a

2

a

2

a

1

.

a

b

b

CM

b

3

3

3

3

§12. Баз с

координаты

плоскости

линейно зависимыми, если су-

Векторы

а

,

а

2

, ,

а

n

называются

С1

ществуют

ч сла

1, 2, , n

(не все равные 0),

такие, что

1

а1 2

а

2 n

а

n

0,

.е. линейная комбинация векторов об-

бА

ращается в ноль.

а

Два вектора на

и

b

линейно независимы тогда и

только тогда, когда они неколлинеарны:

a

||

b

(рис. 5).

а

а

с

Д

b

b

а)

а

,

b

– неколлинеарны,

a

||

b

;

б)

а

,

b

– коллинеарны,

a

||

b

.

Рис. 5

И

Три вектора, имеющие общее начало, называются

компланар-

С

e1

e

2

Рис. 6

Любой вектор на плоскости является линейной комбинацией ба-

зисных векторов.

a

1

e1 2

e

2

разложение вектора

a

по базису

e1,

e

2 .

1, 2 коорд наты

a

в

азисе

e1,

e

2 .

бА

Стандартный

аз с на плоскости – i, j ,причем

i

j

1,

и

i

j (р с. 7).

j

i

Рис. 7

Д

Базис в пространстве это любые три линейно независимые

вектора в пространстве. Любой вектор в пространстве является ли-

нейной комбинацией базисных векторов (прил. 9).

Если

e1,

e

2,

e

3 базис в пространстве, то

e3

И

a

1

e1

2

e

2 3

e

3.

а

1, 2, 3 координаты

a

в базисе

e1,

e

2,

e

3 .

e

2

Векторы i,

j, k стандартный базис:

i

j

k

1; i j k

(рис. 9).

С

k

i

j

Рис. 9

Действ я

векторами в координатной форме записи

1.

а x1, y1, z1 ;

b x2, y2, z2 – координаты векторов, то

сумма векторов – это вектор с координатами

Если

a b x1 x2;

y1

y2; z1 z2

(прил. 10).

бА

2.

a x; y; z умножение вектора на число .

3.

a

x, y, z . Длина вектора

a

находится по формуле

a

x2 y2 z2

.

4.

A x1, y1, z1 ; B x2,

y2, z2

две точки. Тогда координаты

вектора

равны (рис. 10)

И

AB

AB x

2

x ; Дy y ; z z .

1

2

1

2

1

z

A

B

x

0

y

Действительно,

OA

x1, y1,

z1 ;

OB

x2,

y2, z2 ;

x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 .

AB

OB

OA

Примеры:

С

1. Найти длину вектора

a

20i 30 j 60k

и его направляю-

щие косинусы.

Решен е. Найдем дл ну

a

:

и

a

202 302 602

4900

70.

o

a

20

30

60

2

3

6

Найдём орт a :

a

i

j

k

i

j

k.

бА

a

70

70

70

7

7

7

Коорд наты вектора

a

oравны направляющим косинусам, по-

этому cos

2

; cos

3

;

cos

6

.

7

7

7

2. Найти вектор

a

AB

, если A1,3,

2

и B 5,8, 1 .

Решение. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат точ-

ки конца вычесть координаты начала:

5 1;8 3; 1 2 4;5; 3

5

3

.

AB

AB

j

k

4i