12. |
|
Образуют ли векторы |
a |
(1; 2;3) и b (3;0;2) базис в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13. |
Верно ли, что |
a |
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
мешанное произведение векторов |
a |
, |
b |
и 2 |
a |
+3 |
b |
равно 0? |
||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
Коллинеарные векторы являются компланарными? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Компланарные векторы коллинеарны? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
Векторы |
a |
(1; 2); |
|
|
( 2;0); |
c |
( 1;4) образуют базис в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
a |
|
|
(3 |
|
2 |
a |
)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
равен 1? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19. Орт вектора k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
j равна 2? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
Верно ли, что длина вектора i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
Равно ли нулю произведение |
a |
|
a |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
Векторы a (0;5) и |
|
(5;0) образуют базис на плоскости? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ли23.Существуютливекторы,орткоторыхравенисходномувектору? 24. Можно поставить знак умножения векторов так, чтобы
получ ть верное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
i 0; |
|
|
) i i 1? |
|
|
|
|
|
|||||||||
а) i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25. |
Смешанное произведение трех векторов является вектором? |
||||||||||||||||||
26. |
Верно ли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
j? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
Верно ли утверждение |
a |
|
|
||b ? |
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да |
||||||||
ОтветыбА: 1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Нет. 6. |
а. |
7. Да. 8. Да. |
|||||||||||||||||
9. Нет. 10.Да. 11.Да. |
12.Нет. |
13. . |
14. |
а. |
15. |
а. |
16.Нет. |
||||||||||||
17. Нет. |
|
18. Да. 19. Нет. 20. Нет. 21. Да. |
22. |
а. |
23. |
а. 24. а) можно; |
|||||||||||||
векторное произведение; |
б) можно; скалярное произведение. 25. Нет. |
||||||||||||||||||
26. Нет. |
27. Нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПЛОСКОСТИ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА
§17. Основные понятия
Линия на плоскости (кривая на плоскости) часто определяется как множество точек, обладающих только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество
65
всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет опреде- |
|||
лять положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, |
|||
а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения |
|||
С |
|
|
|
(то есть равенства, связывающего координаты точек линии). |
|||
Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат |
|||
Oxy (р с. 16). |
|
|
|
и |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
y |
M(x,y) |
|
бА |
|||
|
O |
x |
X |
Рис. 16
Линия на плоскости есть совокупность точек этой плоскости, обладающих определенными свойствами, при этом точки, не лежащие на данной линии, этими свойствами не обладают. Уравнение линии определяет аналитически выраженное соотношение между координатами точек, лежащих на этой линии. Пусть это соотношение задано уравнением
F(x,y)=0. |
(6) |
Пара чисел, удовлетворяющая уравнению (6), – не произвольная: |
|
Д |
значе- |
если x задано, тоу не может быть каким угодно, то есть, |
|
ние у связано с х. При изменении х изменяется у, и точка с координата- |
|
ми (х, у) описывает данную линию. Если координатыИточки М0 (х0, у0) удовлетворяют уравнению (6), т.е. F (х0, у0)=0 – верное равенство, то точка М0 лежит на данной линии. Верно и обратное утверждение.
Уравнение, связывающее координаты x,y, называется уравнением линии L, если:
1) координаты (x, y) всякой точки М линии L удовлетворяют этому уравнению;
66
2) координаты (x,y) всякой точки, не лежащей на линии L, не удовлетворяют этому уравнению.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения (прил. 12).
С |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
Точки пересечения линий |
||||
Чтобы выясн ть, есть ли у двух линий |
f1 x, y 0 и f2 x, y 0 |
||||||
общие точки, составляется система |
|
||||||
нений |
f |
x, y 0; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f2 x, y 0. |
|
|
|
общ |
|
|||||
Ч сло |
х точек линий равно числу решений системы урав- |
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
Пр мер |
|
А |
|||||
Найти точки пересечения прямых |
|
||||||
|
|
x у 5(1); |
x 2y 10(2); |
x y 10(3). |
|||
|
|
|
|
|
Д |
||
Решение. Составляем первую систему |
|
||||||
x y 5;
x 2y 10.
Решение системы это точка с координатамиИ0;5 . Найдена точка пересечения прямых 1 и 2.
Ищем теперь точки пересечения прямых 1 и 3, для этого решаем систему из уравнений x у 5 и x y 10.
Система несовместна. Значит, прямые 1 и 3 не пересекаются. Точку пересечения прямых 2 и 3 найдите самостоятельно.
Расстояние между двумя точками
Расстояние d между точками A1 x1; y1 и A2 x2;y2 вычисляется по формуле
67
d |
x2 x1 2 y2 y1 2 . |
|
|
|
||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
равно |
|||
Расстояние между точками A 0;3 и B 2;7 |
||||||||
d |
2 0 2 7 3 2 |
|
20 |
2 |
5 |
. |
||
координаты |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Коорд наты точки середины отрезка |
|||||||
Пусть звестны |
|
точек A1 |
(x1 , y1 ),A2 (x2 , y2 ). |
||||||||
|
|
бА |
|||||||||
Коорд наты точки середины отрезка A1A2 равны полусумме |
|||||||||||
коорд нат его концов |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(x1 x2 , |
y1 y2 |
). |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
Координаты точки, делящей отрезок в отношении 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
( |
x1 + x2 |
, y1 + y2 ). |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1+ |
2Д |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
||
|
|
|
|
|
Способы задания линии на плоскости |
||||||
Основные способы задания линий на плоскости: |
|||||||||||
1. y f x явный y 3x |
|
4x 7 ; |
И |
||||||||
|
|
||||||||||
2. x, y 0 неявный x2 |
y2 4 ; |
||||||||||
3. |
r |
|
r |
t векторный; |
|
|
|
|
|
||
4. x x t ; |
параметрический. |
|
|||||||||
|
y y t . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
68