Сравнение последовательных и параллельных алгоритмов

Для сравнения произвольных алгоритмов используем какой-либо исходный последовательный алгоритм, который получается из исходной задачи.

Умножение матрицы 4х4 на вектор 4х1 с помощью 5 СП (систолических процессоров) и использованием матрицы, повёрнутой на 135 градусов, занимает 14 тактов:

Буфер1 Буфер2 модель магазинной памяти (очереди)

B4

B3

B2

B1

			A44
		A34		0
	A24		A33
A14		A23		A32
	A13		A22
		A12		A21
			A11

Процессорное поле

Рис. Модель памяти при вычислении умножения матрицы на вектор с помощью СП. Вычисления начнутся с СП, помеченного кружочком. Шестой СП – резервный.

Матрица А записывается в следующем виде (как ленточная 5-диагональная матрица):

Аппаратным способом умножение реализуется поворотом этой матрицы на 135 градусов. Таким образом, диагонали встают вертикально, и появляется возможность для каждого СП работать с одной диагональю.

В указанной модели памяти значения из буфера1 каждый такт подаются по одному на СП, и далее по цепочке в фазе коммуникации между ними по стрелкам. На выходе из цепочки значения подаются каждый такт по одному в итоговые ячейки и там продвигаются.

Схема продвижения данных по процессорам:

Такт1	B1
Такт2		B1
Такт3	B2		B1
Такт4		B2		B1*a11

………………………………………………………………. и т.д.

Всего при непосредственном подсчёте – 14 тактов.

Алгоритмы	Операция *	Операция +	Операция ->(пересылка)
Последовательный	4*4 (4 элемента в 4 столбцах)	4*4	6*4*4
Параллельный	14	14	14

Время передачи данных для задачи умножения матрицы 4х4 на вектор 4х1

Реализация умножения с накоплением:

а -> рег1

b -> рег2

рег1 * рег2 -> c

c -> рег1

S -> рег2

рег1 + рег2 -> S

Итого (3 + 3) операции на умножение с накоплением.

Критерии сравнения параллельных и последовательных алгоритмов:

1. Абсолютное время выполнения

2. Ускорение вычислений

3. Потенциально возможное ускорение вычислений

Для последовательного алгоритма используется 1 ПЭ, его ускорение будет 1. Для параллельного в данной задаче используется 5 ПЭ, и теоретически возможное максимальное ускорение – в 5 раз. Однако процессорное время используется не полностью, притом процессоры работают через один, поэтому на самом деле ускорение меньше.

Вычислим приблизительное ускорение параллельного алгоритма с 5 СП. Пусть:

(в процентах)

Тогда

то есть на малых данных преимущества параллельного алгоритма не сказываются.

4. Качественный критерий

IV

III

II

N/lgN

N

U

N (кол-во ПЭ)

log₂N

I

I – неправильный результат

II – область оптимистического ускорения: алгоритм можно улучшить

III – область нормального ускорения

IV – область оптимистического ускорения: алгоритм можно улучшить

log₂5 = 2.3 (примерно), то есть полученный результат 1.8 находится в области пессимистического ускорения, и алгоритм можно улучшить.