1949

2

УДК 517.958

Зюкин, П. Н. Математика. Уравнения математической физики [Текст] : индивидуальные задания для студентов 2 курса специальности 190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство / П. Н. Зюкин, И. В. Сапронов ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2009. – 23 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 8 от 11 июня 2009 г.)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования ВГУ, проф. В. А. Костин

3

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти непрерывную на прямоугольнике 0 ≤ x ≤ A, 0 ≤ x ≤ T функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности

где f(x), φ(t), ψ(t) – заданные функции.

Будем предполагать, что функции f(x), φ(t), ψ(t) непрерывны на соответствующих отрезках и f(0) = φ(0), f(A) = ψ(0). Эти условия вытекают из требования непрерывности функции u(x; t) на границе прямоугольника

0 ≤ x ≤ A, 0 ≤ t ≤ T.

Пусть n и m – фиксированные натуральные числа. Обозначим h = nA, τ= mT .

Числа h, τ называют шагами по осям Ox, Ot соответственно. В прямоугольнике 0 ≤ x ≤ A, 0 ≤ t ≤ T построим сетку, проведя прямые с уравнениями x = i · h,

t = k · τ (i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m) (рис.1).

4

Будем интересоваться только значениями ui,k функции u(x; y) в узлах (xi; tk)

сетки, i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m.

Считая h и τ малыми и заменяя в уравнении (1) приближенно частные

Для каждого узла (xi; tk) сетки (i =1, 2, …, n – 1; k = 0, 1, …, m – 1) формула

(5) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из четырех узлов, выделенных на рис. 1. С помощью этой формулы можно, зная значения функции u(x; t) в узлах с ординатой tk (эти узлы образуют k-й слой сетки), вычислить значение функции u(x; t) в любом узле (xi; tk+1) сетки с ординатой tk+1

(узле (k + 1) – го слоя) при i = 1, 2, …, n – 1.

Начальное условие (2) позволяет найти значения функции u(x; t) во всех узлах (xi; 0) (i = 0, 1, …, n) сетки:

ui,0 = u(xi; 0) = f(xi), i = 0, 1, …, n.

По формуле (5) находим значения функции u(x; t) в узлах (xi; t1), i = 1, …, n – 1, сетки. Значения искомой функции в крайних узлах (0; t1), ( A; t1) находим, пользуясь граничными условиями (3), (4). Переходя последовательно от одного слоя к другому, следующему выше, слою, определим значения искомого решения во всех узлах сетки.

Предлагаемый алгоритм решения задачи применим, если шаги h и τ выбраны так, что выполняется неравенство

τ≤ h2 . 2a2

При переходе к формуле (5) значения ui,k для i = 1, 2, …, n – 1; k = 1, 2, …, m становятся приближенными значениями соответствующих искомых значений

u(xi; tk) функции u(x; t).

В случае, когда

τ= h2 , 2a2

5

формула (5) имеет особенно удобный для вычислений вид

Формула (6) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из трех узлов, выделенных на рис. 2.

t

Рис.2

Индивидуальные задания

Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности

Значения a2, A, T и функции f(x), φ(t), ψ(t) заданы в табл. 1.

Решение выполнить с шагом h по оси Ox, равным 0,2, и с четырьмя десятичными знаками.

Пример выполнения задания

Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности

∂u = 2 ∂2u , ∂t ∂x2

Решение выполнить при h = 0,2 с двумя десятичными знаками.

7

Построим прямоугольник, в котором разыскивается решение, покроем его сеткой, проведя прямые с уравнениями x = ih (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) и t = kτ

( k = 0, 1, 2, 3, 4), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3). y

u0,0 = u0,1 = u0,2 = u0,3 = u0,4 = 0; u5,0 = u5,1 = u5,2 = u5, 3= u5,4 = 0,5.

Из начального условия находим значения функции u(x; t) в узлах нулевого слоя:

u1,0 = 0,26; u2,0 = 0,44; u3,0 = 0,54; u4,0 = 0,56.

В дальнейшем расчеты ведутся по формуле (6). Для узлов первого слоя:

u1,1 = 0,22; u2,1 = 0,40; u3,1 = 0,50; u4,1 = 0,52.

Для узлов второго слоя:

u1,2 = 0,20; u2,2= 0,36; u3,2 = 0,46; u4,2= 0,50.

Для узлов третьего слоя:

u1,3 = 0,18; u2,3 = 0,33; u3,3 = 0,43; u4,3 = 0,48.

Для узлов четвертого слоя:

u1,4 = 0,17; u2,4 = 0,31; u3,4 = 0,41; u4,4 = 0,47.

Полученные значения представим в табл. 2.

Таблица 2

9

Введем обозначения:

xi = i · h, i = 0, 1, …, n; yј = j ·τ, j = 0, 1, …, m;

ui,j = u(xi; yj), i = 0, 1, …, n; j = 0, 1, …, m.

Будем интересоваться только значениями ui,j функции u(x; y) в узлах (xi; yj)

сетки, i = 0, 1, …, n; j = 0, 1, …, m.

Считая h и τ малыми и заменяя в уравнении (7) приближенно частные

Система линейных алгебраических уравнений (9), (10) называется разностной схемой для задачи (7), (8). При переходе к системе уравнений (9), (10) значения ui,j для внутренних узлов сетки становятся приближенными. Для определения величин ui,j требуется решить систему уравнений (9), (10).

В случае, когда шаги h и τ по осям Ox и Oy равны (h = τ), уравнения (9) имеют наиболее простой вид

неизвестными являются лишь значения ui,j, i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1, во внутренних узлах. Эти значения составляют решение системы уравнений

(10′) ( (9) при h ≠ τ).

10

Будем предполагать далее, что h = τ. Система уравнений (10′) решается приближенно итерационным методом Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида

равенствами (10). Значения ui(,0j) для внутренних узлов могут быть определены

каким-либо способом. Для каждой итерации формула (11) применяется, начиная с левого верхнего внутреннего узла, затем для соседнего справа внутреннего узла, и т. д., затем для внутренних узлов следующей горизонтали

слева направо, и т. д. Известно, что ui(,kj) → ui, j при k →∞для каждой пары значений i, j, где i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1.

Построение последовательности итераций ui(,kj) завершается, если для всех внутренних узлов значения ui(,kj) и ui(,kj−1) отличаются меньше, чем на ε, где

ε – заданная точность решения, то есть если

ui(,kj) − ui(,kj−1) < ε

для i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1.

Индивидуальные задания

Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

∂2u + ∂2u = 0 ∂x2 ∂y2

впрямоугольнике с вершинами A(0; 0), B(0; b), C(a; b), D(a; 0) с точностью

ε=0,01 для шага h = 0,2. Значения a, b и значения функции u(x; y) на границе

прямоугольника ABCD заданы в табл. 3.