дисциплины «Спецглавы математики» по данному направлению подготовки предусматривает расчетнографическую работу по разделу «Уравнения математической физики».

В методических указаниях к выполнению расчетно-графической работы рассмотрены метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны, метод разделения переменных решения смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности, метод конечных разностей решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности, метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Изложены необходимые теоретические сведения и разобраны примеры решения задач по каждой теме. Приведены варианты задач для выполнения расчетно-графической работы.

1. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебаний струны

1.1. Теоретическая часть
Задача Коши для уравнения колебаний струны
	2u	a2		2u	( a2		const 0 )		(1)
	t2	a2		x2	( a2		const 0 )		(1)
	t2			x2
ставится следующим образом.
Требуется найти функцию u x; t , удовлетворяющую уравнению (1) при
x (, ), t (0, ) и начальным условиям
	u x; 0 x ,		u x; 0			x		x ,	(2)

				t
				t
где x , x	– заданные функции.
Будем предполагать, что			функция				x	дважды дифференцируема и
функция x один раз дифференцируема на промежутке ; .
Опишем метод Даламбера решения поставленной задачи.
Известно,	что если				и			– произвольные	дважды
дифференцируемые на промежутке ; функции, то функция
	u x; t x at x at								(3)

является решением уравнения (1).

Определим функции и таким образом, чтобы выполнялись условия

(2):

u x; 0 x x x ,

u x; 0 a x a x x .t

Разделим обе части последнего равенства на a	и проинтегрируем от 0 до x .
Получим
x		1	x
( ( ) ( ))d (x) (x) (0) (0)		1	( )d .
( ( ) ( ))d (x) (x) (0) (0)		a	( )d .
0		a	0
0			0

Тогда (x) (x)			1	x ( )d c , где c				0 0 .
Тогда (x) (x)			a	x ( )d c , где c				0 0 .
			a		0		0
					0		0
				0
Имеем два равенства
	(x) (x) (x),					(x) (x)					1	x ( )d c .
	(x) (x) (x),					(x) (x)					a	x ( )d c .
											a				0
															0
												0
Складывая их и вычитая, получаем
1		(x)		1 x		c			1	(x)				1 x			c
(x) 2		(x)		2a ( )d		2 ,		(x) 2		(x)				2a ( )d			2 .
						0											0
				0											0
Таким образом,		мы определили функции x								и		x .			Поэтому решение по
формуле (3) принимает вид
u(x; t) (x at) (x at)							1		x at				1		x at
							1		( )d				1			( )d .
									( )d							( )d .
				2			2a		0				2a		0
									0						0

Меняя местами пределы интегрирования в последнем интеграле, получаем окончательную формулу – формулу Даламбера

	(x at) (x at)	1	x at
u(x; t)			( )d .
u(x; t)	2	2a	( )d .
			x at

1.2. Практическая часть Пример 1.1. Используя

удовлетворяющую уравнению

2u 2ut2 x2

и начальным условиям

u(x; 0)	x	,

	1 x2

формулу Даламбера, найти функцию u(x; t) ,

( x , 0 t )

u(x; 0)	sin x	( x ).
t

Решение. Пользуясь формулой Даламбера, получаем

	1	x t		x t		1 x t
u(x; t)							sin d
u(x; t)		1 (x t)	2	1 (x t)	2		sin d
	2	1 (x t)		1 (x t)		2 x t

1	x t		x t		sin x sin t.

2	1 (x t)	2	1 (x t)	2
2	1 (x t)		1 (x t)

1.3. Индивидуальные задания

Используя формулу Даламбера, найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

( x , 0 t )

и начальным условиям

u x; 0 x ,

u x; 0

( x ).

Значение a и функции x , x заданы в табл. 1.

Таблица 1

Вариант

ex1

x cos x

cos x

x e x

x sin 2x

x2 sin x

x cos3x

x e3x

x2 1

e x

x 5x

ex2

sin x cos2x

cos x cos3x

e1x

sin x sin5x

x2 1

ex cos x

x ex

ex sin x

x2 2x

x2 e x

e x3

x2 cos 2x

sin x

x cos2x

2. Метод разделения переменных решения смешанных задач для уравнений колебаний струны и теплопроводности

2.1. Теоретическая часть

2.1.1.Смешанная задача для уравнения колебаний конечной струны

сзакрепленными концами ставится следующим образом.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

колебаний струны (1) при 0 x

, t 0, начальным условиям

u(x; 0) f x ,

u x; 0

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

; t 0

( t 0 ),

где f x , g x – заданные функции.

Будем предполагать, что

f 0 f 0, g 0 g 0 .

Методом разделения переменных решение поставленной задачи

находится в виде

u(x; t) (Cn cos

t Dn sin

t) sin

(4)

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...),

(5)

g(x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(6)

2.1.2. Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения

теплопроводности

u a2

(a2 const 0)

(7)

с однородными граничными условиями.

Требуется найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению (7) при 0 x , 0 t T , начальному условию

u x; 0 f x , ( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,	u ; t 0	( 0 t T ),
где f x – заданная функция.
Будем предполагать, что функция f x		непрерывна на отрезке 0,	и

f 0 f 0.

Методом разделения переменных решение последней задачи находится в

виде

sin n x,

(8)

u(x; t) Cne

n 1

где

f (x)sin

x dx

( n 1, 2, ...).

(9)

2.2. Практическая часть

Пример 2.1. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

( 0 x

, t 0),

начальным условиям

u x; 0 5sin x ,

u(x; 0)

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

u ; t 0

( t 0 ).

Решение. Пользуясь формулами (5),

(6)

при

, a 2 ,

f x 5sin x ,

g x 0 , находим: C1 5, Cn 0, n 2, 3, ...;

Dn 0,

n 1, 2, ...

Подставив полученные значения в формулу (4), получаем

u(x; t) 5sin x cos 2t.

Ответ: u(x; t) 5sin x cos 2t.

Пример 2.2. Найти функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

				10
	u	5	2u	( 0 x	1, 0 t 6),
	t	5	x2	( 0 x	1, 0 t 6),
	t		x2
начальному условию
	u x; 0 sin x				( 0 x 1)
и граничным условиям
	u 0; t 0 ,			u 1; t 0		( 0 t 6).
Решение. Пользуясь формулой (9)					при		1,	f x sin x , находим:
C1 1, Cn 0,	n 2, 3, ... Подставив полученные						значения в формулу (8),
получаем

u(x; t) e5 2t sin x.

Ответ: u(x; t) e5 2t sin x.

2.3. Индивидуальные задания

Задача 2.1. Найдите функцию u(x; t) , удовлетворяющую уравнению

				2u		a2	2u		( 0 x , t			0),
				t2		a2	x2		( 0 x , t			0),
				t2			x2
начальным условиям
		u(x; 0) f x ,						u x; 0		g	x	( 0 x )
		u(x; 0) f x ,								g	x	( 0 x )
									t
и граничным условиям
				u 0; t 0 ,					u ; t 0		( t 0 ).
Значения a , и функции					f x ,		g x заданы в табл. 2.
														Таблица 2

	Вариант		a						f x					g x

	1	2				1			sin x				0

	2	1				1			0					sin 3 x

			3
			3

	3	2							0				sin x 2sin 2x

	4	1							2sin x sin3x				0

	5	2				1			x(1 x)				0

	6	1				2			0					x(2 x)

													4
													4

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021194.51 Кб1398.pdf
#
08.01.2021730.65 Кб13980.pdf
#
08.01.2021730.91 Кб83981.pdf
#
08.01.2021731.63 Кб13982.pdf
#
08.01.2021731.86 Кб23983.pdf
#
08.01.2021733.03 Кб13984.pdf
#
08.01.2021733.37 Кб43985.pdf
#
08.01.2021735.66 Кб13987.pdf
#
08.01.2021735.8 Кб13988.pdf
#
08.01.2021736.37 Кб23989.pdf
#
08.01.2021194.53 Кб1399.pdf