Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2278.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

	2 3					4			7						1		3 4
С			;		B								; C					;
1. A			;		B								; C					;
		5					3			2						7	6 2
	1	5					3			2						7	6 2
2		3		5				2 1							4
D						;	E								.
	1	0			6					3			5
	1	0			6					3			5		4
Найти2. матр цу B AAT								, решив матричное уравнение
Можно ли слож ть матрицы											A			и C	?
Найти A B				B A.
Провер ть на пр мере данных матриц, что A B C A B C .
	бА3 1 2																				2
Определено ли					произведение									AC?		Какого размера				матрица
получ тся в результате? Определено ли произведение CA? Почему?
					3 4			7						5	8 3
		2A															.
						6 8 9									2
						6 8 9								6	2		1
3. Перемножить матрицы:									Д
2	1 1								Д
2	1 1										1			и 1 2			3 ; в) 1 2			3 и	4	.
а)		и			2 1 ; б)						1			и 1 2			3 ; в) 1 2			3 и	4	.

3	0 1				1						3										1
					1	0					3										1
		T														И
4. Найти		A A	. Имеет ли смысл произведение A																A?
							3					2		12
						A									.
								4				1		13
								4				1		13

224

5. Найти A2 A, если

															2				1			1
С																			1
												A 3							1			2 .

															1			1				0
															1			1				0
		3				1 4									1			3					1		2
6. A		3				1 4									2			1		;		C	1		2
6. A									; B						2			1		;		C			.

Найти																							3		2
			2			2 1									1			5					3		2
															1			5
Провер ть, что AB C A BC .
7.		бА
7.					A4, если
а) A		1				1	;					cos							sin
а) A							;			) A													.
			0																cos
			0			1						sin							cos
			4			3				2						2				3
																				1
8. A 5						7 1 ;							B 3							1		.
						1 2										Д
			1			1 2										1			2

Проверить, что AB T												BT AT .												И
9. Найти определители:
а)	2	3		;		б)		sin					cos				;
	2	3						sin					cos
	1	4						cos					sin
	1	4						cos					sin
														x 1						1
в)	1		2			2				3	; г)			x 1						1
			2			2				3														.
															x3			x2 x 1						.
	2 3					1 2									x3			x2 x 1
10. Решить уравнение																x2			5x		6.
																x2			5x
																1			1
																1			1

225

11. Решить неравенства:

а)	2x	3x	1; б)	x 2	4	0.
	5	3x 5		7x	x

С
12. Найти определители:
а)	1			1 1		; б)				6 3		2	; в)		1 1 1					; г)		3 2 4					.
а)	1 0 1					; б)				7 0		4	; в)		1 2 3					; г)		2			1 5		.
и										6 5		2			1 3 6							4			3 7
	1		1 0							6 5		2			1 3 6							4			3 7
		бА
13. Выч сл ть,							спользуя свойства определителя:
								15754				15764		52803					.
								46258 46278 18273											.
								46258				46278		18274
14. Вычислить определители:
	1		2	0	0		0					Д
												Д
											5	3		2	4						1	2		3	4
	3		2	3	0		0				5	3		2	4						1	2		3	4
	3		2	3	0		0				2	5		4		6					2	3		4	1
а)	0 4 3 4 0								; б)		2	5		4		6		; в)			2	3		4	1	.
а)	0 4 3 4 0								; б)		2	5		3	2			; в)			3	4		1	2	.
	0		0	5	4		5				2	5		3	2						3	4		1	2
	0		0	5	4		5				3	2		1		0					4	1		2	3
	0		0	0	6		5				3	2		1		0					4	1		2	3
	0		0	0	6		5
15. Найти обратные матрицы для следующих матриц:
															2		5				7
1			2
1			2											б)			И
а)				;										б)		6 3					4		;
			4
3			4													5		2
																5		2			3

226

	1	2		2						1					1		1		1
	1	2		2											1		1
										1					1		1		1
в) 2 1				2 ;					г)		1			1			1		1	.
	2	2		1							1			1			1		1
	2	2		1							1			1			1		1
											1			1			1		1
16.	Найти		неизвестную					матрицу		X				из		уравнений						(решить
матричные уравнен я):
	2 5				4 6				1 1 1								1		1		3
	2 5				4 6		; б) X		2 1					0				4 3 2					;
а)		X					; б) X		2 1					0				4 3 2					;
С

	1 3				2 1				1 1					1				1	2		5
									1 1					1				1	2		5
	2 1				3	2		2	4
в)		X								;
и									1
	3 2				5 3			3	1
	2 1			2 1					2 1				1			0
г)		X			;			д) X						0		1	.
	2 1			2 1					2 1					0		1
		б
17. Найти о ратные матрицы A 1, B 1												:
								Д
					А0 0 1 1
						0	1	3					3		1
									0				3		1		4
					A 2 3			5 ; B		2			7		6		1		.
						3 5				2			7		6		1
						3 5		7		1 2 2							1

18. Решить системы по формулам Крамера:
2x y z 4;												x1 x2 2x3 3;
										б)
а)	3x 4y 2z 11;									б)			И2x x 2x 4;
															1			2	3
																x2 4x3 2;
3x 2y 4z 11;												4x1				x2 4x3 2;

227

3x 2y z 5;	x 2y 4z 31;
в) 2x 3y z 1;	г) 5x y 2z 29;

2x y 3z 11;	3x y z 10;

С				x 2y 3z 2t 6;
		x y 2z 3t 1;
		3x y z 2t 4;			2x y 2z 3t 8;
д)			е)
		2x 3y z t 6;			3x 2y z 2t 4;

	x 2y 3z t 4;			2x 3y 2z t 8.
и

19. Реш ть с стемы матричным способом:
		бА
	2x y 4z 14;				x y z 3;
а)	x 2y 3z 4,5;		б)	x 2y 3z 7;


	3x y z 15,5;			x 3y 2z 5;
	2x 4y z 3;			2x y z 2;
в) x 5y 3z 1;			г) 5x y 3z 14;
		x y z 1;			2x y 2z 5.

20.	Найти	многочлен		Д
				y f x 3-й	степени, график	которого
проходит через точки 0,1 ;			1, 1 ; 2,5 ; 3,37 .			f 1 1;
21.	Найти	квадратный		многочлен	f x , зная, что

23.Чему равен ранг диагональной матрицыИпорядка n?

24.Сколько матриц k -го порядка можно составить из матрицы, имеющей m строк и n столбцов?

25.Составить матрицу, ранг которой равенf 1 9; f 2 3.

а) 2; б) 3.

26.Доказать, что ранг суммы двух матриц не превосходит суммы рангов слагающих матриц.

27.Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней

228

а) 1 столбец? б) 2 строки?

28. Когда вычеркивание одной строки (столбца) матрицы не изменяет её ранга?

29. Найти ранг матрицы A методом окаймления миноров:
С				5 1					3		1		3 2 5
	1	3		5 1					3		1		3 2 5
		1	3								3
2		1	3			4		б)	5		3		2 3 4
а)	5	1 1				7	;	б)		1	3		5 0 7		;
	5	1 1				7				1	3		5 0 7
и										7	5		1 4 1
	7	7		9		1				7	5		1 4 1

4		3	5		2		3
		бА
8		6	7		4		2
в)	4	3 8			2		7	.
		3	1		2
4		3	1		2		5
	8	6	1		4		6
	8	6	1		4		6
30. Найти значения , при которых матрица имеет наименьший
ранг										Д
							3			Д
							3		1		1	4
									4		10	1
									7		17	3	.	И
							1		7		17	3
							2		2		4	3

Чему равен ранг при найденных и чему он равен при других

31. Чему равен ранг матрицы при различных значениях ,

1	2	3
	5	6
4			?
	3	0

229

32. Вычислить ранг матрицы, применяя элементарные преобразования:

				1			0	1	0			0
																													2		1			3		1
				1 1 0					0 0					2						0 2 0 2									2		1			3		1
				1 1 0					0 0					2						0 2 0 2											1
		а)				0 1 1			0 0 ;																			в)	3		1			2 0			;
														0						1 0 1 0								в)									;
				0 0 1					1 0				б)			2				1 0 2 1						;				1	3 4 2
				0 0 1					1 0				б)			2				1 0 2 1						;				1	3 4 2
																														4	3			1		1
						0 1 0			1 1							0				1 0 1 0										4	3			1		1
						0 1 0			1 1							0				1 0 1 0
С2 1 1									1
							3	1
				1			3	1	1																				1		0			2
							бА																						1		0			2
							бА
						1 1 4			1							1				7		3
		г)				1 1 4			1	;			д)															е)	2		1 5
													д)	4							8 7 ;							е)		1	1			1	;
и1 1 1 5																														1	1			1
						1 2 3 4								10 18 17
																														4	3			11
						1	1	1	1
						1	1	1	1
		ж)												1							2 5								1		3					5
	2	1					1	3
	2	1					1	3					з) 2							1		3 ;						и) 2			2				2 .
	4		5				1 5						з) 2							1		3 ;						и) 2			2				2 .
	4		5				1 5		;
														3				Д																		2
	1	3					1	5

		33. Найти все значения , при которых вектор																														b	линейно
выражается через векторы													a1,		a		2,			a	3:
		а)			а1 2,3,5 ;					b		7, 2, ;								а2 1, 6,1;							a	3 3,7,8 ;
		б)			a1 4,4,3 ;							5,9, ;					a		2	7,2,1;				a	3 4,1,6 .
		б)			a1 4,4,3 ;						b	5,9, ;					a		2	7,2,1;				a	3 4,1,6 .
		34. Найти все максимальные линейно независимые подсистемы
векторов:																								И
			a1 4, 1,3, 2 ;																			a	2 3, 1,4, 2 ;
			a	3 8, 2,6, 4 ;																		a	4 6, 2,8, 4 .

230

35. Найти все базисы систем векторов:

б)

a1 1,2,3,4 ;

а) a1 1,2,0,0 ;

a2 2,3, 4,5 ;

a2 1,2,3,4 ;

3 3, 4,5,6 ;

3,6,0,0 ;

4 4,5, 6,

7 .

36. Исследовать с стемы уравнений. В случае совместности сис-

найти

темы

все её решения:

5x 2y 2z 4;

x y z 4;

б) 3x 2y 4z 2;

а)

5x 3y 4z 11;

x 2y 3z 1;

бА

x 3y 5z 8;

x 2y z 1;

3x y 2z 9;

в) 3x y 4z 2;

г) x 5y 3z 4;

12x 11y 17z 3;

x 7y 4z 5;

x y z 4;

x1 2x2 x3 x4 1;

д) x y z 5;

е) x 2x

x x

x y 2z 6;

x1 2x2 x3 5x4 5;

2x y z 2;

2x1

x3 x4

2x1

3x4

x 3y z 5;

Дз)

ж)

x y 5z 7;

3x1 x3 x4 3;

2x 2x

2x 5x

2x 3y 3z 14;

x1 2x2 3x3 4x4 4;

4x1 2x2 3x3 x4 5;

x2 x3 x4 3;

и)

к)

3x2

3x4 1;

x1 x2 x3 x4

7x 3x x

231

	2x1 2x2 x3 x4 x5 1;

л)	x1 2x2 x3 x4 2x5 1;
л)		4x 10x		5x 5x						7x 1;
		4x 10x	2	5x 5x				4		7x 1;
		1	2		3			4				5
		2x 14x	2	7x 7x					4	11x 1.
		1	2		3				4			5
С
37.	Подобрать так, чтобы система уравнений имела решение
					2x x		2			x	3	x	4	1;
					1		2				3		4
При
					2x1 7x2 4x3 11x4 ;
										x3 4x4 2.
				x1 2x2						x3 4x4 2.
38.		бА
38.		как х значениях a система уравнений
					5x 8y 9z 1;
						3x 2y z a;
						3x 2y z a;
						2x y z 1
						2x y z 1

а) имеет единственное решение?

б) не имеет решений?

39. Исследовать систему при различных значениях 1

, 2

, :

1x y z 4;

x y z ;

а) x 2 y z 3;

б) x y z 2;

x 2

y z 4;

x y z 1.

40. Решить методом Гаусса системы уравнений:

x 2y 3z 2;

x1 2x2 3x3 x4 0;

x y z 0;

x x

2x 4;

И4

а)

x 3y z 2;

б)

x 5x

5x 4x

2x 4y 3z 1;

x 8x

7x 7x

232

			x1 2x2 3x3 4x4 5x5 0;																												x1 2x2 3x3 x4 3;
					2x 3x							2	4x 5x										4		x 0;						x 4x			2	5x 2x						4	2;
							1					2							3				4			5						1		2		3					4
	в)				3x1 4x2 5x3 x4 2x5 0; г) 2x1 9x2 8x3 3x4 7;
			x				3x			2	5x							3	12x			4		9x				5		0;	3x		7x		2	7x				2x		4	12;
					1					2								3				4						5				1			2				3			4
С
																														0;			7x2			9x3				2x4			20;
			4x1 5x2 6x3 3x4 3x5																											0;	5x1		7x2			9x3				2x4			20;
			12x1 14x2 15x3 23x4 27x5 5;
								18x2 22x3 29x4 37x5 8;
	д)		16x1					18x2 22x3 29x4 37x5 8;
	д)							20x2 21x3 32x4 41x5 9;
			18x1					20x2 21x3 32x4 41x5 9;

			10x					12x					2			16x				20x						4			23x 4;
							1						2						3							4				5
						бА
			10x1						23x2								17x3				44x4									25;
																														40;
и15x 35x 26x 69x																														40;
	е)						1	57x						2			42x			3							4			65;
				25x				57x						2			42x			3	108x								4	65;
							1							2						3									4
				30x				69x						2			51x			3	133x								4	95;
							1							2						3									4
			45x1 28x2 34x3 52x4 9;
					36x				23x						2			29x				43x						4		3;
							1								2					3								4
	ж)				35x				21x								28x									Д
							1								2					3							4
					47x				32x						2			36x				48x					4			17;
							1								2					3							4
					27x1 19x2													22x3 35x4 6.														И
					27x1 19x2													22x3 35x4 6.														И
	41. Какая система линейных уравнений задаёт три различные
прямые на плоскости, проходящие через одну точку?
	42. Какая система линейных уравнений задаёт три прямые на
плоскости, образующие треугольник?
	43. Написать уравнение, найти центр, радиус сферы,
проходящей через точки 1,1,1 ,																										1,1, 1 , 1, 1,1 , 1,0,0 .
	44. Найти уравнение и определить вид кривой второго порядка,
проходящей через пять точек: 3,0 , 3,																															0 ,						2							2
																																5, 6						,		5, 6					,
																																5, 6						,		5, 6				3	,
																																					3							3
	2
5, 6		.
5, 6		.
	3

233

45.

Даны

координаты

вершин

треугольника

A 1, 2,3 ; B 3, 2,1; C 1,

4,1 .

Показать,

что

треугольник

равносторонний.

46.

Вычислить модуль вектора

найти его направляющие косинусы.

47.

Даны точки

M1 1, 2,3

M2 3, 4, 6 .

Найти длину

направлен е вектора

M1M

абсцисса

48.

Дан вектор

4i 2 j 3k .

Найти вектор b, если

Спервая коорд ната

равна 0, вторая координата

равна

второй

коорд нате a .

49.

Рад ус-вектор точки M составляет с осью Oy угол 60 , а с

бА

осью Oz угол 45 , его длина равна 8. Найти координаты M , если её

50.

отр цательна.

Найти орт вектора a i

51.

Найти скалярное произведение векторов 3

и 5

если

6 и угол между векторами

равен

52.

Определить угол между векторами

4 j 5k

и b 4i 5 j

3k.

53. При каком значении m векторы a mi

3 j 4k

перпендикулярны?

54.

Найти скалярное произведение векторов

и 5

если

55.

Даны векторы

. Найти

Пр

и Пр

F 3;1, 4

; A 2,0,1; B 1,4, 2 .

56.

Дана сила F , точки А и В:

Какую работу производит сила F , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А в точку В?

234

57.

Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

58.

j 2k и b 2i j k.

Найти векторное произведение векторов

2i 5 j k и b i 2 j 3k .

A 2,2,2 ;

59.

Выч сл ть площадь треугольника с вершинами

ни

B 4,0,3

C 0,1,0 .

F 3;1, 4 ; A 2,0,1;

B 1,4, 2 .

60.

Дана с ла F , точки А и В:

Определ ть момент с лы F относительно точки В.

61.

Показать, что векторы

;

m 1

j mk

при каком m не могут быть компланарными.

62.

Найти

смешанное произведение векторов

j k ;

b i j k ; c 2i 3 j 4k .

63.

Показать, что векторы

;

компланарны.

64.

НайтибАо ъём треугольной пирамиды с вершинами A 0,0,1 ;

1)найти векторы AB, AC, ADД;

2)найти их смешанное произведение; И

3)вычислить объём пирамиды;

4)найти векторы ВС и BD и найти площадь BCD с помощью векторного произведения;

высоту.

65. Показать, что точки A 5,7, 2 ;	B 3,1, 1 ;	C 9,4, 4 и
D 1,5,0 лежат в одной плоскости.

235

			Указание. Точки							лежат					в одной плоскости, если векторы
		,		,		лежат в одной плоскости (компланарны). Проверить, что
	AB	,	AC	,	AD	лежат в одной плоскости (компланарны). Проверить, что
смешанное произведение этих векторов равно нулю.
			Ответы:
С										2		4			6
					9		3		б)		1	2			3		;	в) (13).
			3. а)				;		б)		1	2			3		;	в) (13).

					10		3				3	6			9
											3	6			9
					1		4		)	cos4						sin4
			7. а)				;		)										.

					0		1			sin4						cos4
					б
			9. а) 5;				б) 1;	в) 2;				г) 1.
	и10. 1; 6.
			12. а) 1;				) 164;				в) 1; г) 44.
								А
															1		1		1		1
					2			1
			15. а)					1	;		г)		1		1		1		1		1 .
					3		2	1					4		1 1				1 1
							2		2				4		1 1				1 1
															Д
															1		1		1		1

													3				2		0			32		19
					2		23				б)			4			5		2			в)	7		7 ;
			16. а)					;			б)			4			5		2	;		в)	7		7 ;
							8																34	18
					0		8																34	18
													5				3		0		И
													5				3		0				7		7
				1 a			b				д)		X не существует.
			г)						;		д)		X не существует.
							1 2b
				2a			1 2b

236

																												1					1							7						10


																												6					2							6						3
																												6					2							6						3
						1						2			1														5							1						5							5
						1						2			1
17.	A	1				1						9 3									1							6					2 6													3				.
																	;		B									7					1							1
						4								2			;		B
						4						4		2																																1
						1						3		1
						1						3		1
																												6					2							2
																												6					2							2
					4							4				2												1							1								1				1
					4							4				2												2					2														1
																												2					2							2
18.	а)		x 3; y 1; z 1;														б) x1					1;					x2 2;										x3 2;
Св) x 2; y 2; z 3;																	г) x 3; y 4; z 5;
д) x 1; y 1; z 0; t 1;																					е) x 1; y 2; z 1; t 2.
		бА
19.	а)		x	5; y					2; z								3	;			)	x		1;							y		0; z							2;
																	2
ив) x 2; y 0; z 1; г) x 2; y 5; z 3.
20.	y 3x3 5x2											1.
21.	f x x2 5x 3.
22.	f x 2x3								5x2					7.
24.	СmkCnk .
27.	а) не изменится или увеличится на 1;
																			Д
б) либо не изменится, либо увеличится на 1 или на 2.
28.	Тогда и только тогда, когда вычеркнутая строка (столбец)
линейно выражается через остальные строки (столбцы).
29.	а) 3; б) 3; в) 2.
30.	При 0								ранг матрицы равен 2; при 0ранг равен 3.
31.	При 3								ранг равен 2; при 3 ранг равен 3.
32.	а) 5; б) 3;									в) 2; г) 4;										д) 2;						е) 2;								ж) 3;								з) 3; и) 2.
33.	а) 15; любое.
34.	Таких систем четыре: 1)																				a1,		a		3; 2)							a1,				a		4; 3)						a	2,		a		3; 4)		a	2,	a	4.
35.	а) 1)				a1,		a	2;				2)	a		2,	a	3;																	И
б) любые два вектора образуют базис.																																		И
36.	а) x 1; y 2; z 3;																			б) x							3 z							;			y				13z 1							;
36.	а) x 1; y 2; z 3;																			б) x														;			y											;
в) несовместна; г) несовместна;																														4										8
в) несовместна; г) несовместна;
д) x			5	; y						1	; z 2;							e) x 2x										2		x ;								x	4	1;
д) x				; y							; z 2;							e) x 2x												x ;								x		1;
			2						2												3												1
			2						2

237

	ж) x 1; y 2; z 2;																						з) x 0; x								2; x													5			;				x				4	;
	ж) x 1; y 2; z 2;																						з) x 0; x								2; x																;				x					;
																								1					2								3				3											4	3
	и) x2			2 2x3 5x1																	; x4				7 5x3 2x1											,
	и) x2																				; x4															,
											3																3
где x1, x3 – любые действительные числа;
С																								6 2x4;
	к) x1 8;								x2 3 x4; x3															6 2x4;
	л) x		2 x5								;				x			2				1 3x3 3x4 5x5												.
	1	3																2								6
	37. 5.
Если
	38. а)	a 3;									б)				a				3.									2 2 1																					1
	39. а)									2 1									1 0,						x			2 1			1						;						y						2				;
																												2 1			1																		2
z	2 1 2 4 2 1										.
z	2 1	1									.					1 , решения зависят от одного параметра. В
	2 1	1
	Если	1;												2
		1												2						2
остальных случаях система решений не имеет.																																																						1 2
	б) Если 1 2 0,																							x 1;									y								1				;			z						1 2			.
	б) Если 1 2 0,																							x 1;									y					2							;			z									.
																											2											2																2
	Если	1,										система												Д
	Если	1,										система											имеет					решения,														зависящие от двух
параметровбА. Если 2, система решений не имеет.
	40. а) x 1;										y 0; z 1;													б) система несовместна;
																							x4			x5;
	в) множество решений: x2																									2x3 12x5;
																							x			x 15x ;
																								1			3						5
	x				1			x	4				31				;									x x					4				53					x						20				;
	x							x									;									x x														x										;
	1	2												6													1								И5
		2												6																			5		18							5			9						5
	г) x2					2	;																	д) x2									5	x4								5	x5								5	;
	г) x2						;																	д) x2									2	x4									x5									;
		3						1								7														2			2						1		6							6
	x							1		x	4					7			;							x				2		x							1		;
	x									x									;							x						x									;
	3	2													6												3			9			5				9
		2													6															9							9

238

е) система несовместна; ж) x1 1; x2 2; x3 4; x4	3.
41. Система трёх уравнений с двумя неизвестными,	в которой

расширенная матрица и три матрицы коэффициентов при неизвестных для любой пары уравнений все имеют ранги 2.

42.					истема трёх линейных уравнений с двумя неизвестными, в
которой ранги матриц из коэффициентов при неизвестных в любой
паре уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трём.
43.			x2 y2 z2 x 2 0.
и
Сx2																																			y2
44.	Г пербола																																					1.
																										9			25
46.				a					3				;				cos															1		; cos cos												2	.
46.				a					3				;				cos															1		; cos cos												2	.
							5																						3																3
							5																						3																3
47.																	2																						6						3
	7; cos																									; cos															; cos						.
	7; cos																									; cos													7		; cos						.
48.																	7												ли										7					.	7
48.		b				2									j		5							k					ли							b	2			j		5	k	.
49.	M 4;4;4																											.
49.	M 4;4;4																									2		.
50.			1								2												2			k .
																j
						i																																			Д
	3					i					3
51.	3										3						3
	336.																17
	336.

52.	arccos																					бА.
52.	arccos																					бА.
53.	1.														50																																И
53.	1.
54.	547.
55.				20				и				20							.
55.								и											.
56.	3										7
56.	13.							1						i																			.
57.																	3
																									j					k


58.	11
											7																.
																				j						k
	17i																			j						k
										ед.2 .
59.						65
59.	2
60.	2									5											13										.
																		j											k
	19i																	j											k
62.	4.

239

64. 20 ед.3 ;				4 510	.
64. 20 ед.3 ;			17		.
			17
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
С						и A3:
1.	Даны координаты точек A1, A2					и A3:
1.		A1 7;3 ,	A2 5; 2 ,			6.	A1 7; 4 ,A2 3; 7 ,
		A3 5;2 .					A3 1;2 .
и						7.	A1 2;3 ,A2 5; 7 ,
2.		A1 5; 1 ,	A2 1; 4 ,			7.	A1 2;3 ,A2 5; 7 ,
		A3 8;3 .					A3 1; 2 .
3.		A1 14;6 , A2 2; 1 ,				8.	A1 2; 4 ,A2 1; 0 ,
		A3 0;4 .					A3 8;1 .
4.		A1 6;0 , A2 2; 3 ,				9.	A1 1; 1 ,A2 11; 4 ,
		A3 1; 6 .					A3 0;5 .
5.		A1 9;2 ,	A2 3; 3 ,			10.	A1 3;4 ,A2 0; 0 ,
		A3 7;3 .					A3 7; 3 .
Задания:
1)	найти длину отрезка A1A2;					A1A2	, A2 A3, A1A3, записать в
2)		составить уравнения прямых				A1A2	, A2 A3, A1A3, записать в
общем видебА, в виде с угловым коэффициентом, «в отрезках»;
3)	нарисовать прямые A1A2, A2 A3,					A1A3;
4)		составить	уравнение прямой,			проходящей через точку A3
параллельно прямой A1A2 ;
5)		составить уравнение прямойД, проходящей через точку A3
перпендикулярно прямой A1A2 ;
6)		составить уравнение прямой, проходящей под углом = 45
к прямой A2 A3;
7)
7)		составить уравнение прямой, проходящейИпод углом = 30

кпрямой A2 A3;

8)найти расстояние от точки A3 до прямой A1A2 ;

9)определить угол между прямыми A1A2 и A2 A3;

10)определить длины всех сторон и все углы в треугольнике

A1A2 A3.

240

2.	Заданы вершины треугольника АВС: A(3,1), B(1,7),С(6,3).
Требуется:
1)	составить уравнения прямых – всех сторон АВС;
2)		составить уравнение прямой – высоты, опущенной из
вершины В на сторону АС;
С
3)	составить уравнение прямой– медианы, проведенной из
вершины		;
4)	найти расстоян е от вершины С до стороны АВ;
5)	найти угол между сторонами АС и АВ;
уравнение
6)	выч сл ть пер метр треугольника АВС.
3. Зап сать уравнение линии, все точки которой:
1)	равноудалены от точек A (0, 2) и B (4, 2);
2)	втрое дальше от точки A (0, 9), чем от точки B (0, 1);
3)	вдвое		же к точке A (1, 1), чем к точке B (4, 4).
4. Зап сать
1)	б	ссектр	сы второго и четвертого координатных углов;
2)	геометр ческого места точек, равноудаленных от точки A
(2,2) и от оси Ox;
3)	линии, каждая точка которой вдвое дальше от оси Ox , чем от
оси Oy;		бл
4)	геометрического места точек, равноудаленных от точки
A(4,0) и от оси Oy;				Д
5)
	геометрического места точек, равноудаленных от точки A
(4,2) и от начала координатА;
6)	линии, все точки которой вдвое ближе к точке A (0, 1) , чем к
точке B (0, 4).
5.		Установить, какие линии определяются следующими
уравнениями				И

1)	х = \|у \|;
2) y + \|x\|=0;
3)	х + \|у \|= 0;
4)	у = \|х − 1\|;
5) y = \|x + 2\|;
6)	у = − \|х − 5\|.
6. Заданы две противоположные вершины квадрата A и С .
Требуется найти остальные вершины и уравнения сторон квадрата.
1)	А (2, – 2), С (16, 0);
2)	А (–1, 7), С (13, 9);
3)	А (1, 1), С (15, 3);

241


4)	А (–8, 3), С (6, 5);
5)	А (2, –4), С (16, –2);
6)	А (3, 3), С (17, 5);
7)	А (–6, 2), С (8, 4);
8)	А (2, –8), С (16, –6);
С2		2
9)	А (– 4, 1), С (10, 3);

10) А (3, 4), С (17, 6).

7. Определ ть в д кривой, построить. Найти экцентриситет (для

эллипсов, г пербол, парабол), координаты фокусов (для эллипсов,
гипербол
	, парабол), уравнения асимптот (для гипербол), уравнение
директр сы (для парабол):
1)	36x			36y			36x 24y 23 0;
2) 16x2				25y2			32x 50y 359 0;
8) x2		бА6x 8 0;
3)	1	x	2	1	y	2	2	y 1 0;
	4			9			3
4) x2 4y2 4x 8y 8 0;
5) x2 4y2 8y 5 0;
6)	x2 y2 6x 100 0;

7) 2x2 4x 2y 3 0;

1)кривой, для которой Дразность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек И

A (– 2, 0) и B (2,0) равна 1;

2)кривой, для которой сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек

A(− 3, 0) и B (3,0) равна 50;

3)окружности с центром в точке M (−1, 2) , проходящей через точку A (2,6);

4)окружности, для которой точки A (3, 2) и B (−1, 6) являются концами диаметра.

9. Проверить, лежат ли точки A (−1,1), В (2,3),C (4,1) на окружности с центром в точке M (3,4) и радиусом R = 5.

242

10. Даны линии:

1)x2 4y2 8y 5 0;

2)3x2 4y2 6x 8y 0;

3)36x2 36y2 36x 24y 23 0.

Найти точки их пересечения с осями Оу ; Оx. Определить, какие из них проходят через начало координат.

11. Определ ть, как расположена прямая относительно кривой второго порядка − пересекает, касается или проходит вне ее:

1) 6x 2y 20 0 и x2 4y2 8y 5 0;
2) 3y 2x 3 0		3x2 4y2 6x 8y 0;
С			36x2 36y2 36x 24y 23 0.
3) 4x 5y 39 0
12.	остав ть
1) г	, зная,		что угол между асимптотами равен 90° и

фокусы находятся в точках с координатами (4; −4) и (−2; −4).

уравнение

2) элл пса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметр чно относ тельно начала координат; дана точка М (5; 2)

эллипса и его малая полуось b = 3;

перболы

3) эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что его малая ось

равна 16, а эксцентриситет равен 0,5.
13. Вычислить площадь					Д
					четырёхугольника, две вершины
					2	2
которого лежат в фокусахАэллипса x 4y 8y 5 0, две другие
совпадают с концами его малой оси.
14. Даны координаты вершин точек A1,							A2 , A3, A4 .
1.	A1 2; 1;1 ,	A2 5; 5;4 ,		A3 3;2; 1 ,		A4 4;1;3 .
2.	A1 2;3;1 ,	A2 4;1; 2 , A3 6; 3;7 ,				И
						A4 5; 4;8 .
3.	A1 2;1; 1 , A2 3; 0;1 ,			A3 2; 1;3 , A4 0;8;0 .
4.	A1 1; 3; 6 ,	A2 2; 2;1 ,		A3 1;0;1 ,		A4 4; 6; 3 .
5.	A1 4;2; 6 ,		A2 2; 3;0 ,		A3 10;5;8 ,		A4 5; 2; 4 .
6.	A1 0; 1; 1 ,		A2 2; 3;5 ,		A3 1; 5; 9 ,		A4 1; 6;3 .
7.	A1 2;3;1 ,	A2 4;1; 2 , A3 6;3;7 ,				A4 7; 5; 3 .
8.	A1 1;1; 1 ,	A2 2; 3;1 ,		A3 3;2;1 , A4 5; 9; 8 .

9.A1 1;2; 3 , A2 4; 1;0 , A3 2;1; 2 , A4 3; 4;5 .

10.A1 1;1; 2 , A2 1; 1;3 , A3 2; 2; 4 , A4 1; 0; 2 .

243

Задания:

A1 A2

A3;

составить уравнения

плоскостей

общем виде

A1 A2 A4 ; A2 A3 A4 ; A1 A3 A4 ;

A1 A2

A3;

записать

уравнения

плоскостей

«отрезках»

A1 A2 A4

; A2 A3 A4 ; A1 A3 A4 ;

A2 A3;

A1 A2

A4 ;

A2 A3 A4 ; A1 A3 A4 ;

нарисовать плоскости A1

проверить,

являются

ли плоскости

A1 A2 A3;

A1 A2

параллельными;

найти

A2 A3 A4 ;

A1 A3 A4

провер ть,

являются

ли

плоскости

перпенд кулярными;

угол между плоскостями A1 A2

A4 ;

A2 A3 A4 ;

провер ть, лежат ли точки A1,

A2 , A3, A4

в одной плоскости;

бА

расстоян е от точки A1

до плоскости A2 A3 A4 .

15. Даны коорд наты вершин A ,

A , A , A пирамиды.

A1 2; 1;1 ,

A2 5; 5;4 , A3 3;2; 1 ,

A4 4;1;3 .

A1 2;3;1 ,

A2 4;1; 2 ,

A3 6; 3;7 ,

A4 5; 4;8 .

A1 2;1; 1 , A2 3; 0;1 , A3 2; 1;3 , A4 0;8;0 .

A1 1; 3; 6 ,

A2 2; 2;1 , A3 1;0;1 ,

A4 4; 6; 3 .

A1 4;2; 6 ,

A2 2; 3;0 ,

A3 10;5;8 ,

A4 5; 2; 4 .

A1 0; 1; 1 ,

A2 2; 3;5 ,

A3 1; 5; 9 ,

A4 1; 6;3 .

A1 2;3;1 ,

A2 4;1; 2 , A3 6;3;7 ,

A4 7; 5; 3 .

A1 1;1; 1 ,

A2 2; 3;1 , A3 3;2;1 ,

A4 5; 9; 8 .

A1 1;2; 3 ,

A2 4; 1;0 , A3 2;1; 2 ,

A4 3; 4;5 .

10. A1 1;1; 2 ,

A2 1; 1;3 ,

2; 2; 4 , A4

1; 0; 2 .

Найти:

длину ребра A1A3;

угол между ребрами A1A3 и A1A4 ;

угол между ребром A1A3

и гранью A1A2 A4 ;

площадь грани A1A2 A4 ;

5)объем пирамиды;

6)уравнение прямой A1A4 ;

7)уравнение прямой-перпендикуляра, опущенной из вершины

A3 на грань A1A2 A4 .

244

16. Вычислить длину высоты пирамиды, опущенной на грань

DCB и проекцию вектора DC на вектор AD , если пирамида задана координатами вершин A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3) и D(3;7;2).

17. Даны вершины тетраэдра: A(4;2;5), B(0;7;1), C(0;2;7), D(1;5;0).

СНайти длину его высоты, опущенной из вершины А, а также косинус угла между AB и BD .

18. Показать, что точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), Д(5;0;-6)

лежат в одной плоскости. Найти площадь четырехугольника АВСД и

косинус
	угла при верш не А.
Ответы:
1. 1.		бА
1) 13;		бА
2) y								5 x		1 – уравнение прямой					A A в виде уравнения с
						12				12					1	2
угловым коэфф ц ентом;
4) y						5 x 49;
			12							12
5) y				12				x 14.
5) y								x 14.
2.			5
2.	x 3						y 1
1)	x 3						y 1				– уравнение прямой		В;
1)											– уравнение прямой		В;
	2					6
2)	x 1						y 7				– уравнение высоты		Н;
2)											– уравнение высоты		Н;
	4							5							И
3)	x 6							y 3			– уравнение медианы;
3)											– уравнение медианы;
	4					1
	4					1					Д
4) d					22				;		Д

			40															6
			40
5) угол между сторонами АВ и АС равен arccos																				;
5) угол между сторонами АВ и АС равен arccos																				;
6) периметр треугольника Р																40			13
																	.
												40		13		41	.

7. 1) окружность; 2) эллипс; 3) гипербола; 4) особый случай (точка); 5) особый случай (пустое множество); 6) гипербола; 7) парабола; 8) особый случай (параллельные прямые); 9) особый случай (пустое множество); 10) гипербола.

15. 1)54; 5) 3,5.

245

Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Вычислить пределы:

2 7x 10

x2 7x 10

lim

3. lim

x3 8

x 0

x 1

x 3

2x2 x 6

2x2

4x 1

lim

3 8

x3 7

x x

x x2

x 12

11x 6

С4x x 3

lim

2 5x 3

lim

x 2x2 x 1

x 3 2x

x 1 x

2x 3

бА

10. lim

x2 7x 10

. 11.

lim

1 3x2

12. lim

1 x

x 2

и3

x 0 ln(x

x 3

9 x

x 2

13. lim1 2x2 x2

. 14.

lim

7x 10

15. lim

1 x

3 x

x 0

x 2

x3 8

x 1

x2 1

16. lim

ex2

17.

lim 1 tg2x ctgx2 .

18. lim

sin7 x

x 0 cos3x 1

x 0

x 2 sin8 x

Определить точки разрыва функций:

x 4

x3 2

x 5

19. y

;

20.

Дx 3 ; 21. y

;

x 7

x 2

22. y 2

x 1

;

23. y

;

24. y 4

;

x 3

x 1 (x 5)

x 2

x 4

2 x

x 1

25. y

;

26.y 2

;

27.

;

x 3 (x 6)

246

								2x ,						x 1;
									1
									1
28.		y			(x)							,	1 x 5;
28.		y			(x)							,	1 x 5;
								x 4
										5 x ;
								x,		5 x ;
С
													2	,	x 2;
29.		y						2x x						,	x 2;
29.		y			(x)
								x3 3x 2, 2 x ;

и
									5x		,			x 0;
											3			2
											3			2
30.		y			бА
30.		y			(x)									,	0 x 5;
									x 4
									1		, 5 x .
									9		, 5 x .
									9
Ответы:
1.				5			.								Д
1.							.
	4
4. 0.
4. 0.
6. 2.
9.		1	.
9.	2		.
13.	2							.
13.						e		.
17. e.
19.		x 7 точка разрыва второго рода.
21.		x 6 точка разрыва второго рода.
23.		x 1; x 5 точки разрыва второго рода.
30.		x 0 точка разрыва первого рода;														x 4	точка разрыва

второго рода; x 5 точка непрерывности.

247

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Вычислить производные функций:

1.	y 6cosx 7x 3ex 2x2 1.
С								7ln x 21 6x .
2.	y 2tgx 2x3							7ln x 21 6x .
3.	y 3arcsinx 8ctgx 3x 6x10											81.
4.	y (2ln x x3							3)(6ex 3sinx cosx).
и												x 4).
5.	y	(3arctg x						8x)(2tg x 6log5				x 4).
		3sin x 4ln x
6.	y	3x2 6x 7								.
		5tgx 8x 4
	бА
7.	y	5ctgx 6ex							.
8.	y 2x			2	7.
		arctgx
9.	y (3x2 6x 8)3.
10.	y sin(2x2 4x 5).
11.	y cos(4x ln x).
12.	y arctg(x2).
13.	y e2sin x cos x .
14.	y (4ex				3)7.							И
15.	y (sin x)3.
16.	y ln5 x.
16.	y ln5 x.										Д
17.	y arctg2x.										Д
		3x 8 10
18.	y						.
18.	y						.
		sin x
				2x 3
19.	y sin							.
19.	y sin							.
				6x 2
20.	y	cos3			x
						.
			4x			.
			4x

248

21.Составить уравнения касательной и нормали к графику

функции y cos3x в точке x0 . 6

22.Составить уравнения касательной и нормали к графику

функции y xe3x в точке x0 1.

Составить2 3 2

23.

уравнения касательной и нормали к графику

функции y x3

4x2

7 в точке x0 2.

24. Прод фференцировать неявно заданную функцию:

фференцировать2

б) x2 y3

xy3

4xy x2

2 0;

x2 y x2 1 0;

в) x y x y x y 0;

г) 3x y x y 3x y 0.

25. Прод

функцию, заданную параметрически:

5t;

t 3;

x 2t

б)

x 2t

;

y t

6t;

;

в)

x 2t

г)

y 2t 3t3;

y t 3t2.

26. НайтибАпроизводную показательно-степенной функции с

помощью логарифмического дифференцирования:

y (cosx)sin x ;

б) y (cosx)x ;

в)

y (sinx)cos x;

г)

y (sinx)ln x.

27. Исходя из определения производной, найти f

(0):

2tgx 2sin x

a) f(x)=

, x 0;

x 0;

249

		1
б) f(x)= 1 cos(xsin			),	x 0;
б) f(x)= 1 cos(xsin		x	),	x 0;
	x 0;
0,	x 0;

1 ln(1 3x2 cos

) 1,

x 0;

в) f(x)=

x 0;

г)

f(x)= ln(1 sin(x

sin

)),

x 0;

бА

иlncos x

д) f(x)=

x 0;

x 0.

3tcost;

28. Составить уравнение касательной к кривой

3 sint

в точке

t =

29. Составить уравнение нормали к кривой в точке t = :

x 2(tsint cost);

y 2(sint tcost).

30. Вычислить с помощью дифференциала приближённые значения выражений:

a) sin46о;

б) 5

;

в) 4

;

г) cos89о.

31. Найти вторую производную функцийИ:

;

б)

y 3sin

;

x2 1

в)

cos(xy) 1 y2;

г)

xcos2(x y) xln y;

250

2 arccos 3t;
д) y	y esin t;

3t3 4t 7;

е) y 2

y t 3t 12.

32. Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx

[формулу (15)].

33.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln (1+ x).

34.

Постро ть формулу Тейлора для функции f(x) = e x при x 1.

35.

Разлож ть функцию f x cos3x

по формуле Тейлора при

вычислен

cos 40o

36.

Выч сл ть

пр лиженно

оценить

погрешность

я, взяв два слагаемых в формуле (8).

37.

бА

Выч сл ть

при лиженно

sin 47o .

Оценить

погрешность

38.

я.

Выч сл ть

при лиженно

ln1,27

оценить

погрешность

вычислен я.

Исследовать функцию, построить график

39.

x2 4x 4

40.

y 4

6x2 3x 8. 41. y = x3 e –5x.

x 3

y x

4x .

42.y x3 6x2 7.

43.

44. y

x 5

45. y 3

2x2 x3 .

Ответы:

y 6sin x 7 3ex 4x.

y 2(3x2 6x 8)2(6x 6).

13. y e2sinx cos x(2cosx sin x).

17. y

arctgx

1 x2 .

21. y 3x – уравнение касательной. 2

251

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.82 Mб452271.pdf
#
07.01.20214.82 Mб62272.pdf
#
07.01.20214.85 Mб52273.pdf
#
07.01.20214.86 Mб522276.pdf
#
07.01.20214.86 Mб242277.pdf
#
07.01.20214.86 Mб532278.pdf
#
07.01.20214.88 Mб502279.pdf
#
07.01.2021360.3 Кб17228.pdf
#
07.01.20214.88 Mб1232280.pdf
#
07.01.20214.89 Mб232281.pdf
#
07.01.20214.89 Mб372282.pdf