Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3165

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
492.39 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к практическим занятиям для студентов

по направлениям подготовки 23.03.01 – Технология транспортных процессов

Воронеж 2016

УДК 517.9

Веневитина, С.С. Математика. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям для студентов по направлению подготовки 23.03.01 – Технология транспортных процессов / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, В.В. Зенина; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 32 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

Оглавление

1.Теоретическая часть………………………………………………………. 4

1.1.Основные понятия………………………………………………………. 4

1.2.Дифференциальные уравнения первого порядка………………........... 4

1.2.1.Уравнения с разделяющимися переменными………………………. 5

1.2.2.Однородные дифференциальные уравнения…………………........... 6

1.2.3.Линейные уравнения…………………………………………………. 6

1.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………… 7

2.Практическая часть……………………………………………………….. 10

3.Индивидуальные задания………………………………………………… 15

4.Вопросы для самоконтроля и проверки………………………………… 17 Библиографический список…………………………………………………. 18

Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам подготовиться практическим занятиям, выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания по такому разделу математики как дифференциальные уравнения.

При подготовке методического указания авторы стремились к доступному изложению материала (за счет определенного снижения строгости), чтобы его с малыми затратами труда и времени могли освоить бакалавры, обучающиеся как в очной так и в заочной форме.

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта по соответствующему направлению подготовки.

1. Теоретическая часть

1.1. Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными уравнениями (ДУ) (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.).

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения y f ( x ) является функция y F( x ) – первообразная для функции f ( x ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. В

данном учебном пособии будут рассматриваться только обыкновенные ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком

этого уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, уравнение

y 3y 2 y 0

обыкновенное ДУ третьего

порядка, а уравнение x

2

y

 

5xy y

2

 

 

 

– ДУ в

 

 

 

– первого порядка; yzx

xzy

частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а

график решения ДУ – интегральной кривой.

1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно

записать в виде

 

F( x; y; y ) 0.

(1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно y , то его записывают

в виде

 

y f ( x; y )

(2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P( x; y )dx Q( x; y )dy 0 ,

где P( x; y ) и Q( x; y ) – известные функции.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция y ( x;c ), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1)Функция ( x;c ) является решением ДУ при каждом фиксированном значении c .

2)каково бы ни было начальное условие y y0 при x x0

 

y( x0 ) y0

 

 

y0 ), можно найти такое

(записывается в виде

или y

 

 

 

 

x

x0

 

 

 

значение постоянной

c c0 , что

функция

 

y ( x;c0 ) удовлетворяет

данному начальному условию.

 

 

 

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция

y ( x;c0 ) , полученная из общего решения

y ( x;c ) при конкретном

значении постоянной c c0 .

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Ф( x; y;c ) 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ.

Уравнение Ф( x; y;c0 ) 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего

заданному начальному условию, называется задачей Коши.

 

1.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

 

ДУ с разделяющимися переменными имеют вид

 

P( x ) Q ( y ) dx P ( x ) Q ( y ) dy 0 .

(3)

1

1

2

2

 

Особенность уравнения (3) в том,

что коэффициенты при

dx и dy

представляют собой произведения функций, одна из которых зависит только от

 

x , другая – только от y .

 

 

 

 

 

 

Почленно разделив это уравнение на Q1( y ) P2( x ) , получаем уравнение

с разделенными переменными

 

 

 

 

P( x )

dx

 

Q ( y )

dy 0 ,

 

 

 

 

 

1

2

 

проинтегрировав

которое,

находим

 

P2 ( x )

 

Q1( y )

 

 

 

P( x )

dx

 

Q ( y )

dy c – общий интеграл.

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

P ( x )

Q ( y )

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Замечание. Уравнение

y f1( x ) f2( y ) также сводится к уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с разделенными переменными. Для

этого достаточно

положить y

dx

и

 

разделить переменные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения

 

 

 

 

 

 

 

Функция

f ( x; y )называется

однородной

функцией

n -го

 

порядка

(измерения), если выполняется равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x; y ) n f ( x; y ).

 

 

 

 

 

 

 

Например,

функция

f ( x; y ) x2

2xy

есть

однородная

функция

второго порядка, поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x; y ) ( x )2 2( x )( y ) 2( x2 2xy ) 2 f ( x; y ) .

 

Дифференциальное уравнение

y f ( x; y ) называется

однородным,

если функция f ( x; y ) есть однородная функция нулевого порядка.

 

 

 

 

 

Однородное ДУ можно представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

.

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородное уравнение (4) преобразуется в уравнение с разделяющимися

переменными при помощи подстановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

u

или, что то же самое,

y ux .

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, подставив y ux и

y

 

 

 

в уравнение (4),

 

u x u

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

x dx f ( u ) u ,

 

получаем u x u f ( u )

или

т.е. уравнение с

разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий

интеграл), следует заменить в нем u на

y

. Получим общее решение

x

 

 

(интеграл) исходного уравнения.

 

 

1.2.3. Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно

записать в виде

 

y p( x )y g( x ),

(5)

где p( x )

и g( x ) – заданные функции или постоянные.

 

Особенность линейного ДУ:

искомая функция y

и ее производная y

входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

 

Решение

уравнения

(5) ищется в

виде

 

произведения двух функций

y u ,

где

u u( x )

и

 

( x ) – неизвестные функции от x , причем

одна из них произвольна. Тогда y

 

 

 

 

 

 

 

 

. Подставляя выражения y и y

 

 

u u

 

 

в уравнение (5),

получаем

 

 

 

 

p( x )u g( x )

или

 

u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( x ) g( x ) .

(6)

 

 

 

 

 

 

 

u u

 

 

 

Подберем функцию ( x ) так, чтобы выражение в скобках было

равно нулю, т.е. решим ДУ с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( x ) 0 dx p( x )

p( x )dx .

 

 

 

Интегрируя, получаем

 

ln

 

 

 

p( x )dx c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ввиду свободы выбора функции ( x ) , можно принять c 0. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e p( x )dx .

 

 

 

Подставляя найденную функцию

в уравнение (6), получаем ДУ с

разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( x )dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

p( x )dx

 

 

 

 

 

e

 

 

 

g( x ) dx e

 

 

 

 

g( x )

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du g( x ) e p( x )dxdx

 

 

 

 

 

u g( x )e p( x )dxdx c .

Возвращаясь к переменной y , получаем решение исходного ДУ (5)

 

g( x )e

p( x )dx

 

e

p( x )dx

 

y u

 

dx c

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка с

постоянными коэффициентами имеет вид

 

y py qy f ( x ),

(7)

где p и q – действительные числа, f ( x ) – некоторая функция.

 

Если

f ( x ) 0 , то уравнение

 

 

y py qy 0

(8)

называется

однородным; в противном случае при f ( x ) 0 уравнение

(7)

называется неоднородным.

Структура общего решения ЛДУ второго порядка определяется

следующей теоремой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

1.

Общее

 

решение

неоднородного уравнения

(7)

представляется как сумма какого-нибудь частного

решения

yчн

 

этого

уравнения и общего решения

yоо

 

соответствующего однородного уравнения

(.8):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yон yоо yчн .

 

 

 

 

 

 

 

(9)

Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (8) с

постоянными коэффициентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим

для линейного

 

однородного

ДУ

характеристическое

уравнение (для этого достаточно в уравнении (8) заменить

 

 

и

y

y , y

 

соответственно на

k 2 , k и 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 pk q 0 .

 

 

 

 

 

 

(10)

При решении характеристического уравнения возможны следующие три

случая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 1.

 

Корни характеристического уравнения действительные и

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

различные: D p2

4q 0 ,

k k

2

,

k

 

 

D

. Тогда общее решение

 

 

 

 

1

 

 

 

1,2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения (8) имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

c ek1x

c ek2 x .

 

 

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

oo

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и

равные: D p2

4q 0 ,

k

k

 

 

p

. Тогда общее решение уравнения (8)

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

c ek1x

c xek1x

ek1x c c x .

 

 

(12)

 

 

oo

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

Случай 3.

Корни

характеристического

уравнения

комплексные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D p2 4q 0 ,

k

i

p

i

q

p2

 

. Тогда

общее решение

 

 

 

1,2

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения (8) имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

e x c cos x c

sin x .

(13)

 

 

oo

1

 

2

 

 

 

 

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (8) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (10) и использованию формул (11) – (13) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

Перейдем теперь к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами (7).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов,

состоит в следующем: по виду правой части f ( x ) уравнения (7) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (7) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

 

Случай 1.

Правая часть уравнения имеет вид f ( x ) P ( x ) e x ,

где

 

 

 

 

 

 

 

n

 

,

Pn ( x ) – многочлен степени n . Уравнение (7) запишется в виде

 

 

 

 

y py qy Pn ( x ) e x .

 

 

 

В этом случае частное решение ЛНДУ yчн ищем в виде

 

 

 

 

 

y

 

Q ( x ) xr e x ,

 

(14)

 

 

 

чн

 

n

 

 

где

Q ( x ) A xn A xn 1

A

– многочлен степени n ,

записанный с

 

n

0

1

 

n

 

 

 

неопределенными коэффициентами Ai , а r – число совпадений

с корнями

k1,2

характеристического уравнения (10).

 

 

 

Случай 2.

Правая часть уравнения имеет вид

 

 

 

 

 

f ( x ) e x P ( x )cos x Q ( x ) sin x ,

 

 

 

 

 

 

n

m

 

 

где

Pn ( x ) и Qm ( x ) – многочлены степени n и m соответственно, и –

действительные числа. Уравнение (7) запишется в виде

 

 

 

 

y py qy e x Pn ( x )cos x Qm( x ) sin x .

(15)

В этом случае частное решение следует искать в виде

 

 

y e x xr M ( x )cos x N ( x ) sin x ,

(16)

 

 

чн

 

 

 

 

где r

число

совпадений

i с корнями k1,2

характеристического

уравнения

(10),

M ( x )

и

N ( x ) – многочлены степени

с

неопределенными

коэффициентами,

– наивысшая

степень многочленов

Pn ( x ) и Qm ( x ), т.е. max( n,m ) .

Замечание 1. После подстановки функции (16) в уравнение (15)

приравнивают

многочлены,

стоящие

перед

одноименными

тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

Замечание 2. Форма (16) сохраняется и в тех случаях, когда Pn ( x ) 0

или Qm ( x ) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практическая часть

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти решение задачи Коши для ДУ первого порядка

 

 

 

 

6 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2x

1 ,

y(1) 4.

 

 

 

 

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными, то есть уравнением вида y

f1( x ) f2( y )

(здесь f ( x )

6

 

, f

 

( x ) y ).

Запишем его в виде

 

dy

 

6 y

.

 

 

2

 

 

 

1

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделив обе части уравнения на y

( y 0 ) и умножив на dx , получаем ДУ с

разделенными переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

6dx

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

 

 

 

 

 

в левой части которого отсутствуют члены, содержащие x , и в правой части которого отсутствуют члены, содержащие y . Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем

 

 

 

dy

 

 

 

6dx

 

c ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2x

1

0

 

 

 

 

 

или

ln

y

3ln

2x 1

ln

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(здесь символ обозначает какую-либо одну первообразную, произвольная

постоянная c0 взята в логарифмическом виде для удобства).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]