1949

21

является решением уравнения

(13)

при

x (−∞, + ∞), t (0, + ∞)

и

u(x; 0) = Φ(x),

∂u(x; 0) = Ψ(x)

при

x (−∞, + ∞), следовательно,

она

∂t

t (0, + ∞) и условиям (16).

удовлетворяет уравнению (13) при x (0, + ∞),

Условие (17) также выполнено. Действительно,

u(0; t) = Φ(−at) + Φ(at)

1

at

+

∫Ψ(τ)dτ=0,

2a

2

−at

Таким образом, рассматривая (18) только для

x [0, + ∞),

t [0, + ∞),

мы

получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Возвращаясь к прежним функциям ϕ(x), ψ(x) , можно написать:

ϕ(x −at) + ψ(x + at)

1

x +at

x

+

∫

ψ(τ)dτ при

t ≤

,

2

2a x −at

a

u(x;t) =

ϕ(x + at) − ϕ(at − x)

1

x +at

x

2

+

∫

ψ(τ)dτ при

t >

>0.

2a

a

at −x

Пример. Найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению

∂2u

=

∂2u

∂t2

∂x2

∂u(x; 0)

4

,

=sin

2

x

при 0 < x < + ∞, 0 < t < + ∞, начальным условиям u(x; 0) = x

∂t

нечетными продолжениями функций ϕ(x) = x4

и

ψ(x) =sin2 x :

x4

при

x ≥0,

sin2 x

при

x ≥0,

Φ(x) =

4

при

x <0;

Ψ(x) =

2

x

при

x <0.

− x

−sin

Тогда по формуле Даламбера решение можно записать в виде

Φ(x − t) + Φ(x + t)

+ 1

x +t

u(x;t) =

∫Ψ(τ)dτ =

2

2

x −t

22

(x − t)4

+ (x + t)4

1

x +t

+

∫sin2 τdτ

при

t ≤ x,

2

2a x −t

=

+ t)4

− (x − t)4

1

x +t

0

(x

+

( ∫ sin2 τdτ −

∫sin2 τdτ) при t > x >0,

2

2

0

x −t

4

4

2

2

t

1

x

+ t

+ 6x

t

+

−

cos 2x sin 2t

при

t ≤ x,

2

4

=

1

2

+ t

2

) +

(2x

−sin 2x cos 2t)

при t > x >0.

4xt(x

4