3533

ln 2x dx =

u ln(2x)

dv dx

xln(2x) x

1

dx

1

du

dx

v x

x

x

xln(2x) x C .

5x 3

Пример 6.

Вычислить интеграл

dx .

3x2

3x 10

5

2x 1

11

5x 3

dx

1

5x 3

dx

1

2

2

dx =

=

3x2 3x 10

3

x2 x

10

3

x2 x

10

3

3

1 5

2x 1

1 11

dx

5

10

dx

ln

x2 x

3

2

x2 x

10

3

2

1

2

37

6

3

3

x

2

12

x

1

11

1

arctg

2

C .

6

37

37

12

12

(x)

При решении мы воспользовались правилом

( x) dx ln

(x)

C

7x 15

Пример 7.

Вычислить интеграл

dx .

x3 2x2 3x

а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители:

x3 2x2 3x x

x2

2x 3 x x 1 x 3 .

7x 15

A

B

C

.

x

x 1

x3 2x2 3x

x

3

Тогда

7x 15

x 3

Cx

x 3

A

x 1 Bx

x 1

,

x3 2x2 3x

x x 3 x 1

Следовательно,

7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 .

Определим постоянные

A,

В и С .

Если

x 0 ,

то

15

3A и

A 5;

если

x 3,

то

36

12B

и

B 3;

если

x 1,

то

8 4C

и

C 2 .

Тогда

7x 15

5

3

2

dx

3

dx

dx =

dx =

5

x

3

2x

2

x 3

x 1

x

3x

x

x

3

2

dx

5ln

x

3ln

x 3

2ln

x 1

C .

x 1

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

2

x

x

2

(x2

1 x

x )2

1.

dx ;

1.

dx ;

1.

dx ;

x

x

x

x

x

e

x2

xdx

dx

2.

cos

x

dx ;

2.

;

2.

;

cos

2

x

x

1 tgx

x

3

4

1

3.

3 x dx ;

ln6 x

2

x

3.

dx ;

3.

dx ;

x

x

4.

x cos(2x)dx ;

4.

x arctgxdx ;

4.

x e xdx ;

5.

x2exdx ;

5.

ex sin xdx ;

5.

x2 cos(2x)dx ;

6.

3x 1

dx ;

6.

2x 1

dx ;

6.

x 1

dx ;

x2 3x 1

3x2 4x 2

2x2 x 1

7.

dx

.

x 3

2x 1

7.

dx .

7.

dx .

3sin x 4cos x

(x2 1)(x 1)

(x 1)(x2

5)

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

2

3

1.

cos(2x)

dx

1.

3x 5x 4

dx

x 1

2

x sin

2

1.

cos

x

x

dx

x