3183

2. Геометрическое моделирование

Геометрическое моделирование имеет своей целью описание объектов,

обладающих геометрическими свойствами. История геометрического моделирования начинается с первых работ по машинной графике, связанных с визуализацией сложных объектов. Для этого разрабатывались методы и алгоритмы формирования произвольных линий и поверхностей, удаления невидимых элементов и т.д. Геометрическая модель объекта является машинным представлением его формы и размеров.

Различают двумерное и трехмерное геометрическое моделирование.

Двумерные модели, которые позволяют формировать и изменять чертежи, были первыми моделями, нашедшими применение. Этот вид моделирования широко применяется до сих пор при решении разнообразных задач.

Однако двумерное представление часто не совсем удобно для достаточно сложных объектов. Традиционно они представлялись либо большим числом чертежных проекций и разрезов, либо макетом. Трехмерная геометрическая модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление объекта во всех трех измерениях.

2.1 Двумерная модель

Двумерная геометрическая модель оперирует данными следующих типов:

геометрическими (отрезок, соединяющий две точки, контур, определенный своими базовыми объектами, направления обхода и пересечения и т. д.);

структурными (комплекс состоит из базовых элементов), структурирование, ориентированное на понятия сборки, часто выполняется в виде дерева;

оформительскими (размерные линии, тексты, штриховка, различные условные обозначения), например, оформление чертежа должно выполняться на двумерной модели, которая может содержать много полезных сведений, в

частности о связях между размерами и соответствующими элементами. О методах

13

построения, реализуемых достаточно просто и имеющих много достоинств,

использование библиотек символов, геометрические преобразования;

графическими (в большинстве случаев очень удобна для визуализации), вот почему часто графические данные хранятся в двумерной модели. К ним можно отнести тип линии (штриховая, сплошная, штрихпунктирная и т.д.);

топологическими (отрезок, соединяющий две точки, контур, определенный своими базовыми объектами, направления обхода и пересечения и т.д.);

реляционными (в моделях высокого уровня может существовать некоторое число понятий, представляющих отношения между элементами или их совокупностями). Речь идет, например, о геометрических отношениях между элементами (А касается В) или отношениях соединения деталей в узле (деталь А связана с деталью В соединением типа «плоскость - плоскость»);

графическими (двумерная модель в большинстве случаев очень удобна для визуализации). Вот почему часто графические данные хранятся в двумерной модели. К ним можно отнести, в частности, тип линии (штриховая, сплошная,

штрихпунктирная и т.д.) для базовых элементов или же сведения более высокого

уровня, например, о визуализации или выборе видов.

2.2Трехмерная модель

Вгеометрическом моделировании объект можно представить в виде:

Каркасная (проволочная) модель (рис. 1)

Поверхностная (полигональная или фасетная) модель (рис. 2)

Твердотельная (объемная) модель (рис. 3)

14

I) Каркасная: конструктивными элементами являются ребра и точки. Эта модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей. Каркасные модели удобны для представления двумерных геометрических объектов на плоскости, на основе каркасной модели можно получать их проекции. Но в ряде случаев они дают неоднозначное представление и имеют ряд недостатков:

неоднозначность, нельзя отличить видимые линии от невидимых, можно по-разному интерпретировать изображение;

невозможность распознавания криволинейных граней, и, вследствие этого сложности тонирования;

сложность обнаружения взаимного влияния компонентов.

Каркасные модели не используются для анимации. Возникают трудности при вычислении физических характеристик: объем, масса, и т.д. Используются такие модели преимущественно для самых общих построений.

II) Поверхностные модели: при построении такой модели предполагается, что технологические объекты ограничены плоскостями, которые ограничивают их от окружающей среды. Конструктивными элементами являются точки, ребра и поверхности. Здесь используются также различные криволинейные поверхности,

что позволяет задавать тоновые изображения.

Поверхность технологического объекта, как и в каркасном моделировании,

получается ограниченной контурами, но в полигонном моделировании эти

15

контуры являются результатом двух касающихся или пересекающихся поверхностей. Здесь часто используются аналитические кривые, т.е. исходные кривые описываемые некоторой сложной математической зависимостью.

Поверхностные модели дают возможность удобства скульптурного изображения, т.е. любую поверхность можно внести как элементарную и в дальнейшем использовать ее для формирования сложных изображений.

Использование таких поверхностных моделей позволяет легко изобразить сопряжение поверхностей.

Недостатком полигонного моделирования является то, что чем больше задающих поверхностей необходимо для описания объекта, тем сильнее полученная модель будет отличаться от его реальной формы, и тем выше количество обрабатываемой информации, а значит и определенные сложности в воспроизведении первоначального объекта.

III) Твердотельные модели. Конструктивными элементами твердотельных моделей являются: точка, контурный элемент и поверхность. В настоящее время используют два вида объемных моделей:

–граничная модель (B-rep, Boundary Representation). Объект представлен в модели охватывающей его «оболочкой»;

–конструктивная модель (C-rep, Constructive Representation). Объект представлен в модели операциями построения, использованными для его задания.

Сами операции могут быть представлены в процедурной форме или структурой данных.

Для объемных моделей объектов существенно разграничение точек на внутренние и внешние, по отношение к объектам. Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, ограничивающие объект, и затем они собираются в объект.

Разнообразная палитра цветов дает возможность получения фотоизображения. В качестве базовых примитивов используются различного вида отдельные

элементы: цилиндр, конус, параллелепипед, усеченный конус.

16

В основе построения сложных объемов из примитивов лежат булевы операции:

- пересечение;

- объединение;

/ - разность.

Их использование базируется на теоретико-множественном представлении об объекте как множестве точек принадлежащих тому или иному телу. Операция объединения предполагает объединение всех точек принадлежащих обоим телам

(объединение нескольких тел в одно); пересечение – всех точек, лежащих на пересечении (результаттело, которое содержит частично оба исходных тела);

разность – вычитание одного тела из другого.

Все эти операции могут применяться последовательно над базовыми элементами и промежуточными результатами, получая нужный объект.

Таким образом, строятся все детали в машиностроении: добавляются бобышки, вырезаются отверстия, пазы, проточки, и т.д.

Обособленным случаем объемной модели являются конструктивные модели, в

которых геометрические объекты представляются в виде структур. Известны следующие способы построения таких структур:

1.Объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

2.Объем определяется комбинацией элементарных объемов, каждый из которых обращается в соответствии с пунктом 1.

17

3D Моделирование позволяет самое удобное получение физических характеристик, удобно для выполнения имитации механической обработки.

Трехмерные геометрические модели каркасного, поверхностного и твердотельного типов должны образовывать иерархию, в которой осуществляется наследо­вание свойств нижних уровней. Для обоснования выбора необхо­димых структур данных введем следующие наследуемые моделями разных уровней признаки или свойства.

1-ый уровень - каркасные модели - модели, позволяющие определение длин ребер объекта.

2-ой уровень - поверхностные модели - модели, позволяющие определение площадей граней объекта.

3-ий уровень - твердотельные (объемные) модели - модели, позволяющие определение объема объекта.

Модель низшего уровня - каркасная, для обеспечения требуемого свойства должна включать информацию о ребрах, то есть топологическую информацию о том, какие вершины объекта соединены друг с другом. Это может быть обеспечено включением в структуру данных одного из неупорядоченных топологических отношений

2.3 Методы построения объектов

Объекты, которые задаются одним видом и толщиной, и объекты,

представляющие собой тела вращения, являются особым классом объектов,

которые могут быть описаны средствами технического черчения и параметрами,

18

определяющими объект в пространстве (толщина или ось и угол). То есть, этот вид задания трехмерных объектов является простым расширением модели для технического черчения.

Объект можно также описать каким-либо элементом (гранью или сплошным телом) и траекторией в пространстве.

2.3.1 Параметризация

Этот метод строится на основе понятия "семейства объектов". Последнее состоит из элементов, различающихся лишь значениями некоторых геометрических параметров. Тогда конкретный вариант тела определяется заданием значений параметров. Такой способ можно назвать частичной параметризацией, так как большинство геометрических характеристик произвольного объекта семейства должно вычисляться по задаваемым разработчиком выражениям, связывающим каждую характеристику с выбранными параметрами. Более удобна полная параметризация, в которой геометрическая модель объекта связана с его размерной сеткой. Изменение любого из размеров в этом случае должно приводить к изменению геометрической модели. Задача полной параметризации пока не имеет общего решения, так как не удалось формализовать понятия достаточности и избыточности размерной сетки. Не решена также проблема эквивалентности различных достаточных размерных сеток одного и того же объекта. Ввиду этого,

решение проблемы полной параметризации должно строиться на базе методов искусственного интеллекта.

2.3.2 Построение модели из базовых объектов

Этот метод состоит в генерации сложных объектов путем выполнения булевых операций над более простыми объектами. Базовыми объектами могут быть параллелепипед, цилиндр, сфера, конус и подобные им объекты, имеющие несложное аналитическое описание. Обычно выполняются операции сложения,

вычитания и пересечения.

19

2.3.3 Локальные изменения

На модели могут быть разрешены некоторые локальные операции, например,

изменение координат одной точки объекта. Однако в этом случае могут возникнуть некоторые проблемы, связанные с непротиворечивостью информации.

Например, произвольное перемещение одной из вершин объекта может вызвать нарушение плоскостности каких-либо граней.

Внутреннее представление

Внутреннее (машинное) представление модели может быть представлено либо структурой данных, либо процедурной формой. Последнее часто возникает в случае формирования объектов с помощью языка, связанного с моделью

(анахронизм, идущий со времен пакетной обработки). Преимуществом процедурного представления являются компактность и меньшая избыточность,

чем у структуры данных, что в определенной степени обеспечивает непротиворечивость информации.

Выбор представления приобретает особое значение в случае интерактивной работы с моделью. При определении модели важно указать, какими данными эта модель должна управлять. Модель, близкая к представлению при визуализации

(отрезки и дуги для двумерной модели, ребра и вершины для трехмерной модели),

существенно ограничивает диапазон возможностей модели. Предпочтение отдается моделям, которые позволяют легко выполнять традиционные функции

(простановка размеров, двумерные и трехмерные геометрические преобразования,

разрезы, удаление невидимых элементов и т.д.).

Данные, которые хранятся в модели, сильно различаются в зависимости от требуемого качества моделирования и практически всегда являются технологическим секретом разработчика (know how). Поэтому рассмотрим один из подходов к формированию структур данных трехмерных геометрических моделей, основанный на обеспечении возможности выполнения ряда геометрических действий.

20

2.4 Сравнение различных видов трехмерного моделирования

2.4.1. Каркасное моделирование

Каркасная модель полностью описывается в терминах точек и линий.

Каркасное моделирование представляет собой моделирование самого низкого уровня и имеет ряд серьезных ограничений, большинство из которых возникает из-за недостатка информации о гранях, заключенных между линиями, и

невозможности выделить внешнюю и внутреннюю область изображения твердого объемного тела. Однако каркасная модель требует гораздо меньше компьютерной памяти, чем две другие модели, и может оказаться вполне пригодной для решения некоторых других задач, относящихся к простым формам.

Ограничения каркасных моделей

1. Неоднозначность. Одним из основных недостатков рассматриваемых моделей является возможность неоднозначно интерпретировать ориентацию и видимость граней каркасного изображения. Этот эффект, обусловленный природой каркасной модели, может привести к непредсказуемым результатам. В

отличие от твердотельной модели в каркасной модели нельзя отличить "видимые"

грани геометрической формы от «скрытых» (невидимых). Операцию по удалению скрытых линий можно выполнить только вручную: с применением команд редактирования к каждой отдельной линии. Но результат этой утомительной работы будет поистине катастрофическим, равносильным «разрушению» всей созданной каркасной конструкции, потому что линии, невидимые на одних видах,

видимы на других видах. Удаление же любой линии на каком-либо виде неизбежно повлечет за собой удаление ее на всех других видах.

2. Невозможность распознавания криволинейных граней. Боковые поверхности цилиндрических форм реально не имеют ребер, хотя на изображении показываются силуэты неких мнимых ребер, которые ограничивают такие поверхности. Расположение этих "ребер" в пространстве меняется в зависимости от направления вида (точки зрения), поэтому эти силуэты не распознаются как элементы каркасной модели и не изображаются на ней. Можно попытаться

21

представить криволинейные грани продольными «теневыми линиями»,

расположенными через регулярные интервалы. Однако наличие этих несуществующих линий может внести еще больше путаницы в чертеж, который и так уже полон неоднозначностей. Эти проблемы возникают также при реализации представлений форм с непостоянным поперечным сечением.

3.Невозможность обнаружения взаимного влияния компонентов. Каркасная модель не несет информации о поверхностях, ограничивающих форму, что обуславливает невозможность обнаружения нежелательных взаимодействий между гранями объекта и существенно ограничивает применение каркасного моделирования.

4.Трудности, возникающие при вычислении физических характеристик,

также являются следствием недостатка данных о поверхностях. Существует вероятность того, что корректно построенная геометрическая форма, а

следовательно, и объем тела, отличающегося от базовых стандартных компонентов, могут быть определены неточно. Таким образом, значения физических характеристик (например, масса, площадь поверхности, центр тяжести или моменты инерции) будут недостоверными.

5. Отсутствие средств выполнения тоновых изображений. Обеспечение плавных переходов различных цветов и нанесение светотени составляют ту необходимую технику, которой должен владеть не только каждый художник, но и пакет трехмерного моделирования. Основным принципом этой техники является то, что "затенению" подвергаются грани, а не ребра. Таким образом, она не может быть применена к моделям, не имеющим поверхностей.

2.4.2. Поверхностное моделирование

Поверхностная модель определяется с помощью точек, линий и поверхностей.

Таким образом, ее можно рассматривать как модель более высокого уровня, чем каркасную модель, следовательно, как более гибкую и многофункциональную.

Следующие преимущества по сравнению с каркасным:

способность распознавать и изображать сложные криволинейные грани;

22