Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3165

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

492.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

y 4 , получаем

4 c 2 1 1 3 ,

После потенцирования получаем общее решение исходного ДУ y c 2x 1 3 .

Заметим, что здесь постоянная c может принимать любое действительное значение, в частности значение c 0, так как при c 0 получаем функцию y 0 , которая также является решением исходного уравнения.

Для того чтобы выделить из общего решения решение, удовлетворяющее условию y(1) 4, определим значение постоянной c так, чтобы это условие оказалось выполненным.

Подставив в общее решение x 1 и

отсюда c 4 . Следовательно,

y 4 2x 1 3 – искомое решение задачи Коши.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y y2 xy . x2

Решение. Запишем уравнение в виде

	y 2	y
y			.
		x
	x

Данное уравнение является однородным ДУ первого порядка, то есть

уравнением вида y		y
	f		(здесь

		x

	y	y 2	y
f				). Для его решения

	x	x	x

сделаем подстановку

выражения для y и

или

y	u . Отсюда	y ux и

x			y	u x u . Подставляя

в последнее ДУ, получаем

u x u u2 u , u x u2 .

Это

уравнение

является

дифференциальным

уравнением

разделяющимися переменными. Решим его.

du	u2	,	du	dx	,
dx	x		u2	x

c ,

c ln

Найденное решение

подставим в формулу

y ux

и получим, что

общее решение исходного ДУ есть

c ln

Пример 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

1 x 1 .

Решение.

Данное уравнение является линейным ДУ первого порядка, то

p( x )y g( x )

p( x ) x 1 ,

есть уравнением

вида

(здесь

g( x ) x 1 2 ). Его

решение

будем искать в

виде произведения

двух

функций

y u .

Запишем

производную

произведения

u u

Подставляя данные выражения в ДУ, получаем

x 1

или

u u

x 1

( )

Приравняем к нулю выражение в скобках в левой части уравнения ( ):

x 1

0. Решив

это

ДУ

разделяющимися

переменными,

найдем

функцию .

3dx

x 1

3dx

3ln

x 1

, x 1 3 .

(Так как ищется любое ненулевое частное решение , то значение произвольной постоянной при интегрировании можно выбрать нулевым).

Подставив найденную функцию в равенство ( ), получаем

	x 1	3	x 1	2				1
						u	x 1 .
u					, или	u	x 1 .

Полученное ДУ с разделяющимися переменными запишем в виде

или

x 1

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем

u ln

x 1

c .

x 1 3 ,

Перемножив найденные

функции

u ln

x 1

c и

получим общее решение исходного дифференциального уравнения y ln x 1 c x 1 3 .

Пример 4. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка


y		16 y 0,	y( 0 ) 2,
y	8y	16 y 0,	y( 0 ) 2,		y ( 0 ) 5
Решение. Напишем характеристическое уравнение
		k2 8k 16 0
и найдем его корни:		k 4 2		0,
		k1 k2		4 .

Согласно формуле (12) общее решение однородного ДУ будет иметь вид

	y	ek1x c c x ,
	oo	1	2
то есть	y	e4 x c	c x .
	oo	1	2

Найдем частное решение. Предварительно найдем

y 4e4 x c1 c2 x e4 x c2 e4 x 4c1 c2 4c2 x .

Постоянные c1 и c2 определяются из начальных условий:

		0 x	C1 C2	0 2		C1	2
e
	e0 x				, ,		3	.
			4C C 4C 0 5			C2
			1	2	2

Таким образом, искомое частное решение однородного ЛДУ есть yчo e4 x 2 3x .

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

y 2 y 8y 3e 2 x .

Решение. Общее решение линейного дифференциального уравнения

второго порядка имеет	вид	yон yоо yчн , где yоо –	общее решение
однородного уравнения, а	yчн	– частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение
		y 2 y 8y 0.
Составим для этого ДУ характеристическое уравнение
		k 2 2k 8 0.
Решая это квадратное уравнение, находим его корни			k1 2, k2 4 .

Так как k1 k2 , то общее решение однородного ДУ (согласно (11)) имеет вид

y c ek1x c ek2 x			c e 2 x	c e4 x .
oo	1	2	1	2
Правая часть данного неоднородного ДУ				имеет вид 3e 2 x (т.е. вид
P ( x )e 2 x ), причем коэффициент		2 в показателе степени является корнем
0

характеристического уравнения. Следовательно, частное решение ищем в виде yчн Q0( x ) x1 e 2 x , или

yчн Ax e 2 x .

Тогда

2 x

Ax e

2 x

2Axe

2 x

A 2Ax e

2 x

yчн Ax

2 x

2Ax e

2 x

2 4Ax 4A e

2 x

yчн 2Ae

Подставляя yчн ,

в дифференциальное уравнение, получаем

yчн

и yчн

4Ax 4A e 2 x 2

A 2Ax e 2 x

8Axe 2 x

3e 2 x ,

или

4Ax 4A 2A 4Ax 8Ax e 2 x

3e 2 x .

Разделив обе части уравнения на

e 2 x ,

получаем

6A 3,

откуда

Таким образом, частное решение имеет вид yчн 12 x e 2 x .

Общее решение yон yоо yчн будет

yон c1e 2 x c2e4 x 12 xe 2 x .

3. Индивидуальные задания

Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

ye2 x

Вариант 1.

e2 x

8 ,

y( 0 ) 1.

3 y2

Вариант 2.

y( 2 ) 1.

2 x2

2 yex

Вариант 3.

3 ,

y( 0 ) 4 .

Вариант 4.

xy2 x

y( 0 ) 0 .

4 x2

Вариант 5.

y y ln y

y( 2 ) e .

x xy2

Вариант 6.

2 y yx2 ,

y( 0 ) 3 .

y cos x

Вариант 7.

2 sin x ,

y( 6 ) 4 .

Вариант 8.

y 2xy 2 y,

y( 1) 3.

y 1

Вариант 9.

2 x ,

y(1) 3.

2 y2

2 y

Вариант 10.

y( 2 ) 3 .

Задача № 2.

Вариант 1. а)

Вариант 2. а)

Вариант 3. а)

Вариант 4. а)

Вариант 5. а)

Вариант 6. а)

Вариант 7. а)

Вариант 8. а)

Найти общее решение дифференциального уравнения.

2 y

2 x

2 y x 1 e .

б) y

x2 y xy 2 y2 ,

б)

xy y x2 cos x .

x2 y2 2xyy 0 ,

б)

y 2xy xe x2 .

x3 y3

б)

1 x

2xy x .

xy2

ctg x ,

б)

x ln x

x ln x .

sin x y cos x

x sin

sin x ,

б)

x .

xyy x2 2 y2 0,

б)

y y cos x cosx esin x .

2 x

sin x y cos x e .

y ,

б)

sin

2 x

y x e .

Вариант 9.

а)

tg x ,

б)

tgx

Вариант 10.

а)

xy y y ln

б)

y cos

x y

Задача № 3. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Вариант 1.

y( 0 ) 1,

2 y

y ( 0 ) 0 .

Вариант 2.

2 y 0,

y( 0 ) 1,

2 y

y ( 0 ) 1.

Вариант 3.

2 y 0,

y( 0 ) 5,

y ( 0 ) 4 .

Вариант 4.

4 y 0,

y( 0 ) 3,

4 y

y ( 0 )

Вариант 5.

9 y 0,

y( 0 ) 0,

y ( 0 ) 3.

Вариант 6.

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 3.

Вариант 7.

4 y

9 y

y( 0 )

12 y

y ( 0 ) 4 .

Вариант 8.

4 y 0,

y( 0 ) 3,

y ( 0 ) 2 .

Вариант 9.

12 y 0,

y( 0 ) 1,

7 y

y ( 0 ) 2 .

Вариант 10.

2 y 0,

y( 0 ) 3,

4 .

y ( 0 )

Задача № 4. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

Вариант 1.	y 2 y 8sin 2x .
Вариант 2.	y 9 y 6e3x .
Вариант 3.	y 25y 24 sin x .
Вариант 4.	y 2 y 5y 16e x .
Вариант 5.	y 3y 12x 1.
Вариант 6.	y 6 y 9 y 9 cos 3x .
Вариант 7.	y 6 y 10 y 4e2 x .
Вариант 8.	y 2 y y 50 sin 3x .
Вариант 9.	y y x2 .
Вариант 10.	y 4 y 4 y 4 8x .

4. Вопросы для самоконтроля и проверки

1.Дайте определение дифференциального уравнения.

2.Что такое решение дифференциального уравнения?

3.Как определяется порядок дифференциального уравнения?

4.Перечислите типы дифференциальных уравнений первого порядка.

5.Что называется общим решением дифференциального уравнения?

6.Что называется частным решением дифференциального уравнения?

7.Запишите, как выглядят ДУ с разделяющимися переменными.

8.Какой вид имеют однородные ДУ первого порядка?

9.Дайте определение линейного дифференциального уравнения.

10.Запишите формулу общего решения однородного ЛДУ второго порядка в случае, когда корни характеристического уравнения действительные

иразличные.

11.Запишите формулу общего решения однородного ЛДУ второго порядка в случае, когда корни характеристического уравнения одинаковые.

12.Запишите формулу общего решения однородного ЛДУ второго порядка в случае, когда корни характеристического уравнения комплексные.

13.Запишите структуру общего решения неоднородного ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Библиографический список

Основная литература

1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»

Дополнительная литература

1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021491.49 Кб13160.pdf
#
08.01.2021491.5 Кб23161.pdf
#
08.01.2021491.5 Кб23162.pdf
#
08.01.2021491.95 Кб23163.pdf
#
08.01.2021492.13 Кб23164.pdf
#
08.01.2021492.39 Кб13165.pdf
#
08.01.2021492.47 Кб13166.pdf
#
08.01.2021492.48 Кб13167.pdf
#
08.01.2021492.53 Кб23168.pdf
#
08.01.2021492.78 Кб13169.pdf
#
08.01.2021186.25 Кб1317.pdf