Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3878

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

683.43 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки

35.03.01– Лесное дело

Воронеж 2018

УДК 512.8

Сапронов, И. В. Математика [Электронный ресурс]: методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 35.03.01 – Лесное дело / И. В. Сапронов, Н. М. Спирина, В.В. Зенина; ВГЛТУ. - Воронеж, 2018. - 20 с. - ЭБС ВГЛТУ.

Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» протокол №6 от 23.03 2018 г.

Рецензент

Доктор физ.-мат наук,

профессор ВГПУ

В.В.Обуховский

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................................

1.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ МЕТОДАМИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ..................................................................

2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО КОЕФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ,

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ...............................................................	10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................................	20

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Высшая математика» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- самостоятельное изучение теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательство основных теорем; выработка способности проиллюстрировать самостоятельно изученный материал примерами и задачами;

- самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов, а также пояснений об их приложениях к другим разделам математики и к другим наукам;

- закрепление самостоятельно изученного теоретического материала и выработка умения самостоятельно решать задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях.

Обучающийся по результатам освоения дисциплины «Математика» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы .

В результате самостоятельного освоения дисциплины обучающийся должен:

-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов

спомощью теорем и формул различных разделов курса математического анализа;

-уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса математического анализа, решать задачи и примеры по различным разделам

математического анализа с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по линейной алгебре;

- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

			1.1 Практическая часть
П р и м е р 1.			Исследовать методами дифференциального исчисления
функцию y	5x2		и на основании полученных результатов построить еѐ
	x2	25
график.
Решение.		Проведем исследование функции y		5x2	по следующей
				x2 25

схеме:

1.Область определения функции.

В область определения исследуемой функции не входят лишь те

значения x , для которых x2 25 0 , то есть	x 5 и	x 5. Поэтому
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) .

2.Вид функции.

Выясним, является ли функция четной или нечетной.

Если	y( x) y(x) для	любого	x	из	области	определения	функции
y f (x) ,	то эта функция	называется		четной. График четной			функции
симметричен относительно оси ординат.
Если	y( x) y(x) для любого		x	из	области	определения	функции

y f (x) , то эта функция называется нечетной. График нечетной функции

симметричен относительно начала координат. Для нашей функции:

y(x)	5x2		y( x)	5( x)2	5x2		y(x)	5x2
		,				,			.
	x2 25			( x)2 25	x2 25			x2 25
Видим, что y( x) y(x)				для любого x из области определения функции.

Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.

3.Точки пересечения графика функции с осями координат.

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему уравнений

	y 0,
			5x2
			5x2
y					.
y		x	2		.
		x		25

Отсюда получаем, что x 0 , y 0. Следовательно, точка (0;0) является

точкой пересечения графика функции с осью Ox .

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью Oy решим систему уравнений

	6
	x 0,
			5x2
			5x2
y					.
y		x	2	25	.
		x		25

Отсюда

x 0 , y 0,

поэтому точка (0;0) является точкой пересечения

графика функции с осью Oy .

Исследование

функции по первой производной (интервалы

монотонности, точки экстремума).

Найдем первую производную функции:

(5x

25)

10x (x

25)

) (x

25)

10x (x2

25 x2 )

250x

2 25)2

(x2 25)2

y 0 при

x 0 , y

не существует при

x 5

x 5.

Точки

x1 5 ,

x2 0 , x3

5 разбивают область определения функции на четыре интервала

( ; 5) , ( 5;0) , (0;5) ,

(5; ) . Определим знак производной

на каждом из

них. Возьмем любое число из интервала ( ; 5) ,

например

6 .

Так как

250 ( 6)

1500

y ( 6)

12,4 0 ,

поэтому

на всем

интервале

( ; 5)

(36 25)2

121

производная

y 0

и,

следовательно, функция монотонно возрастает.

Аналогично определяем знак производной y

на трех других интервалах:

250 ( 1)

250

y ( 1)

0,4 0 ,

(1 25)2

576

250 2

500

y (2)

1,1 0 ,

(4 25)2

441

250 7

1750

y (7)

3,1

0 .

(49 25)2

576

Результаты исследования занесем в таблицу:

( ; 5)

( 5;0)

(0;5)

(5; )

−

функция

max

функция

возрастает

убывает

Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , ( 5;0) и

убывает на интервалах (0;5) ,						(5; ) . В точке						x 0 производная меняет знак с
«+» на «−», следовательно,						x 0	− точка					максимума					функции. Значение
функции в этой точке равно:
								ymax(0) 0 .
5.	Исследование				функции			по		второй производной									(выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика).
Найдем вторую производную функции:
																			2
		250x								(x	2	25)		2	x ((x		2	25)	2
		250x							(x)	(x		25)			x ((x			25)	)
y						250
y	( y )		2			250							2			4
		(x	2	25)	2							(x	2		25)	4
		(x		25)								(x			25)

250		1 (x2 25)2 2x (x2 25) 2x			250		(x2 25) (x2 25 4x2 )
250			(x2 25)4		250					(x2 25)4
			(x2 25)4							(x2 25)4
250	3x2 25		.
250	(x2 25)3		.
	(x2 25)3
y 0 , если 3x2			25 0 . Это уравнение не имеет решения.
y не существует при x 5 и x 5.
Точки x1 5 , x2 5 разбивают область определения функции на три
интервала: ( ; 5) ,			( 5;5) , (5; ) .	Определим			знак производной y на
				3 62	25			133

				(62 25)2		250		121 274,8 0 ,
каждом из них. Так как y ( 6) 250				(62 25)2		250		121 274,8 0 ,			поэтому
на всем интервале ( ; 5) производная					y	0	и,		следовательно,		график

функции является вогнутым на данном интервале. Аналогично определяем,

что y 0	на	интервале	( 5;5) , поэтому график выпуклый на данном
интервале.	На	интервале (5; ) y 0 , поэтому график вогнутый на этом
интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

	x	( ; 5)		( 5;5)	(5; )
	x			( 5;5)	(5; )

	y	+		−	+

	y
	y	вогнутый		выпуклый	вогнутый
	y	график		график	график
		график		график	график

Точек перегиба на графике функции нет.

6. Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.

Точки разрыва функции – это точки x1 5 и x2 5 , в которых функция не определена. Вычислим пределы функции в этих точках:

lim	5x2		125		,	lim	5x2		125		.

	2	25					2	25
x 5 x				0		x 5 x				0

Поэтому прямые с уравнениями x 5 и x 5 являются вертикальными асимптотами графика функции.

7.Невертикальные асимптоты графика функции.

Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не

параллельную оси Оу. Невертикальная асимптота графика функции

y f (x)

при x существует тогда

только тогда,

когда

существуют

конечные

пределы

lim

f (x)

lim[ f (x) kx] b .

Эта асимптота имеет уравнение y kx b .

Вычислим пределы

f (x)

lim

0 k ,

lim

x x (x2

25)

x x2

x 1

252

5x2

lim[ f (x) kx] lim

0 x

lim

5 b .

252

x x

x 1

Так

как

оба предела

и b конечны,

то

график

функции имеет

невертикальную асимптоту при x . Еѐ уравнение y kx b , то есть y 5 .

8.Построение графика функции.

На основании результатов проведенного исследования строим график функции.

Рис. 1 Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика

функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту часть графика симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.

Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:

	5 22		20				5 72	245
y(2)				0,9	,	y(7)			10,2 .
	22	25	21				72 25	24

9.Множество значений функции.

Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что

E( y) ( ;0] (5; ) .

1.2. Индивидуальные задания

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x) и на основании полученных результатов построить еѐ график.

1. y

3. y

5. y

7. y

9. y

x2 4x 3

	x3
			.
6 2x2
x2	x 4				.
	2x

	1			.

x2 2x
x2
		.
x2	1

2.	y	1 x3						.
2.	y				x2			.
					x2
4. y					x2 2x				.
4. y					x		1		.
					x		1
6. y				x 2			.
6. y							.
					x3
8. y			x3 4					.
8. y					3x	2		.
					3x	2

10. y x3 . x2 1

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО КОЕФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

2.1. Практическая часть

Пример 1. Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины Y на величину X .

xi			20	25	30					35			40	45	n j
y j			20	25	30					35			40	45	n j
y j
	30			6						4					10
	40		4	1	5								7		17
	50		3		4					5				6	18
	60		5	3						10			2		20
	70			2	3								3	5	13
	ni		12	12	12					19			12	11	n =78
		Решение.
		Для упрощения расчетов введем условные варианты:
				u	x u	0					y j	v0
					i	0	,	v					,
							,	v	j				,
				i	hx				j			hy
					hx							hy
где u0 M0 (X ) 35				(max ni 19);
v0 M0 (Y ) 60 (max nj 20);
hx	= 5 (разность между соседними значениями вариант xi );
hy	= 10 (разность между соседними значениями вариант y j ).

Составим корреляционную таблицу с условными вариантами:

ui	–3	–2	–1	0	1	2	n j
v j	–3	–2	–1	0	1	2	n j
v j
–3		6		4			10
–2	4	1	5		7		17
–1	3		4	5		6	18
0	5	3		10	2		20
1		2	3		3	5	13
ni	12	12	12	19	12	11	n =78

Затем находим uB и vB :

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021683 Кб23873.pdf
#
08.01.2021683.02 Кб53874.pdf
#
08.01.2021683.21 Кб23875.pdf
#
08.01.2021683.42 Кб13876.pdf
#
08.01.2021683.43 Кб13877.pdf
#
08.01.2021683.43 Кб13878.pdf
#
08.01.2021683.48 Кб23879.pdf
#
08.01.2021193.37 Кб2388.pdf
#
08.01.2021683.49 Кб03880.pdf
#
08.01.2021683.64 Кб13881.pdf
#
08.01.2021684.02 Кб13882.pdf