§4. Крамеровские системы линейных уравнений. Метод Крамера

С

a11x1 a12x2

a1nxn b1;

a

x a

22

x

2

a

2n

x

n

b ;

21

1

2

(1)

a

x a

x a

x b .

и

m2 2

m

m1 1

mn n

Коэфф ц енты эт х уравнений, записанные в виде матрицы, на-

зываются матр цей с стемы:

бА

a11

a12

a1n

A

a21

a22

a2n

.

a

a

a

m1

m2

mn

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец

свободных членов:

Д

b1

B

b2

.

И

b

m

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных

членов, называется расширенной матрицей системы:

a

a

a

b

11

12

1n

1

a

21

a

22

a

2n

b

A*

2

.

a

a

b

a

m1

m2

mn

m

(т.е. m n) определитель системы отличен от нуля

С

a11

a12

a1n

det A

a21

a22

a2n

0,

ний

am1 am2 amn

система линейных уравнений (1) имеет единственное решение, опре-

деляемое по формулам Крамера (прил. 5):

x

1

; x

2

2

; ; x

n

n

,

1

бА

где i

– определитель, который получается из определителя системы,

если

в нем i-й столбец

заменить

столбцом

свободных членов

i 1, 2, ,n .

Д

Пример

И

Решить систему

x y z 1;

2x y z 0;

1

1

1

1

1

1

3

2

9 4 5 0,

2

1

1

3 0

2

1

1

1

2

2

0

3

2

3

С

значит, можно систему решить по формулам Крамера.

читаем вспомогательные определители:

1

1

1

1

1

1

1

1

и

0

1 1

3;

x

0

1 1

0

3

1

1

2

0

0

3

1

1

1

1

1

1

бА

y

2 0

1 2

0 1 1

2

1

6 2 4

;

1

1

2

2

0

3

2

3

1

1

1

1

1

1

2

1

2.

z

2

1

0

2

1 0

2

0

1

1

1

2

0

0

Д

Решение получаем по формулам Крамера:

x

x

3

; y

y

4; z z

2

.

5

5

5

Правильность решения системы проверяется подстановкой ре-

шения в систему.

И

Проверка:

3

4

2

5

1;

5

5

5

5

2

3

4

2

0;

5

5

5

3

4

2

2

1.

5

5

5

ний совпадает с числом неизвестных и определитель системы

от-

С

личен от нуля,

то есть система является крамеровской.

Заменим исходную систему (1) эквивалентным ей матричным

уравнен ем

и

(2)

AX B,

x1

x2

матр ца-стол ец, составленная из переменных.

где X

бА

x

n

Имеем

Д

A 1A X A 1B;