2314

Способ концентрических сфер применяют в том случае, когда оси поверхностей вращения пересекаются и лежат в плоскости, параллельной плоскости проекций. Построение линии пересечения начинают с построения точек пересечения контурных линий. Затем проводят предель-

ные сферы Rmin и Rmax.

За центр сфер принимается точка пересечения осей поверхностей. Сфера минимального радиуса должна касаться одной поверхности и пересекать другую. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра до самой удаленной точки линии пересечения. Вспомогательные сферы образуют как с конусом, так и с цилиндром соосные поверхности и пересекают их по окружностям. Точки пересечения этих окружностей принадлежат линии пересечения заданных поверхностей.

В приведенном примере происходит врезка поверхностей, поэтому линией пересечения является одна замкнутая пространственная кривая линия. Очерковые линии поверхностей пересекаются в точках 1 и 2. Сфера Rmin касается цилиндра и пересекает конус по окружностям, которые пересекаются в точках 3 и 4. Точки 1 и 2 наиболее удалены от центра сфер и через них построена сфера Rmax. Между сферами Rmin и Rmax построена промежуточная сфера и получены точки 5, 6 и 7, 8. На профильную проекцию точки пересечения переносят при помощи окружностей, принадлежащих поверхности конуса.

На рис. 8.116 приведена модель пересечения фигур.

Анимация\Рис.8.116. Модель. Способ сфер.exe

Вопросы для самопроверки

1.Что представляют собой линии пересечения поверхностей?

2.Как построить линию пересечения двух многогранников?

3.В чем заключается способ секущих плоскостей?

4.Как построить линию пересечения гранной поверхности с поверхностью вращения? Поверхности вращения с другой поверхностью вращения?

82

5.Какие поверхности называются соосными? По каким линиям они пересекаются?

6.Сформулировать теорему Монжа.

8.Может ли проекция линии пересечения оказаться за пределами контура поверхности?

9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

9.1.Общие сведения

Во многих случаях при выполнении технических чертежей наряду с ортогональными изображениями необходимо иметь наглядные изображения. Для построения таких изображений применяют аксонометриче-

ские проекции, или аксонометрию. Название аксонометрия образовано из слов древнегреческого языка: аксон - ось и метрео - измеряю, следовательно, аксонометрия означает измерение по осям.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура (на примере точка А) вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций или картинной плоскостью (плоскость ПI на рис. 9.117). Таким образом, аксонометрия - это проекция только на одну плоскость.

Охyz оси координат в пространстве.

Точка А связывается с системой координат Оxyz посредством натуральной координатной ломаной АА1АхО. На каждой из осей координат отложен натуральный единичный масштабный отрезок е, обозначенный на осях координат ex, ey, ez.

S – направление проецирования.

Проекция А′ точки А на П′ называется аксонометрической проекцией, проекция А11 точки А1 – вторичной проекцией, проекция Ох′y′z′- аксонометрической системой координат.

О1 – аксонометрическая координатная ломаная;

е1х ,е1y ,e1z – аксонометрические единичные (масштабные) отрезки.

Искажения по аксонометрическим осям определяются коэффициентами искажения, равными отношениям аксонометрических единичных отрезков к натуральным:

метрическим осям.

83

9.2. Виды аксонометрических проекций

Если направление проецирования S перпендикулярно П′, то аксонометрические проекции называют прямоугольными, если не перпендикулярно, то проекции называют косоугольными.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:

изометрия (древнегреческое isos - одинаковый) все три коэффициента искажения равны между собой: u=v=w;

диметрия два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего: u=v≠w; v=w≠u; u=w≠v;

триметрия все три коэффициента искажения не равны между собой:u≠v≠w.

Ваксонометрии существует теорема, которая гласит, что сумма квадратов коэффициентов искажения по осям равна 2.

u2+v2+w2=2. Если u=v=w, то 3u2=2; u= 23 0,82.

0,82 - действительный коэффициент искажения по координатным осям в изометрии.

В инженерной практике применяют приведенный коэффициент, равный 1. Поэтому изображение получают с увеличением в 1/0,82 = 1,22 раза.

Оси в изометрии располагаются под углом 120 (рис. 9.119, а).

9.3.Изображение окружности в аксонометрии

Ваксонометрической проекции окружности изображаются в виде эллипсов. Расположение большой оси эллипсов (БО) перпендикулярно оси, отсутствующей в данной плоскости (рис.9.119, б).

Анимации\Рис.9.119. Расположение окружностей в изометрии.exe

85

Размеры осей эллипсов в изометрии равны:

если применяется действительный коэффициент искажения u= 0,82, то БО = D; МО = 0,58D;

если u = 1, то БО = 1,22D; МО = 0,71D.

D – диаметр исходной окружности (рис.119,б). МО – малая ось эллипса.

9.4. Построение четырехцентрового овала в изометрии

В инженерной практике эллипсы в аксонометрии заменяют четырёхцентровыми овалами.

Один из способов построения овала в изометрии показан на рис.

9.120.

Направление штриховки в изометрии выбирают параллельно диагоналям квадратов, построенных на плоскостях xoy, xoz, yoz (рис. 9.121).

Анимации\Рис.9.120. Построение четырехцентрового овала в изометрии.exe

Рис. 9.121. Штриховка в изометрии

86

9.5. Построение плоской фигуры и шестигранника в изометрии

Построение шестиугольника в изометрии приведено на рис. 9.123, а шестигранника - на рис. 9.124. Аксонометрические проекции параллельных прямых параллельны между собой. Если в прямоугольных проекциях отрезок параллелен оси координат, то в аксонометрии он остается параллельным этой же оси.

Анимации\Рис.9.122. Построение шестиугольников в изометрии.exe

Анимации/Рис.9.123. Построение шестигранника в изометрии.exe

87

z

д) Оси фронтальной косоугольной диметрии

Рис. 9.124. Углы между осями и коэффициенты искажения в аксонометрии

88

Библиографический список

1.Гордон В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Се- менцов-Огиевский. - М.: Наука, 2000.-272с.

2.Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии /О.В. Локтев, И.М. Глазунова. - М.: Высшая школа, 1975.-195с.

3.Крылов Н.Н. Начертательная геометрия/ Н.Н. Крылов, П.И. Лабандиевский, С.А. Мэн. - М.: Высшая школа, 1963.-361с.

4.Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа,1981.-

262с.

5.Кувшинов Н.С. Начертательная геометрия: Краткий компьютерный курс лекций. - Челябинск: ЧГТУ,1997.-122с.

6.Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. - М.: Машиностроение,1978.-240с.

7.Четверухин Н.Ф. Начертательная геометрия /Н.Ф. Четверухин, В.С. Левицкий, З.И. Прянишников, А.М. Тевлин, Г.И. Федотов. – М.: Выс-

шая школа, 1963.-420с.

8.Prof. Dr. H. Pottmann. Institut für Geometrie Abteilung für Geometrie im

Bauwesen und im Scientific Computing.

9.Выровщиков Ю.А. Ufscreencamera

90

1. ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ. МЕТОД МОНЖА………………………………………...5 ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ ЛИНИИ…………………………………………………..5

1.4.1.Инварианты ортогонального проецирования…………………………………………

(свойства оригинала, сохраняющиеся на изображениях)…………………………….10

1.4.2.Безосные чертежи……………………………………………………………….11

2. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ…………………...19

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ…………………………………………….

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ………………………………….28

3.1.1.Общий способ построения линии пересечения плоскостей…………………...28

3.1.2.Пересечение плоскости общего положения…………………………………….

с плоскостями частного положения…………………………………………………..30

3.2.1. Пересечение прямой общего положения………………………………………..

сплоскостями частного положения…………………………………………………..31 3.2.2. Пересечение проецирующей прямой……………………………………………

сплоскостью общего положения……………………………………………………...32 3.2.3. Пересечение прямой общего положения………………………………………..

сплоскостью общего положения……………………………………………………...33

3.3.Перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости………………………...33

Вопросы для самопроверки………………………………………………………………….37

4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА……………………………………………37

5. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ……………………………………………………44

91