3984

Окончание табл. 2

7

2

3

sin

x

0

3

8

1

4

0

sin x

4

u

a2

2u

( 0 x , 0 t T ),

t

x2

начальному условию

u x; 0 f x

( 0 x )

и граничным условиям

u 0; t 0 ,

u ; t 0

( 0 t T ).

Значения a , , T и функция

f x

заданы в табл. 3.

Таблица 3

Вариант

a

T

f x

9

1

2

10

sin 2 x

10

2

3

10

x(3 x)

9

11

1

10

sin x

12

2

10

sin 2x sin x

13

1

1

10

x(1 x)

14

2

4

10

sin x

2

15

1

3

10

sin

2

x

3

вычислить значение функции u(x; t) в любом узле xi ; tk 1

сетки с ординатой

tk 1

(узле k 1 -го слоя) при i 1, 2, ..., n 1.

Начальное условие (11) позволяет найти значения функции u(x; t) во всех

узлах xi ; 0 ( i 0,1, ..., n ) сетки:

ui,0 u xi ; 0 f xi ,

i 0,1, ..., n .

По

формуле

(14) находим значения функции u(x; t)

в узлах xi ; t1 ,

i 1, 2, ..., n 1

сетки. Значения искомой функции в крайних

узлах 0; t1 , ; t1

u

1

(u

u

).

(15)

i,k 1

2

i 1,k

i 1,k

(i, k+1)

(i-1, k)

(i+1, k)

u

2

2u

,

t

x2

удовлетворяющее условиям

3

u x; 0 x

x ,

0 x 1,

2

u 0; t 0 ,

0 t 0,04 ,

u 1; t

1

,

0 t 0,04 .

2

(0, 2)2

0,01.

При таком выборе расчеты будем вести по формуле (15).

2 2

сеткой, проведя прямые с уравнениями x i h ( i 0,1, 2, 3, 4, 5 ) и

t k

( k 0,1, 2, 3, 4 ), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3).

0,04

(0,4)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

0,03

(0,3)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

0,02

(0,2)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

0,01

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(4,0)

(5,0)

O

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

u1,0

0,26, u2,0

0,44, u3,0

0,54, u4,0

0,56 .

В дальнейшем расчеты ведутся по формуле (15). Для узлов первого слоя:

u1,1 0,22, u2,1 0,40, u3,1 0,50, u4,1 0,52 .

Для узлов второго слоя:

u1,2 0,20, u2,2

0,36, u3,2

0,46, u4,2

0,50 .

Для узлов третьего слоя:

u1,3

0,18, u2,3

0,33, u3,3

0,43, u4,3

0,48.

Для узлов четвертого слоя:

u1,4

0,17, u2,4

0,31, u3,4

0,41, u4,4

0,47 .

Полученные значения представим в табл. 4.

Таблица 4

4

0,04

0

0,17

0,31

0,41

0,47

0,5

3

0,03

0

0,18

0,33

0,43

0,48

0,5

2

0,02

0

0,20

0,36

0,46

0,50

0,5

1

0,01

0

0,22

0,40

0,50

0,52

0,5

0

0

0

0,26

0,44

0,54

0,56

0,5

tk

xi

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

k

0

1

2

3

4

5

i

u

a2

2u

,

t

x2

удовлетворяющее условиям

u x; 0 f x ,

0 x ,

u 0; t t ,

0 t T ,

u

; t t ,

0 t T .

Значения a2 ,

,

T и функции

f x , t , t заданы в табл. 5.

Решение выполнить с шагом h по оси Ox ,

равным 0,2, и

с четырьмя

десятичными знаками.

Таблица 5

Вариант

a2

T

f x

t

t

1

1

1

0,12

x2 x

0

20t

2

1

1

0,12

1 x2

1

100t2

20t 1

3

1

1

0,12

x 1

2

4

1

1

0,12

x

0

1 10t2

5

1

1

0,12

2x

t

2 t

6

2

1

0,06

x

x 1

0

3t 2

7

2

1

0,06

2 x2

2 t

3

8

2

1

0,06

x

3x 1

0

2 t

9

2

1

0,06

x2

2t

1

10

1

1,2

0,1

2

2 t

2 10t

11

1

1,2

0,1

1

1

1 10t

12

1

1,2

0,1

2x

t

2,4 4t

13

1

1,2

0,1

x2

0

1,44 8t

14

2

1,2

0,05

0

t

20t

15

2

1,2

0,05

2x 1

3t 1

3,4 50t

4.1. Теоретическая часть

Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами

A 0; 0 ,

B 0; b , C a; b ,

D a; 0 , где

a 0, b 0 . Задача

Дирихле для

уравнения Лапласа в

прямоугольнике ABCD ставится следующим образом.

Требуется найти непрерывную

на прямоугольнике

ABCD функцию

2u

2u

0

(16)

x2

y2

и принимающую на границе прямоугольника заданные значения, то есть

y [0, b],

u

AB u(0; y) f1( y),

x [0, a],

u

BC u(x; b) f2 (x),

CD u(a; y) f3 ( y),

y [0, b],

(17)

u

x [0, a],

u

AD u(x; 0) f4 (x),

где f1( y) , f2 (x) ,

f3 ( y) , f4 (x) – заданные функции.

Будем предполагать, что функции

f1( y) , f2 (x) , f3 ( y) ,

f4 (x)

непрерывны

на соответствующих отрезках и f1 0 f4 0 ,

f1 b f2 0 ,

f2 a f3 b ,

f3 0 f4 a .

Эти условия вытекают из требования непрерывности функции

u x; y на границе прямоугольника ABCD .

Пусть n

и

m – фиксированные натуральные числа. Обозначим h

a

,

n

b

. Числа

h ,

называют шагами

по

осям

Ox , Oy

соответственно. В

m

прямоугольнике

ABCD построим

сетку,

проведя прямые с

уравнениями

x i h , y j ( i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m ) (рис. 4).

19

y

B

C

b

(i, j+1)

τ

(i-1, j)

(i, j)

(i+1, j)

(i, j-1)

D

A

x

O

h

a

Рис. 4

Введем обозначения:

xi

i h ,

i 0,1, ..., n ;

y j

j ,

j 0,1, ..., m ;

ui, j u xi ; y j ,

i 0,1, ..., n ;

j 0,1, ..., m .

Будем интересоваться только значениями ui, j функции u x; y

в узлах

xi ; y j сетки,

i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m .

Считая h и

малыми и заменяя в уравнении (16) приближенно частные

производные

2u

и

2u

в каждом внутреннем узле xi ; y j сетки конечными

x2

y2

разностями

2u(x ; y

)

u

1, j

2u

u

i

j

i

i, j

i 1, j

,

x2

h2

2u(x ; y

)

u

2u

u

i

j

i, j 1

i, j

i, j 1

,

y2

2

получаем

ui 1, j

2ui, j

ui 1, j

ui, j 1 2ui, j ui, j 1

0

(18)

h2

2

для i 1, 2, ..., n 1;

j 1, 2, ..., m 1.

Подставляя координаты каждого граничного узла в условия (17),

получаем

u0, j f1( y j ),

j 0,1, ..., m,

20

ui,m f2 (xi ),

i 1, 2, ..., n 1,

un, j f3 ( y j ),

j 0,1, ..., m,

(19)

ui,0 f4 (xi ),

i 1, 2, ..., n 1.

Система линейных алгебраических уравнений (18), (19) называется

разностной схемой для задачи (16), (17). При переходе к

системе уравнений

В случае, когда шаги h и

по осям Ox и Oy равны ( h ), уравнения

(18) имеют наиболее простой вид

u

1

(u

u

u

u

)

(20)

1

i, j

4

i1, j

i, j

i1, j

i, j1

для i 1, 2, ..., n 1; j 1, 2, ..., m 1.

Каждое из уравнений (20)

((18)

при

h ) соответствует набору узлов

(шаблону), состоящему из пяти

узлов,

выделенных

на рис.

4 с помощью

«креста».

Равенства (19) определяют

значения

ui, j

в граничных

узлах, поэтому

неизвестными являются лишь значения ui, j ,

i 1, 2, ..., n 1; j 1, 2, ..., m 1, во

u(k )

1

(u(k )

u(k )

u(k 1)

u(k 1) ),

(21)

i, j

4

i1, j

i, j1

i1, j

i, j1

что для граничных узлов

значения

u(0)

u(k ) u

(k 1, 2, ... ) определены

i, j

i, j

i, j

равенствами (19). Значения

u(0)

для внутренних узлов могут быть определены

i, j