2223

12

Рис.4 Переходные характеристики систем Предположим, что переходная характеристика системы только с пропор-

циональным управлением имеет вид, показанный на рис. 4,а, из которого видно, что существует сравнительно большое перерегулирование и колебательность процесса. Соответствующий сигнал рассогласования (ошибки) e(t), рав-

ный разности между единичной функцией на входе и с(t), и его производная по времени ded((tt)) показаны рис. 4,б и 4,в соответственно.

Перерегулирование и колебательность отражаются, естественно, в кри-

вых e(t) и ded((tt)). Если предположить, что физически система содержит двига-

тель, момент на валу которого пропорционален e(t), большое перерегулирова-

ние и, как следствие, колебательность выходной переменной с(t) обуславлива-

ется избыточным моментом двигателя и отсутствием демпфирования на интервале времени 0<t< t1, в течение которого сигнал рассогласования положителен. Для интервала t1< t< t3 e(t) отрицателен, соответствующий ему момент двига-

теля также отрицателен. Этот отрицательный момент стремится снизить ускорение выходной координаты и в итоге приводит к тому, что выход принимает значения меньше, чем единица (интервал времени t3<t<t5). Но в течение этого интервала момент двигателя снова положителен, и он стремится ликвидировать уменьшение с(t), вызванное отрицательным моментом на предшествующем ин-

тервале. Поскольку система предполагается устойчивой, амплитуда ошибки снижается с каждым колебанием и, в итоге, выход стремится к своему установившемуся значению.

Рассматривая такое толкование процесса, можно отметить, что факторы, способствующие перерегулированию, состоят в следующем: (1) положительный корректирующий момент двигателя в интервале 0<t<t1 слишком велик, а

(2) тормозящий момент в интервале t1<t<t2 недостаточен. Следовательно, для

13

уменьшения перерегулирования переходной характеристики без существенного уменьшения времени регулирования логично было бы уменьшить положительный корректирующий момент во время 0<t<t1 и увеличить тормозной момент при t1<t<t2. Аналогично, в течение временного интервала t2<t<t4, отрицательный корректирующий момент во время t2<t<t3 должен быть уменьшен, а тормозной момент в интервале t3<t<t4, который пока имеет положительное направление, должен быть увеличен, чтобы предотвратить спад кривой с(t).

ПД-управление, показанное на рис. 3, как раз и обеспечивает такую коррекцию. Поскольку управляющий ПД-сигнал дается выражением (4), рис. 4,в показывает, что за время 0<t<t1 производная от рассогласования отрицательна, и это само по себе снижает момент, образуемый за счет e(t). В интервале вре-

мени t1<t<t2 и e(t) и ded((tt)) отрицательны, что означает, что отрицательный под-

тормаживающий момент в результате будет больше, чем при только пропор-

циональном управлении. Так как e(t) и ded((tt)) будут иметь разные знаки в интер-

вале времени t2<t<t3; следовательно, отрицательный момент, который способствует перерегулированию в обратную сторону, также снижается. Следствием этого является то, что эти эффекты приводят к меньшим перерегулированию и "провалу" кривой с(t).

Иное объяснение эффекта введения производной состоит в том, что, по-

скольку ded((tt)) представляет собой наклон e(t), то ПД-управление есть, по суще-

ству, упреждающее управление. Обычно в линейных системах большому наклону e(t) или с(t), вызываемому «ступенькой» на входе, соответствует и боль-

шее значение последующего перерегулирования. При управлении по производной измеряется текущий наклон кривой e(t), заблаговременно предсказывается большое перерегулирование и предпринимаются соответствующие меры еще до того, как такое перерегулирование произойдет.

14

Очевидно, что управление с учетом производной будет влиять на установившуюся ошибку системы только в том случае, если эта ошибка изменяется во времени. Если же она остается постоянной, производная по времени от нее равна нулю, и управление по производной не оказывает влияния на установившуюся ошибку. Однако, если установившаяся ошибка увеличивается со време-

нем, снова вырабатывается момент, пропорциональный ded((tt)), который будет

стремиться уменьшить значение ошибки.

При проектировании ПД-регулятора надо иметь в виду, что, с одной стороны, основные составляющие управления по производной благоприятно влияют на увеличение демпфирования и снижение перерегулирования, но, с другой стороны, такой регулятор может вносить и отрицательные эффекты в процесс управления.

3.2 Эффект введения интеграла

Интегральная составляющая ПИД-регулятора формирует сигнал, который пропорционален интегралу от рассогласования на входе регулятора. На рис. 5 представлена структурная схема системы управления, объект в которой – звено второго порядка с передаточной функцией W0 (p), а регулятор – пропорцио-

нально-интегрального (ПИ) типа.

16

Если же система приобретает порядок, больший на единицу, вследствие введения ПИ-регулятора, коэффициент kП уже не оказывает влияние на установившуюся ошибку, и она всегда равна нулю при линейно изменяющемся входном воздействии. Задача заключается в правильном выборе сочетания коэффициентов kП и k И так, чтобы динамика системы удовлетворяла поставленным требованиям.

3.3 Проектирование ПИД-регулятора

Из предшествующего рассмотрения видно, что ПД-регулятор увеличивает демпфирование системы, но не изменяет значения установившейся ошибки; ПИ-регулятор, наряду с возможным улучшением демпфирования, уменьшает установившуюся ошибку до нуля, однако увеличивает время переходного процесса. Поэтому представляется обоснованным использовать ПИД-регулятор, который совместил бы в себе лучшие свойства ПИ и ПД-регуляторов.

В качестве одного из возможных можно рекомендовать следующий подход при проектировании ПИД-регулятора систем автоматического управляется.

1 Представим себе, что ПИД-регулятор состоит из части ПИ и части ПД, включенных последовательно. Тогда передаточную функцию ПИД-регулятора можно записать следующим образом:

В формуле (8) единица в первой скобке (отражающей пропорциональную составляющую ПД-части) записана в силу того, что определению подлежат только три коэффициента ПИД-регулятора. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в обеих частях уравнения (8), имеем:

переходного процесса в системе. Установившаяся ошибка системы при этом «улучшается» на порядок. На этом этапе пока не учитывается максимальное перерегулирование, которое может быть большим.

3 Используем ПД-часть для снижения максимального значения перерегулирования. Выберем значение кД1 так, чтобы удовлетворить требованиям по демпфированию системы.

4 Значения кп, кд и ки находятся теперь по формулам (9) – (11).

При альтернативном подходе мы можем сначала спроектировать ПДрегулятор путем выбора подходящего значения кД1. Возможно, что ПДрегулятор, сам по себе, не приведет к достижению поставленных целей. Тогда, в качестве следующего шага, проектируется ПИ-часть ПИД-регулятора так, чтобы удовлетворить требуемым показателям качества переходного процесса.

4 ПРИМЕР ПРОЕКТИРРОВАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ

Проиллюстрируем проектирование ПД-, ПИ- и ПИД регуляторов для системы управления третьего порядка. (Примеры заимствованы из Kuo B.C. Automatic control systems. Prentice-Hall of Indian, New Delhi, 1991.)

Допустим, что система с единичной отрицательной обратной связью описывается передаточной функцией

где k =100 , и необходимо добиться, чтобы установившаяся ошибка при входном воздействии на систему в виде линейно нарастающей функции была бы равна 100. Можно показать, что замкнутая система без регулятора будет неустойчивой, поскольку граничное значение k, отвечающее требованию устойчивости, в этом случае

18

равно 15, а при k =100 характеристическое уравнение системы имеет два комплекс- но-споряженныхкорня 3,8 ± j ×14,4 , сположительнойдействительнойчастью.

4.1 Пример проектирования ПД-регулятора

Рассмотрим сначала ПД-регулятор с передаточной функцией вида (3). Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет равна:

Целью проектирования регулятора является добиться скоростной ошибки, равной 100, при хорошей относительной устойчивости. Эта цель достигается, если предположить kП =1.

Исследуем эффект ПД-регулятора с помощью метода корневого годографа. Характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

p3 +15 p2 +(50 +5000 k Д ) p +5000 = 0 .

(14)

Рис. 6 Корневой годограф, при изменении значения k Д

19

Корневой годограф, соответствующий уравнению (14) при изменении значения k Д , показан на рис. 6. Ограничение на ПД-регулятор для этой сис-

темы становится совершенно очевидным из этого рисунка. Несмотря на то, что два комплексных корня характеристического уравнения с ростом k Д пе-

реходят в левую полуплоскость, эффект демпфирования за счет увеличения значения k Д ограничен.

Напомним, что степень демпфирования системы второго порядка определяется значением коэффициента демпфирования, под которым здесь понимается отношение действительной части комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения к его свободному члену. Если k Д растет, то два корня приближаются с фазами 900 и (-900), соответственно, к асимптоте (-7,5). Кроме того, если k Д становится очень большим, действительный корень будет очень близок к началу координат, что будет способствовать увеличению перерегулирования переходной характеристики. Таким образом, можно заключить, что хотя ПД-регулятор будет стабилизировать систему, степень демпфирования, которая при этом может быть достигнута, весьма ограничена. Можно показать, что при изменении значения k Д , перерегулирование для рассматриваемого

примера не может быть получено меньше, чем приблизительно 60 %. Кроме того, при большом значении k Д собственная частота колебаний будет выше и,

следовательно, ниже полоса пропускания системы, что не всегда допустимо по требованиям помехоустойчивости.

4.2 Пример проектирования ПИ-регулятора

Рассмотрим теперь объект, описываемый (12), управляемый ПИрегулятором с передаточной функцией вида (6). Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

20

ПИ-регулятор проектируется путем выбора значения kИ таким, чтобы оно kП

было значительно меньше, чем доминирующий полюс передаточной функции

демпфированию системы. Поскольку нуль функции W0 (p) имеет место при (- 0,1), т.е. практически при очень малом значении, можно считать, что одна степень p в числителе и знаменателе в формуле (15) сокращается, и, приближенно переходную характеристику, можно записать в следующим в виде:

Заметим, что эта передаточная функция аналогична функции (12), за исключением сомножителя kП . Таким образом, мы можем выбрать значение kП

по условию желаемого демпфирования системы. Можно показать, что если в формуле (12) kП =1,63 , то коэффициент демпфирования (за счет комплексных корней) будет 0,707.