3094

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»

Кафедра математики

Методы оптимальных решений

Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

Воронеж 2018

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Методы оптимальных решений [Электронный ресурс] : методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, П.Н. Зюкин, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 16 с.

Одобрено решением учебно-методического совета

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры

математического анализа ВГУ С.П. Зубова

Содержание

Введение……………………………………………………………………………4

1.1 Решение задачи линейного программирования симплексным методом……………………………………………………………………………..5

2.1 Варианты индивидуальных заданий по теме «Решение задачи линейного программирования симплексным методом»……………… …12

Библиографический список…………………………………………………...16

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Методы оптимальных решений» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, ознакомление с математическими свойствами моделей и методами оптимизации; применению методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

-закрепление теоретического материала и выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в технических и в экономических приложениях;

-демонстрация на основе математических понятий и методов сущности научного подхода, специфики математики и ее роли как способа познания мира, общности ее понятий и представлений в решении возникающих проблем.

Для эффективного освоения дисциплины «Методы оптимальных

решений» у обучающегося должны быть сформированы:

-понятийный аппарат по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы

инаходить нестандартные способы решения задач;

-умение моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.

Студент по результатам освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

В результате освоения дисциплины студент должен:

-знать основные принципы и математические методы анализа решений;

-уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей и с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.);

-уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники);

-иметь представление о численных алгоритмах решения математических и

прикладных задач его профессиональной области.

1.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Симплексная таблица для задачи

F(X ) c1x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6 max,

выглядит следующим образом:

Первый столбец содержит коэффициенты при базисных неизвестных в целевой функции F( X ) .

Во втором столбце выписаны базисные неизвестные, в третьем столбце – правые части уравнений системы ограничений. В предпоследний столбецзаписывают суммы элементов строк таблицы. В дальнейшем с этими числами производят те же преобразования, что и с другими элементами таблицы, при этом полученные значения должны каждый раз совпадать с суммой элементов соответствующих строк. Этот столбец нужен для контроля над вычислениями. В верхней строке над неизвестными записаны

соответствующие им коэффициенты в целевой функции с противоположными знаками.

В последней строке записывают значение целевой функции F0 ( X0 ) при данном опорном плане X 0{ f1, f2 , f3 , f4 ,0,0}, которое вычисляется по формуле

4

F0 ci fi ,

i 1

и далее оценки свободных неизвестных, найденные по формуле

является оптимальным и значение функции F0 можно улучшить. Для этого нужно пересчитать симплексную таблицу, выбрав соответствующим образом ключевой элемент, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца. За ключевой столбец берут тот, в котором находится отрицательная оценка. (Если отрицательных оценок больше одной, то рекомендуется выбирать столбец с наибольшей по абсолютной величине оценкой.)

Для нахождения ключевой строки составляем отношения правых частей fi к положительным элементам ключевого столбца. Полученные значения записываются в последний столбец. Из них выбираем наименьшее, которое и указывает нам ключевую строку.

Пример 1.1. Решить задачу линейного программирования с известным опорным планом X 0{x1, x2 , x3 , x4 ,0,0} симплексным методом.

Решение.

Составим симплексную таблицу для системы (1.1).

Поскольку в последней строке есть отрицательные оценки свободных неизвестных 5 1, 6 3, то опорный план X0{1,13, 26, 0, 0, 0} не является оптимальным.

Для пересчета таблицы за ключевой столбец выберем столбец x6 с оценкой 6 3. Для определения ключевой строки составим отношения элементов столбца fi к положительным элементам соответствующих строк

столбца x6 . Из полученных соотношений 13; 133 ; 26 выбираем наименьшее:

min{13 ; 133 ; 26} 13 . Поэтому ключевой строкой будет первая, а ключевым

элементом – элемент 3, отмеченный в таблице кружком (см. следующую таблицу).

Пересчет таблицы с помощью ключевого элемента 3 будем производить по следующему правилу. Элементы ключевой строки разделим на ключевой элемент. Элементы ключевого столбца, кроме ключевого элемента, заменим нулями. Все остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника: при пересчете каждого элемента в таблице выделяется прямоугольник, диагональ которого соединяет пересчитываемый элемент с ключевым. Из произведения этих элементов вычитаем произведение элементов, стоящих на концах другой

диагонали этого прямоугольника. Полученная разность делится на ключевой элемент.

После первого перерасчета мы получили вторую таблицу, из которой следует, что опорный план X1{0, 12, 773 , 1, 0, 13} не является оптимальным, так

Поэтому третья строка является ключевой, а элемент 4, расположенный в ключевой строке и ключевом столбце, является ключевым элементом. Применяя далее симплексный метод, получаем таблицу и соответствующий

Выбрав ключевым столбцом столбец с отрицательной оценкой, ключевой строкой – первую строку, получаем ключевой элемент 52 . Преобразовав последнюю таблицу соответствующим образом, получаем таблицу 1.4.

Поэтому третья строка является ключевой, а элемент 4, расположенный в ключевой строке и ключевом столбце, является ключевым элементом. Применяя далее симплексный метод, получаем таблицу и соответствующий (невырожденный) опорный план X 1 3; 0;10;1; 0; 0 .