595

13

5 ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТКАЗОВ

5.1 БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, …, n; – возможные значения случайной величины; n – количество независимых опытов; p – вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте; 0< p <1; q = 1 – p.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение в соответствии с классическим определением имеют вид

При использовании производящих функций формулы (1.2) и (1.3) можно представить в более простой записи

Если вероятность появления ожидаемого события в каждом независимом опыте различна, то

З а д а ч а 1 . Из лесного массива отправлено n = 5 лесовозов на лесопильные рамы. Каждый лесовоз может не доехать до места назначения с вероятностью p = 0.3 независимо от дру-

14

гих лесовозов. Значением случайной величины Х здесь является

m– число недоехавших лесовозов. Найти:

1)вероятность того, что до места назначения доедет не менее

k = 2 лесовозов;

2)mx – наиболее вероятное число недоехавших лесовозов;

3)дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Ре ш е н и е . Число недоехавших автомобилей распределено по биномиальному закону. По формуле (1.1) строим табл.1.1.

Таблица 1.1 – вероятности для различного количества не доехавших лесовозов

1) Вероятность того, что до места назначения доедет не менее двух лесовозов соответствует условию – до места назначения не доедет не более трех лесовозов. Используя данные табл. 1.1, запишем:

P{X ≤ 3}= P0 + P1 + P2 + P3 =

=0.168 + 0.360 + 0.309 + 0.133 = 0.970.

2)Наиболее вероятное число не доехавших лесовозов соответствует математическому ожиданию случайной величины Х

mx = n p = 5 0.3 = 1.5 ,

т.е. наиболее вероятно: до места назначения не доедет от 1 до 2-х лесовозов.

3) Dx = n p q = 5 0.3 0.7 = 1.05 σx = Dx = 1.05 = 1.03 О т в е т : P{X ≤ 3}= 0.970 , mx = 1.5 , Dx = 1.05 .

15

5.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

где X – дискретная случайная величина; Pm – вероятность появления случайной величины; m = 0, 1, 2,… – возможные значения случайной величины; а – параметр распределения Пуассона.

Используя производящие функции можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины с

З а д а ч а 2 . На станцию технического обслуживания поступают автомобили с интенсивностью λ = 0.8 авт./час. Найти вероятность того, что за время τ=2 часа:

1)не поступит ни одного автомобиля;

2)поступит ровно m1 автомобилей, m1=1;

3)поступит хотя бы m2 автомобилей, m2=1.

Ре ш е н и е . Интенсивность потока поступления автомобилей величина постоянная, поэтому воспользуемся формулой (2.3) для определения параметра распределения Пуассона, т.е.

1) Для события, что не поступит ни одного автомобиля соответствует значение m = 0 , и, используя формулу (2.1) и (2.5), получим вероятность этого события

P0 = 1.60 e−1.6 = 0.202 . 0!

16

2) Для события, что поступит ровно один автомобиль, вероятность определится следующим образом

m = 1, P1 = 1.16!1 e−1.6 = 0.323.

3) P{X ≥ 1}= 1− P{X = 0}= 1− P0 = 1− 0.202 = 0.798 .

О т в е т : P0 = 0.202 , P1 = 0.323, P{X ≥ 1}= 0.798 .

З а д а ч а 3 . На автозаправочную станцию с 0 ч до 6 ч 40мин прибывают автомобили с интенсивностью потока, линейно зависящего от времени, т.е.

Поток прибытия автомобилей является пуассоновским нестационарным процессом. На основе статистических данных с учетом того, что 6 ч 40 мин = 400 мин, дана интенсивность потока в начале и конце контролируемого временного интервала, т.е.

Найти вероятность P того, что за интервал времени от t1 = 195 мин (3 ч 15 мин) до t2 = 205 мин (3 ч 25 мин) поступит не менее

n=3 автомобилей.

Р е ш е н и е . Найдем значение коэффициентов В и С, входящих в формулу (2.6) из следующей системы уравнений

откуда В = 1/2000, С = 0.2. Воспользовавшись формулой (2.2), определим среднее число прибывших автомобилей в заданном интервале времени [195 мин, 205 мин]

18

ров и передаются на станцию технического обслуживания. Найти:

1)вероятность того, что среди выданных аккумуляторов окажется не менее трех новых;

2)mx – наиболее вероятное число новых аккумуляторов в вы-

данной партии;

3)дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Ре ш е н и е . Построим ряд распределения случайной величины Х, используя формулу (3.1). Тогда можно записать вероятности для различного количества новых аккумуляторов в выданной партии

1) Вероятность того, что в выданной партии аккумуляторов не менее трех новых, соответствует условию, записанному на основании данных табл. 3.1:

P{X ≥ 3}= 1− (P0 + P1 + P2 ) =

=1− (0.008 + 0.159 + 0.476) = 0.643.

2)Наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии соответствует математическому ожиданию случайной величины Х. Воспользуемся формулой (3.2)

т.е. наиболее вероятно, что в выданной партии окажется от двух до трех новых аккумуляторов.

3) Для определения дисперсии воспользуемся табл. 3.1 и формулой (3.5), т.к. она менее громоздка для данного случая, чем формула (3.4):

n

Dx = ∑(m − mx )2 Pm = (0 − 2.22)2 P0 + (1− 2.22)2 P1 +

m=0

+(2 − 2.22)2 P2 + (3 − 2.22)2 P3 + (4 − 2.22)2 P4 =

=4.928 0.008 +1.488 0.159 + 0.0048 0.476 +

+0.608 0.317 + 3.168 0.040 = 0.618

σx = Dx = 0.786.

О т в е т : P{X ≥ 3}= 0.643, mx = 2.22 , Dx = 0.618.

5.4 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Функция плотности распределения непрерывной случайной

величины, имеющей показательное распределение

где х – значение случайной величины; λ – параметр показательного распределения.

Функция распределения случайной величины

Наиболее важные числовые характеристики показательного распределения случайной величины:

–(4.3) mx = λ1 – математическое ожидание;

–(4.4) Dx = λ12 – дисперсия;

20

–(4.5) σx = λ1 – среднеквадратическое отклонение.

Количественные характеристики надежности оборудования при экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов при условии, что интенсивность отказов является величиной постоянной λ(t) = λ = const :

–(4.3) P(t) = e−λ t – вероятность безотказной работы оборудования в течение времени >t;

– (4.4) Q(t) = 1− e−λ t – вероятность возникновения отказа оборудования в течение времени t;

–(4.5) a(t) = λ e−λ t = λ P(t) – частота отказов оборудования в течение времени t;

–(4.6) T = λ1 – среднее время безотказной работы оборудования.

За д а ч а 5 . Оборудование для подготовки сжатого воздуха состоит из n = 3 модулей. Время работы каждого модуля до отказа подчинено экспоненциальному закону распределе-

ния с параметром λi , где i = 1,...,n . λ1 = 2,5 10−5 1/час, λ2 = 1,8 10−5 1/час, λ3 = 2,9 10−5 1/час.

Требуется вычислить за время t = 2000 часов количественные характеристики надежности оборудования для подготовки сжатого воздуха:

1)P(t) – вероятность безотказной работы оборудования;

2)T – среднее время безотказной работы оборудования;

3)a(t) – частоту отказов.

Ре ш е н и е . Отказ оборудования для подготовки сжатого воздуха наступает при отказе одного из его модулей. При расчете характеристик надежности будем полагать, что отказ каждого модуля является событием случайным и независимым.

21

1) Вероятность безотказной работы оборудования в течении времени t равна произведению вероятностей безотказной работы ее модулей в течении того же времени. Используя формулу (4.3) получим

P(t) = P1 P2 P3 = e−λ1 t e−λ2 t e−λ3 t =

= exp[− (2.5 10−5 +1.8 10−5 + 2.9 10−5 ) 2000]= 0.865,

где P1,P2 ,P3 – вероятность безотказной работы соответственно

первого, второго и третьего модуля.

2) Средняя наработка на отказ оборудования за время определится из соотношения

О т в е т : P(t) = 0.865 , T = 13888 час, a(t) = 6.23 10−5 1/час

5.5 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

мального распределения.

Наиболее важные числовые характеристики нормального распределения случайной величины:

–(4.3) mx = m – математическое ожидание;

–(4.4) Dx = σ2 – дисперсия;

–(4.5) σx = σ – среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал α < x < β имеет вид:

Пользоваться этой зависимостью для вычисления вероятности нормально распределенной случайной величины достаточно сложно, поэтому для облегчения выкладок используют функцию Лапласа (или «интеграл вероятностей»)

Для функции (5.2) существуют в различных справочных руководствах таблицы по определению ее числовых значений.

З а д а ч а 6 . На ремонтном участке восстанавливаются оси, номинальный диаметр которых после ремонта должен рав-

няться dn = 10мм. Фактически диаметр восстановленных осей является величиной случайной и распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием m = dn = 10 (мм) и

среднеквадратическим отклонением σ = 0.4(мм). При контроле бракуются все оси, не проходящие диаметром через калибр

Полученный результат показывает, что годных осей окажется 91.8%, следовательно брак составит