3271
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Воронежская государственная лесотехническая академия
ДИАГНОСТИКА И НАДЁЖНОСТЬ
АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторных работ
для студентов специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и произ-
водств в лесном комплексе
ВОРОНЕЖ 2005
2
УДК 681.5
Глухов, Д.А. Диагностика и надёжность автоматизированных систем [Текст]: методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств в лесном комплексе / Д.А. Глухов; Фед. агенство по образованию, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования, Воронеж. гос. лесотехн. акад.
– Воронеж, 2005. – 48 с.
Печатается по решению редакционно-издательского совета ВГЛТА
Рецензент д-р техн. наук,
проф. зав. кафедрой АТП ВГАСУ В.Д.Волков
3
Лабораторная работа № 1 Показатели надёжности невосстанавливаемых систем
Цель работы: Научиться производить расчёт вероятности безотказной работы P(t) , вероятности отказа Q(t), плотности распределения f (t), интенсивности отказов λ(t) , средней наработки до отказа τ~ , дисперсии D[T] и среднеквадратического отклонения σ[T] наработки до отказа по результатам испытаний невосстанавливаемых систем.
Теоретические сведения
Показатели надежности – это количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность системы.
Наработка до отказа T , как и любая иная случайная величина, описывается функцией распределения F(t) . Эта функция определяется как вероятность P случайного события, которое заключатся в том, что наработка до отказа T меньше некоторой заданной наработки t .
Кроме вероятностного определения функции F(t) , для нее можно привести и статистические определения, которые используются при испытаниях на надежность. Обозначения статистических определений далее будут отмечаться волнистой чертой сверху.
Статистическим определением функции распределения F(t) является функция
|
~ |
|
N(t) |
|
|
|
F(t) = |
|
, |
(1.1) |
|
|
N |
||||
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||
причем при t = 0 F(t) = 0 |
, а при t → ∞ величина F(t) → ∞ . |
|
|||
График функции распределения |
~ |
представляет собой ступенчатую |
|||
F(t) |
|||||
линию со скачками, кратными 1 в моменты отказов (рис. 1.1).
N
Так как события, которые заключаются в наступлении или не наступлении отказа к моменту t , являются противоположными, введем еще одну функцию
P(t) = 1− F(t), |
(1.2) |
которую часто называют функцией надежности или вероятностью безотказной работы в момент времени t .
Примерный вид функции P(t) показан на рис. 1.1. |
|
|||
Статистическое определение функции надежности следует из (1.1) |
|
|||
~ |
~ |
N − N(t) |
|
|
P(t) = 1 |
− F(t) = |
|
, |
(1.3) |
|
||||
N
где N − N(t) - число систем, работоспособных к моменту времени t .
4
Функция F(t) , как правило, непрерывна, и существует непрерывная плотность распределения наработки до отказа
f (t) = |
dF(t) |
. |
(1.4) |
|
|||
|
dt |
|
|
Для статистического определения плотности распределения |
f (t) рассмот- |
||
рим интервал времени (t − t , t + t) , где t – длина этого интервала. Тогда
22
|
N (t − |
t |
, t + |
t |
) |
|
|
~ |
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|||
f (t) = |
|
, |
(1.5) |
||||
|
|
|
|||||
|
|
N |
t |
|
|||
где |
N(t − t , t + |
t) – число систем, отказавших в |
интервале времени |
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
(t − |
t , t + |
t) . |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Если зафиксировать в функции распределения F(t) |
момент времени t = t1 , |
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) = F(t1 ) = P{T < t} |
(1.6) |
||
является вероятностью отказа системы до момента t1 . |
|
|||||
|
При фиксированном значении t = t1 |
статистическое определение вероят- |
||||
ности отказа |
|
|
|
|
||
|
|
|
~ |
N (t ) |
|
|
|
|
|
Q(t ) = |
1 |
. |
(1.7) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
||
Интенсивность отказов λ(t) – это характеристика, которая определяется как условная плотность вероятности отказа системы в момент t при условии, что до этого момента отказы не возникали.
Интенсивность отказов определяется из выражения
|
|
|
|
|
|
|
λ (t) = |
f (t) |
, |
|
|
|
|
(1.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
из чего следует, что λ(t) ≥ f (t) . Для |
статистического определения |
интенсивно- |
||||||||||||||||
сти отказов в выражение (1.8) вместо |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||||||||
f (t) подставим f (t) , а вместо P(t) под- |
||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ставим P(t), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
~ |
~ |
|
|
N (t − t , t + t ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
f (t) |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
λ (t) = |
|
|
= |
|
|
, |
|
|
(1.9) |
|||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P(t) |
|
|
t[N − N (t)] |
|
|
|
|||||||
где N(t − |
t |
,t + |
t |
) – число систем, отказавших на интервале (t − |
t |
,t + |
t |
) ; |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
[N − N(t)] – число систем, работоспособных к моменту t . |
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 1.1. Пусть испытывалось N = 100 невосстанавливаемых систем. К |
||||||||||||||||||
моменту t1 = 7500ч число отказавших систем |
N(t1) = 10 ; к моменту t2 = 8000ч |
|||||||||||||||||
N(t2 ) = 11, к моменту t3 = 8500 ч N(t3) = 13. Найти вероятность безотказной работы
5
P(t2 ) , вероятность отказа Q(t2 ) , плотность распределения f (t2 ) и интенсивность отказов λ(t2 ) для t2 = 8000ч.
Решение.
При определении f (t2 ) и λ(t2 ) рассмотрим интервал времени
(t1 = t2 − |
t |
,t3 = t2 + |
t |
) , где t =t3−t1 |
– длина этого интервала, а момент t2 располо- |
||||||
|
|
||||||||||
2 |
2 |
||||||||||
жен посередине него. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно соотношениям (1.3) и (1.7) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
~ |
= |
|
N(8000) |
= |
11 |
= 0,11 |
; |
|
|
|
|
Q(8000) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N100
~ |
= |
N − N(8000) |
= |
100 −11 |
= 0,89. |
||
P(8000) |
|
|
|
|
|||
N |
100 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Согласно (1.5)
|
~ |
|
= |
N(8500) − N(7500) |
= |
|
13 −10 |
|
= 3 |
10−5 |
ч –1. |
||||||
|
f (8000) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
N |
t |
|
|
100 |
1000 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Согласно (1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
N(8500) − N(7500) |
|
13 −10 |
|
= 3,37 10−5 |
ч –1. |
||||||||||
λ |
(8000) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
[N |
− N(8000)] |
t |
(100 |
−11)1000 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) – это математическое ожидание случайной величины T – наработки до отказа (или времени безотказной работы).
∞ |
|
||
τ = M[T] = ∫tf (t)dt, |
(1.10) |
||
0 |
|
|
|
где M – символ математического ожидания. |
|
||
Статистическое определение средней наработки до отказа |
|
||
N |
|
||
τ~ = ∑ |
ti |
, |
(1.11) |
|
|||
i=1 N |
|
||
где ti − наработка до отказа i -й системы; N – число систем.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение наработки до отказа вычисляются соответственно по формулам
∞ |
|
∞ |
|
D[T] = M[T −τ )2 ] = ∫(t −τ )2 f (t)dt =∫t2 f (t) −τ 2, |
(1.12) |
||
0 |
0 |
|
|
σ[T] = |
|
|
|
D[T] , |
|
||
где τ и σ[T] имеют размерность времени (обычно они выражаются в часах); D[T]– квадрата времени.
Статистические определения дисперсии и среднеквадратического отклонения соответственно
6
|
|
N |
|
−τ~)2 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
(ti |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|||||||||
D |
T |
|
|
; σ |
|
T |
= |
D |
|
T |
|
. |
(1.13) |
||
|
|
||||||||||||||
|
|
t=1 |
N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.2. Определить среднюю наработку до отказа τ~ , дисперсию D[T] и среднеквадратическое отклонение наработки до отказа по результатам испытаний невосстанавливаемых систем. Число испытуемых систем
работка до отказа каждой i -ой системы (i = 8) приведена ниже:
|
|
|
t1 |
t2 |
t3 |
|
t4 |
t5 |
t6 |
t7 |
t8 |
||||||||
12300 7600 |
|
14100 2900 |
9300 |
8500 |
10600 13100 |
|
|||||||||||||
Решение. Согласно (1.11) средняя наработка до отказа |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(12300 + 7600 +14100 + 2900 + 9300 + 8500 +10600 +13100) |
|
||||||||||||||||
τ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 9780 ч. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно (1.13) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~ |
|
T |
|
= 14 10 |
6 |
2 |
; |
~ |
|
T |
|
= 3740 ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
ч |
σ |
|
|
|
|
||||||
Задание
1.Пусть испытывалось N невосстанавливаемых систем. К моменту t1 ч число отказавших систем N(t1) , к моменту t2 ч N(t2 ) , к моменту t3 ч N(t3) и к моменту t4 ч N(t4 ) . Найти два из четырёх основных показателей надёжности: вероятность безотказной работы P(t) , вероятность отказа Q(t), плотность распределения f (t) и интенсивность отказов f (t) для момента времени t ч.
2.Определить среднюю наработку до отказа τ~ , дисперсию D[T] и среднеквадратическое отклонение σ[T] наработки до отказа по результатам испытаний невосстанавливаемых систем. Число испытуемых систем N . Наработка до отказа каждой i -ой системы: t1 , t2 …ti .
Таблица 1.1 Варианты исходных данных для лабораторной работы № 1
Вариант |
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 110 ; |
t1 |
= 6000ч; N(t1) = 5; t2 = 7300 ч; N(t2 ) = 10; t3 = 8100 ч; |
|||||||||
1 |
N(t3) = 12 ; t4 |
= 8500ч; N(t4 ) = 14 . P(t2 ) –?; |
f (t2 )–? |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 5; t |
= 3560ч; |
t |
2 |
= 5400 ч; t |
3 |
= 5890ч; |
t |
4 |
= 4700ч; |
t = 6000ч. τ~ –?; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
|
D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N = 90; t1 = 7600ч; |
|
N(t1) = 11; t2 |
|
= 8000ч; |
N(t2 ) = 13; t3 |
= 8450 ч; |
|||||
2 |
N(t3) = 14 ; t4 |
= 8900ч; N(t4 ) = 16. P(t3) –?; λ(t3) –? |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N = 6 ; t1 |
= 5700ч; t2 |
= 5100 ч; t3 |
= 6350ч; t4 |
= 4800ч; t5 |
= 6500ч; |
||||||
|
t6 = 6050 ч.τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1.1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
N = 88; t1 = 7800ч; N(t1) = 9 ; t2 |
= 8150ч; N(t2 ) = 11; t3 = 8300 ч; N(t3) = 15; |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
N(t4 ) = 16. Q(t2 ) –?; |
|
f (t2 )–? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N = 7 ; t1 = 8900ч; t2 |
= 7600 ч; t3 |
= 7200ч; t4 |
= 8300ч; t5 |
= 8550ч; t6 |
|
= 6900 ч; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
t7 |
= 7450ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
N = 105; t1 |
= 7900ч; |
N(t1) = 10 ; |
t2 |
= 8200ч; |
N(t2 ) = 15; t3 |
= 8600 ч; |
|
N(t3) = 16 ; |
|||||||||||||||||||
4 |
t4 |
= 9500 ч; N(t4 ) = 20. Q(t3)–?; λ(t3) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N = 8; t1 = 2500; t2 = 3700 ; t3 = 4100 ; |
t4 = 3300 ; |
t5 = 2800 ; |
t6 |
= 3000; t7 |
= 3350 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
= 2600 .τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N = 120 ; |
t1 = 7000ч; |
|
N(t1) = 8; |
|
t2 |
|
= 7800 ч; |
N(t2 ) = 10; |
|
t3 = 8150 ч; |
N(t3) = 13; |
||||||||||||||||
5 |
t4 |
= 8400ч; N(t4 ) = 14. P(t2 )–?; |
f |
(t2 ) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
N = 9 ; t1 |
= 4800ч; t2 |
|
= 5700 ч; t3 |
|
= 6100ч; t4 |
= 5900 ч; t5 |
= 4700 ч; t6 |
|
= 4100ч; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
t |
7 |
= 5550 ч; |
t = 6000 |
ч; |
t = 5900 |
ч.τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N = 80; t1 = 2500 ч; N(t1) = 6 ; t2 |
= 3000 ч; N(t2 ) = 7; t3 = 4100 ч; N(t3) = 10 ; |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
t4 |
= 4600ч; N(t4 ) = 12. P(t3) –?; λ(t3) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N = 10 ; t1 = 5500ч; t2 |
|
= 6000 ч; t3 |
= 6500ч; t4 |
= 6100 ч; t5 |
= 6150ч; t6 |
= 6600 ч; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
t |
7 |
= 5200 ч; |
t = 5800 |
ч; |
t = 7000 |
ч; |
t |
|
= 6900ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N = 75; t1 = 7900ч; N(t1) = 11; t2 |
= 8000ч; N(t2 ) = 12; t3 |
= 8700 ч; N (t3 ) = 15 ; |
|||||||||||||||||||||||||
7 |
t4 |
= 9100 ч; N(t4 ) = 17. Q(t2 ) –?; |
|
f (t2 )–? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
N = 11; t1 = 8600ч; t2 |
|
= 7100 ч; t3 |
= 9500ч; t4 |
= 8700ч; t5 |
= 7000ч; t6 |
= 7800 ч; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
t |
7 |
= 9000 ч; |
t = 7300ч; t = 7500ч; |
t |
|
= 8000 |
ч; t |
= 8200 ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N = 110; t1 |
= 7800ч; |
N(t1) = 15 ; t2 |
= 8000ч; |
N(t2 ) = 16; t3 |
= 8600 ч; N(t3) = 18; |
||||||||||||||||||||||
|
t4 |
= 8900ч; N(t4 ) = 21. Q(t3)–?; λ(t3) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8 |
N = 12 ; |
t1 |
= 9800ч; |
|
|
t2 |
= 9400 ч; |
|
t3 |
= 9000ч; t4 |
= 8500ч; |
t5 |
= 8700ч; |
t6 = 8300ч; |
||||||||||||||
t |
|
= 7900ч; |
t = 9600 |
ч; |
t = 8400 |
ч; |
t |
|
= 7600ч; t |
= 8900 ч; t |
= 8000ч. τ~ –?; D[T]– |
|||||||||||||||||
|
7 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||
|
?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
N = 90 ; |
t1 |
= 7200ч; |
|
|
N(t1) = 11; |
|
t2 |
|
= 8200ч; |
N(t2 ) = 13; |
|
t3 = 8500 ч; |
N(t3) = 14 ; |
||||||||||||||
9 |
t4 |
= 9000 ч; N(t4 ) = 16. P(t2 )–?; |
f (t2 ) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N = 11; t1 = 500ч; t2 |
= 700 ч; t3 = 550ч; t4 = 900 ч; t5 = 950ч; t6 = 750 ч; t7 = 600 ч; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
= 670ч; t |
= 750 ч; |
|
t |
= 1000ч; t |
|
= 1100 ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N = 125; t1 |
= 2000 ч; |
|
N(t1) = 14 ; t2 |
= 2650ч; |
N(t2 ) = 16; t3 |
= 2900 ч; |
|
N(t3) = 18; |
|||||||||||||||||||
10 |
t4 |
= 3500 ч; N(t4 ) = 19. P(t3) –?; λ(t3) –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
N = 10 ; t |
= 9800ч; t |
2 |
= 8700ч; t |
= 9500ч; t |
4 |
= 9000 ч; t |
|
= 9800ч; t |
6 |
= 8100ч; |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
t |
7 |
= 10100 ч; t = 9200ч; t = 8300ч; |
|
t |
|
= 8500ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8
Окончание табл.1.1
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
N = 100; t1 = 4500 ч; |
N(t1) = 15 ; t2 |
= 5000 ч; |
N(t2 ) = 18; t3 = 6000ч; |
|||||||||||||||
11 |
N(t3) = 20 ; t4 |
= 6500 ч; N(t4 ) = 23. Q(t2 ) –?; |
f (t2 )–? |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N = 9 ; t1 |
= 3200ч; t2 |
= 4000ч; t3 |
= 3900ч; t4 |
= 4300ч; t5 |
= 4500 ч; |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
t |
6 |
= 5000ч; t |
7 |
= 3600 |
ч; |
t = 4700 |
ч; t = 4100 |
ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
N = 90 ; t1 = 6500ч; N(t1) = 10 ; t2 |
= 7300 ч; N(t2 ) = 12; t3 = 8000 ч; |
|
||||||||||||||||
|
N(t3) = 13; t4 |
|
= 8500ч; N(t4 ) = 16. Q(t3)–?; λ(t3) –? |
|
|
|
|||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N = 8; |
t1 = 2800ч; |
|
t2 |
= 2600ч; |
t3 = 3200ч; |
t4 = 3500 ч; |
t5 |
= 2850 ч; |
|||||||||||
|
t |
6 |
= 2600 |
ч; t |
7 |
= 3250 |
ч; |
t = 3700 |
ч.τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
N = 120 ; |
t1 = 7500ч; |
N(t1) = 12 ; |
t2 = 8000ч; |
N(t2 ) = 15; |
t3 |
= 8600 ч; |
||||||||||||
13 |
N(t3) = 17 ; t4 |
= 9000 ч; N (t4 ) = 18 . P(t2 )–?; |
|
f (t2 ) –? |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N = 7 ; t1 |
= 5800ч; t2 |
= 5000 ч; t3 |
= 6200ч; t4 |
= 5600 ч; t5 |
= 5700ч; |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
t6 |
= 6600 ч; t7 |
= 6300ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
||||||||||||
|
N = 80; t1 = 1500ч; N(t1) = 9 ; t2 = 2000ч; N(t2 ) = 11; t3 = 2400 ч; |
|
|||||||||||||||||
|
N(t3) = 12 ; t4 |
= 2900ч; |
N(t4 ) = 14. P(t3) –?; λ(t3) –? |
|
|
|
|||||||||||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 6 ; t1 |
= 6500ч; t2 |
= 6700ч; t3 = 6000ч; t4 |
= 7200 ч; t5 |
= 6800ч; |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
t6 |
= 6200 ч. τ~ –?; D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N = 110 ; t1 = 9000ч; |
N(t1) = 12 ; t2 |
= 9500 ч; |
N(t2 ) = 15; t3 = 9900ч; |
|||||||||||||||
15 |
N(t3) = 17 ; t4 |
= 10600 ч; N(t4 ) = 18. Q(t2 ) –?; |
f (t2 ) –? |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
N = 5; t |
= 3900ч; t |
2 |
= 3400 ч; t |
= 3000ч; t |
4 |
= 4500ч; t |
= 2900 ч. τ~ –?; |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
D[T]–?; σ[T] –? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для защиты
1.Рассказать о вероятности безотказной работы P(t) .
2.Рассказать о вероятности отказа Q(t).
3.Объяснить связь между вероятностью безотказной работы P(t) и вероятностью отказа Q(t).
4.Рассказать о плотности распределения f (t).
5.Рассказать об интенсивности отказов λ(t) .
6.Объяснить сущность средней наработки до отказа τ~ , дисперсии D[T] и среднеквадратическое отклонение σ[T] наработки до отказа.
7.Дать понятие статического определения показателей надёжности.
9
Лабораторная работа № 2 Основные законы распределения наработки до отказа
Цель работы: Научиться производить расчёт вероятности безотказной работы P(t) , плотности распределения f (t), интенсивность отказов λ(t) и средней наработки до отказа τ при экспоненциальном и нормальном законах распределения наработки до отказа.
Теоретические сведения
Экспоненциальное распределение.
Функция распределения наработки до отказа (вероятность отказа) имеет
вид |
|
F(t) =1− l−λt , |
(2.1) |
где λ – параметр этого распределения. |
|
Плотность распределения |
|
f (t) = λl −λt . |
(2.2) |
Функция надежности |
|
P(t) = l−λt . |
(2.3) |
Средняя наработка до отказа
∞ |
∞ |
|
||
τ = ∫ |
P(t)dt = ∫l−λt dt = |
1 |
. |
(2.4) |
|
||||
|
|
λ |
|
|
00
Интенсивность отказов
|
f (t) |
|
λl−λt |
|
λ(t) = |
|
= |
= λ . |
(2.5) |
|
||||
|
P(t) |
|
l−λt |
|
Пример 2.1. Наработка системы до отказа описывается экспоненциальным распределением с параметром λ = 1 10−4 ч-1. Определить вероятность безотказной работы P(t1) и плотность распределения f (t1) при t1 = 2000 ч, а также среднюю наработку до отказа τ .
Решение.
Согласно (2.3)
P(2000) = l−110−4 2000 = 0,819.
Согласно (2.2)
f (2000) =1 10−4 l−110−4 2000 = 0,819 10−4 ч-1. Согласно (2.4)
1
τ = λ = 104 ч.
10
Нормальное распределение.
Функция распределения наработки до отказа (вероятность отказа)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
−(x−m)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫l |
2δ 2 |
|
|
dx, |
|
|
|
|
(2.6) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
δ |
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где δ и m - параметры нормального распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вероятность безотказной работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
−(x−m)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P(t) =1− |
|
|
|
|
|
|
|
∫l |
|
|
2δ 2 |
|
dx, |
|
|
|
|
(2.7) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
δ |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где δ и m - параметры нормального распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Плотность распределения наработки до отказа |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−(t−m)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
2δ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
|||||||||||
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Средняя наработка до отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
||||||||||||||||||
Для практического использования соотношений (2.6) , (2.7) |
и (2.8) перей- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дем от случайной величины T к иной случайной величине |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z = |
T − m |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеющей математическое ожидание M[Z] = 0 и дисперсию D[Z] = 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Плотность распределения величины Z следует из (2.8) и (2.10) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d(z δ + m) |
|
|
|
|
1 |
|
e− |
z2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
ϕ(z) = f (z δ + m) |
= |
|
2 |
|
. |
(2.11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 π |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Соответственно функция распределения величины Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Φ(z) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∫e− |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2.12) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Очевидно, что функция ϕ(z) является симметричной, т. е. ϕ(−z) = ϕ(z) , следовательно, Φ(−z) = 1− Φ(z) .
В документации часто приводят значения не функции Φ(z), а несколько иной функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
e− |
z2 |
|
||
|
Φ |
0 |
(z) = |
|
|
|
2 |
dx. |
(2.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функции Φ(z) и Φ0 (z) связаны между собой соотношением |
|
|||||||||||||||
0,5 |
+ Φ0 (z), |
|
|
|
|
если z ≥ 0; |
|
|||||||||
Φ(z) = |
− Φ0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если z ≤ 0. |
(2.14) |
||||
0,5 |
|
z |
|
), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||