3535

21

Функция y(t) является решением дифференциального уравнения.

Задача 2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение и оценить устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений:

Исследование автоматических систем существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у – входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

X (s) x(t)e st dt ,

0

Y (s) y(t)e st dt .

0

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в за-

множители 1 , а самих x(t) и y(t) – изображениями X(s) и Y(s).

s

Воспользуемся определением передаточной функции и найдем операторное уравнение:

В соответствии с таблицами преобразований Лапласа (прил. 1) оригинал выходной функции имеет вид

y t 267 t2 1693 t 219773 219773 e 3t cos 2t 2197129 e 3t sin 2t .

Задача 4. Определить общую передаточную функцию, структурная схема которой приведена на рис. 2.

Определим предварительно передаточные функции типовых соединений звеньев:

передаточную функцию параллельного соединения звеньев:

W5 (s) W1 (s) W2 (s) ;

передаточную функцию последовательного соединения звеньев:

W6 (s) W5 (s) W2 (s) .с учетом введенных обозначений структурную схему системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.

W2(s)

W4(s)

Рис. 2 Структурная схема системы

W4(s)

Рис. 3 Структурная схема эквивалентной системы

25

2s s3 2s2 s 3

откуда характеристическое уравнение запишется в следующим виде:

2s4 4s3 2s2 21s 10 0.

Задачу будем решать с использованием формулировки критерия устойчивости по Гурвицу. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали записываются коэффициенты, начиная с an 1 , выше главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристического уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых должно быть

Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все диагональные миноры главного определителя будут положительны.

Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид

1 4 0;2 8 42 34 0;

3 4 (42 40) 21 42 874 0;4 87410 8740 0.

Все диагональные миноры отрицательны, следовательно, система неустойчива. Следует отметить, что для исследования устойчивости не обязательно вычислять все миноры. Если при вычислении миноров получают, что его значение отрицательно, дальнейшие расчеты можно прекратить и сделать вывод, что система неустойчива.

2) Исследуем систему автоматического управления на устойчивость с использованием частотного критерия устойчивости Михайлова.

26

В соответствии с этим критерием необходимо построить годограф Михайлова, который для устойчивых систем имеет строго определенный вид. И тогда система автоматического управления будет устойчивой, если годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси, обходит последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов координатной плоскости, уходя в бесконечность в n квадранте, где n – порядок характеристического уравнения.

Для записи математического выражения годографа Михайлова необходимо в характеристическом уравнении перейти в частотную область, т.е. в уравнении 2s4 4s3 2s2 21s 10 0 0 сделать замену – s i . В результате получим комплексное выражение

24 4i 3 22 21i 10 0 .

Выделим в этом вещественную часть

P() 24 22 10 0

и мнимую часть

Q( ) 4i 3 21i 0 .

Первая называется вещественной функцией Михайлова, а вторая – мнимой функций Михайлова.

По вещественной и мнимой функциям Михайлова строится годограф Михайлова в координатах P( ) Q() методом контрольных точек. Для этого задается значение частоты, для которой определяются значения функций

P(),Q() .

Q( )

20

10

-20

Рис. 5 Годограф Михайлова

27

График годографа Михайлова представлен на рис. 5, его анализ показывает, что годограф начинается на вещественной положительной полуоси и располагается только в первом квадранте, что свидетельствует о том, что система неустойчива.

4 Содержание самостоятельной работы

Самостоятельная работа выполняется на одной стороне листов качественной, белой, нелинованной бумаги плотностью 60 ... 80 г/м2, формата А4 (210х297 мм) в один столбец с полями: левое – 20, правое – 10, верхнее и нижнее – 20 мм. Расстояние между основаниями строк при рукописном исполнении – 8 мм, число строк на одной странице – 30.

Текст самостоятельной работы выполняют одним из следующих спосо-

бов:

–рукописным – с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм;

–машинописным (ГОСТ 13.1.002-80). Шрифт пишущей машинки должен быть четким, высотой не менее 2,5 мм, лента только черного цвета (полужирная);

–с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ

(ГОСТ 2.004-68).

При рукописном исполнении текста разрешается использовать чернила (пасту для шариковых и капиллярных ручек) одного из цветов: черного, фиолетового и синего. При этом в пределах всей ПЗ жирность и толщина линий должна быть одинаковой. Использовать другие цвета, в том числе при оформлении рисунков, таблиц и других иллюстраций, не допускается. Подчеркивание, а также жирное исполнение заголовков, отдельных слов и т.п. в тексте, таблицах

ирисунках, с целью их выделения, не разрешается.

При электронном наборе основного текста необходимо использовать шрифт "Timеs New Roman" размером 14 или шрифт "Arial" размером 12 pt, межстрочный интервал - 8 мм, выравнивание текста - по ширине, отступ в абзаце должен быть одинаковым во всем тексте и равным пяти знакам (14 ... 16 мм). Стиль формул для "Microsoft Eguation": обычный символ – 14, крупный символ - 18, мелкий символ

– 12, крупный индекс – 9, мелкий индекс – 7 pt. Допускается при оформлении рисунков и таблиц использовать более мелкий шрифт 12 pt. Следует, однако, помнить, что высота символов и индексов в тексте должна быть не менее 2,0 при ру-

28

кописном исполнении и 1,8 мм– при электронном. Смешивание рукописного с машинописным и электронным способами исполнения текста не допускается.

При оформлении самостоятельной работы не допускаются: надрывы, протертости, смятие и загрязнение листов, неразборчивый почерк, небрежно выполненные рисунки и таблицы, неаккуратные исправления в тексте. Описки (опечатки) и графические неточности, обнаруженные в самостоятельной работе, допускается исправлять аккуратной подчисткой и нанесением исправлений теми же цветом чернил (пасты), жирности и толщиной линий.

Описания и расчеты должны быть краткими, но полностью раскрывать существо вопроса и сопровождаться ссылками на литературные или другие источники.

Самостоятельная работа должна начинаться с титульного листа. Затем помещается задание, оглавление – полное содержание по разделам с указанием страниц, введения.

Общая часть объемом до 3 страниц содержит 1 вопрос. Вопрос начинается с указания номера в соответствии с заданием на новом листе.

Часть самостоятельной работы, связанная с решением задач, содержит разделы по составу индивидуального задания, каждый из разделов начинается с номера и вопроса. Объем этой части самостоятельной работы до 7 страниц.

Библиографический список содержит перечень использованных литературных источников.

29

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Иванов, А.А. Управление в технических системах [Текст] : учеб. пособие / А.А. Иванов, С.Л. Торохов. – М.: ФОРУМ, 2012 с. – (Высшее образование)

2.Мельников, А.А. Теория автоматического управления техническими объектами автомобилей и тракторов [Текст]: учеб. пособие / А.А. Мельников. – Издат. центр «Академия», 2003. – 278 с.

3.Мельников, А.А. Управление техническими объектами автомобилей и тракторов [Текст]: учеб. пособие / А.А. Мельников. – Издат. центр «Академия»,

2003. – 375 с.

4.Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления [Текст]: учеб. пособие / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – СПб.: «Профессия», 2003. – 752 с.

5.Теория автоматического управления [Текст]: учеб. для машиностроит. спец. вузов / В.Н. Брюханов [и др.]; под ред. Брюханова В.Н. – 3-е изд. стер. –

М.: Высш. шк., 2000. – 268 с.