3936

21

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений (прил. 1). Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

A + B +C =0;5А+3В+2С = 2;

6А=12.

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

A = 2;В = −4;С = 2.

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y (t)= 2 −4e−2t +2e−3t .

Функция y(t) является решением дифференциального уравнения.

Задача 2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение и оценить устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений:

22

Исследование автоматических систем существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у – входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

X (s) = ∞∫x(t)e−st dt ,

0

Y (s) = ∞∫y(t)e−st dt .

0

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в за-

множители 1 , а самих x(t) и y(t) – изображениями X(s) и Y(s).

s

Воспользуемся определением передаточной функции и найдем операторное уравнение:

Для определения преобразования Лапласа от дроби Y (s) необходимо эту

правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, которые определяются в соответствии с корнями характеристического уравнения и по которым преобразование Лапласа можно взять, используя таблицы преобразования; рассматриваемая дробь имеет три нулевых корня и пару комплексно-сопряженных корней, поэтому она разлагается на простейшие дроби следующим образом:

В результате разложения была получена сумма простейших дробей, коэффициенты которых определяются методом неопределенных коэффициентов, для чего рассматривается равенство двух дробей. Две правильные рациональные дроби равны между собой, если равны их числители и знаменатели. Так как знаменатели равны, то, следовательно, необходимо приравнять друг к другу и числители. Приравняв в числителях коэффициенты при одинаковых степенях параметра s получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

24

A + D = 0;

6A + B + E = 0;13A +6B +C = 0;

13B +6C =3;13C = 7.

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

A = − 219773 ; В = −1693 ; С =137 ; D = 219773 ; E = 2197477 .

Таким образом, исходная дробь записывается в следующим виде:

В соответствии с таблицами преобразований Лапласа (прил. 1) оригинал выходной функции имеет вид

y (t )= 267 t2 −1693 t − 219773 + 219773 +e−3t cos 2t + 2197129 e−3t sin 2t .

Задача 4. Определить общую передаточную функцию, структурная схема которой приведена на рис. 2.

Определим предварительно передаточные функции типовых соединений звеньев:

передаточную функцию параллельного соединения звеньев:

W5 (s) =W1 (s) +W2 (s) ;

передаточную функцию последовательного соединения звеньев:

W6 (s) =W5 (s) W2 (s) .с учетом введенных обозначений структурную схему системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.

25

Рис. 2 Структурная схема системы

Рис. 3 Структурная схема эквивалентной системы

Используя структурные преобразования, запишем общую передаточную функцию системы

Подставляя вместо W5 (s) , W6 (s) их значения, получим окончательно

Задача 5. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования (рис. 4):

1)с помощью критерия Рауса-Гурвица;

2)с помощью критерия Михайлова.

27

ского уравнения составить главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали записываются коэффициенты, начиная с an−1 ,

выше главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристического уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых должно быть n −1.

Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все диагональные миноры главного определителя будут положительны.

Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид

Вычислим последовательно диагональные миноры:

1 = 4 >0;

2=8 −42 = −34 < 0;

3= 4 (42 −40) −21 42 = −874 < 0;

4 = −874 10 = −8740 < 0.

Все диагональные миноры отрицательны, следовательно, система неустойчива. Следует отметить, что для исследования устойчивости не обязательно вычислять все миноры. Если при вычислении миноров получают, что его значение отрицательно, дальнейшие расчеты можно прекратить и сделать вывод, что система неустойчива.

2) Исследуем систему автоматического управления на устойчивость с использованием частотного критерия устойчивости Михайлова.

В соответствии с этим критерием необходимо построить годограф Михайлова, который для устойчивых систем имеет строго определенный вид. И

29

График годографа Михайлова представлен на рис. 5, его анализ показывает, что годограф начинается на вещественной положительной полуоси и располагается только в первом квадранте, что свидетельствует о том, что система неустойчива.

5 Содержание контрольной работы

Контрольная работа выполняется на одной стороне листов качественной, белой, нелинованной бумаги плотностью 60 ... 80 г/м2, формата А4 (210х297 мм) в один столбец с полями: левое – 20, правое – 10, верхнее и нижнее – 20 мм. Расстояние между основаниями строк при рукописном исполнении – 8 мм, число строк на одной странице – 30.

Текст контрольной работы выполняют одним из следующих способов:

–рукописным – с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм;

–машинописным (ГОСТ 13.1.002-80). Шрифт пишущей машинки должен бытьчетким, высотойнеменее2,5 мм, лентатолькочерногоцвета(полужирная);

–с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ

(ГОСТ 2.004-68).

При рукописном исполнении текста разрешается использовать чернила (пасту для шариковых и капиллярных ручек) одного из цветов: черного, фиолетового и синего. При этом в пределах всей ПЗ жирность и толщина линий должна быть одинаковой. Использовать другие цвета, в том числе при оформлении рисунков, таблиц и других иллюстраций, не допускается. Подчеркивание, а также жирное исполнение заголовков, отдельных слов и т.п. в тексте, таблицах

ирисунках, с целью их выделения, не разрешается.

При электронном наборе основного текста необходимо использовать шрифт "Timеs New Roman" размером 14 или шрифт "Arial" размером 12 pt, межстрочный интервал - 8 мм, выравнивание текста - по ширине, отступ в абзаце должен быть одинаковым во всем тексте и равным пяти знакам (14 ... 16 мм). Стиль формул для

30

"Microsoft Eguation": обычный символ – 14, крупный символ - 18, мелкий символ

– 12, крупный индекс – 9, мелкий индекс – 7 pt. Допускается при оформлении рисунков и таблиц использовать более мелкий шрифт 12 pt. Следует, однако, помнить, что высота символов и индексов в тексте должна быть не менее 2,0 при рукописном исполнении и 1,8 мм– при электронном. Смешивание рукописного с машинописным и электронным способами исполнения текста не допускается.

При оформлении контрольной работы не допускаются: надрывы, протертости, смятие и загрязнение листов, неразборчивый почерк, небрежно выполненные рисунки и таблицы, неаккуратные исправления в тексте. Описки (опечатки) и графические неточности, обнаруженные в контрольной работе, допускается исправлять аккуратной подчисткой и нанесением исправлений теми же цветом чернил (пасты), жирности и толщиной линий.

Описания и расчеты должны быть краткими, но полностью раскрывать существо вопроса и сопровождаться ссылками на литературные или другие источники.

Контрольная работа должна начинаться с титульного листа. Затем помещается задание, оглавление – полное содержание по разделам с указанием страниц, введения.

Общая часть объемом до 3 страниц содержит 1 вопрос. Вопрос начинается с указания номера в соответствии с заданием на новом листе.

Часть контрольной работы, связанная с решением задач, содержит разделы по составу индивидуального задания, каждый из разделов начинается с номера и вопроса. Объем этой части контрольной работы до 7 страниц.

Библиографический список содержит перечень использованных литературных источников.