§ 41. Правило Лопиталя

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2278.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

x a(t sint);

sin t

(13)

1 cos t

Теперь вычисляем производную от функции, заданной форму-

лой (13).

= a (1 – cost);

sint

cos x 1 cos x sin x sin x

Сt

(1 cost)

1 cos x

cos x cos2 x sin2

cos x 1

1 cos x 2

cos x 1

1 cos x 2

Итак, вторая производная от параметрически заданной функции

– это параметрически заданная функция вида

x a(t sint);

cos t 1

бА

Итак, функция возрастает на интервале

Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа

Д0

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g'(x) 0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x), g(x) – бесконечно малые

при x x0.	Если предел		lim			f (x)	существует, то существует и
при x x0.	Если предел		lim			g (x)	существует, то существует и
	f (x)		x x0			g (x)
предел lim	f (x)	, причем
предел lim		, причем
x x0 g(x)
		lim		f (x)	= lim			f (x)	.
		x x0 g(x)				x x0		g (x)

196

Прием вычисления пределов, основанный на теореме Лопиталя,

называется правилом Лопиталя.

Пример			1 cos3x
Найти предел		lim	1 cos3x			.
Найти предел		lim				.
		x 0 2x
Решение. Поскольку функции f (x) =1 – cos3x; g(x) = 2x удовле-
творяют услов ю теоремы Лопиталя, то
lim	1 cos3x			= lim	(1 cos3x)			= lim	3sin3x	= 0.
x 0		2x		x 0			(2x)	x 0 2
С

Замечан я:

1. Теорема Лоп таля справедлива и при раскрытии неопреде-

да

. Неопределенности 1

;00 ; 0 ; и другие

ленности

сначала нужно прео разовать к виду

или

, а затем приме-

нить правило Лопиталя.

Пример

Найти предел lim x2 ln x.

x 0

бА

Решение. Так как limln x =

, то имеем неопределенность типа

x 0

lnx

(0 ). Преобразуем ее к виду

lim x2ln x (0 )= lim

x 0

1/x

Теперь применим правило Лопиталя:

lnx

(lnx)

1/x

lim

= lim

= 0.

x 0

1/x

2/x

И2

Итак, lim x2 ln x = 0.

x 0

197

2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз при вычислении одного предела.

Пример

Найти предел lim lnx .

x 0 ctgx

0 и x > 0 limln x = ; limctg x = , следователь-

Решение. При x

x 0

но, имеем отношен е двух бесконечно больших при x 0+ и неопре-

деленность в да

. Вычислим предел по правилу Лопиталя:

ln x

1/x

sin2

x 0

lim

= lim

= –lim

1 sin2 x

x 0 ctgx

x 0

бx А(x)

и2sin xcosx

= –lim

=0.

x 0

3. Теорема Лопиталя верна и в случае, когда x .

4. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Пример				Д
lim	x sin x	= 1, но	lim	(x sinx)	=	lim	(1 + cosx) – не суще-

x			x			x

ствует, так как lim cosx не существует.

5. Теорема Лопиталя остается верной и в случае, если

		lim	f (x)	= = .	И
		lim		= = .
Пример		x x0	g (x)
Пример	ex
Найти lim	ex	.
Найти lim		.
x x2
Решение. Имеем неопределенность вида					. Применяем теорему
Решение. Имеем неопределенность вида					. Применяем теорему

Лопиталя два раза, получаем

198

lim	ex	=	lim	ex	=	lim	ex	= .
x x2			x 2x			x 2

4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКА

§ 42.

Пр

менен е

дифференциального

исчисления

к исследован ю функций

I. Необход

мое

достаточное

условия

возрастания

функц

Функц я f (x)

называется монотонно возрастающей на проме-

жутке X,

x1 x2 : x1

,x2 X

выполнено условие f (x1) f (x2 ).

еслиФункц я f (x) называется монотонно убывающей на X, если

x1 x2 : x1 ,x2 X

выполнено условие

f (x1) f (x2 ).

Теорема (нео ходимое условие монотонности функции)

а) Если дифференцируемая функция f (x) монотонно возрастает

на промежутке

и производная f (x)

существует на

X , то

f (x) 0; x X .

б) Если дифференцируемая функция

f (x) монотонно убывает

, то

на промежуткебАи производная f (x) существует на

f (x) 0; x X

(прил. 32).

Доказательство

X . Будем счи-

а) Выберем две точки x и x x из промежутка

тать, что x 0. Тогда x x xДи, поскольку, по условию, функция

f (x) монотонно возрастает на промежутке X , то f x x f

x .

Значит,

приращение

функции

положительно:

y f x x f x 0.

f x x f

Рассмотрим теперь

отношение

которое положительно как отношение двух положительных функций. Предел положительной функции не может быть отрицательным, по-

этому lim	y	lim	f x x f x	0.

x 0 0 x		x 0 0	x

199

Поскольку

производная

равна пределу отношения вида и

f (x) lim

и предел не зависит от способа стремления xк ну-

x 0

лю, то

f (x)

lim

f x x f

lim

x 0 x

x 0

x 0 0 x

lim

x 0 0

Итак,

функц я монотонно возрастает на некотором проме-

жутке

д фференц руема

в каждой точке этого

промежутка, то

(x) 0 на этом промежутке.

еслиУтвержден е ) доказывается аналогично.

Теорема (достаточное условие монотонности функции)

а) Если

f (x) – д фференцируемая на

функция и

f (x) 0;

x X , то f (x)

монотонно возрастает на X .

f (x) 0;

б) Если

f (x) – дифференцируемая на

функция и

x X , то f (x)

монотонно у ывает на X .

Доказательство

X . Возьмем две

а) Пусть

f (x) 0 во всех точках промежутка

бА

x1 x2, т. е.

произвольные

точки

x1 и

из

X . Считаем, что

x2 x1

0. Запишем для отрезка x1 ; x2 формулу Лагранжа

f x2 f x1

f c x2

где с x1 ; x2 X .

Так

как

с X , то

по

условию,

f c 0,

x2 x1

–

по выбору точек, поэтому

x2 f

x1 0, или

x2 f

при условии

x2 x1,

что, по определению,

означает

возрастание функции на X .

Утверждение б) доказывается аналогично.

200

Геометрический смысл

С
графику
	2	бА
					Рис. 100
Касательная				монотонно возрастающей функции обра-
зует с полож тельным направлением оси абсцисс острый угол или
параллельна ей (р			с. 100).
Касательная к графику монотонно убывающей функции образу-
ет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол или па-
раллельна ей (см. рис. 100).					Д
Пример
Определить
Определить			промежутки возрастания и убывания функции
y 2 x		x.
Решение. Функция определена при любых значениях переменной x.
Для нахождения			промежутков возрастания и убывания функции най-
дем ее производную:							И
дем ее производную:
					y 4x 1.
Находим, при каких x производная положительна и отрица-
тельна:								1
				y 4x 1 0		при x		1		;
				y 4x 1 0		при x				;
							4
				y 4x 1 0		при x		1	.
				y 4x 1 0		при x			.
							4

201

		1
убывает на интервале	;		.
убывает на интервале	;	4	.
		4

СII. Локальный экстремум

Пусть функц я f (x) определена на промежутке X и c X .

Говорят, что в точке c	функция f (x) имеет локальный максимум,
Точки
если существует такая окрестность точки c, что для любой точки x из
этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (c) (рис. 101, а).
Точка c называется точкой локального минимума, если сущест-
бА
вует такая окрестность точки c, что для любого значения x из этой ок-
рестности верно услов е f (x) > f(c) (рис. 101, б).
локального максимума и минимума называются точками
экстремума.
Замечан е. Точки экстремума всегда являются внутренними
точками промежутка, т. е. не могут совпадать с его концами.
	Д
f c f x		И
		f c f x
а	Рис. 101	б

Точки локальных максимумов и локальных минимумов имеют общее название экстремумы.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифферен-

цируемая в точке x c функция y f (x) имеет экстремум в этой точке, то f (c) 0.

202

Доказательство. По условию, функция y f (x) имеет в точке x c экстремум. По определению экстремума, это значит, что у точки с существует окрестность, для всех точек которой f c является наибольшим или наименьшим. Применим теорему Ферма к этой окрест-

ности. По условию, так как производная в точке с существует, то f (c) 0.

СПр мер

Функц я y x3

экстремумов не имеет, однако ее производная

бА

y 3 x2 0

равна нулю при x 0.

2. Функц я может иметь экстремум и

в точке, в которой произ-

воднаялине определена равна есконечности.

Пр мер

Функция y

имеет локальный минимум при x 0. При этом

в точке x 0 производная функции не определена. Действительно,

0 x

y 0 lim

x 0

Точка x c называется критической точкой 1-го рода при вы-

полнении одного из условий:

(c)

или

не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция

y f (x) непрерывна,

дифференцируема во всех точках некоторого

интервала, содержащего точку x c,

за исключением, возможно, са-

мой точки c.

Если при переходе аргумента через критическую точку с

Замечания:

1. Обратное утверждение неверно. Т. е. производная функции в

некоторой точке может равняться нулю, но эта точка может не быть точкой экстремума.

первая производная меняет знак, то данная критическая точка 1-го рода является точкой экстремума.

203

Если f (c) при переходе аргумента слева направо через критическую точку 1-го рода x c меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет локальный максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – локальный минимум (рис. 102).

Знак	f (c)
Поведен е
функц	y f (x)
С		Рис. 102

Доказательство теоремы использует признак монотонности.
и
Пр мер
Исследовать на монотонность и экстремумы функцию
бА

f (x) x2e x .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем производную:

f (x) 2xe

(2 x).

Тогда

f (x) 0

при x1 = 0 и

x2 = 2, т.е.

x1 , x2– критические

точки 1-го рода. Эти точки разбивают всю числовую ось на три ин-

тервала: (–

; 0), (0; 2), (2; + ). Составим табл. 1, в первой строке

которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке –

сведения о знаках и нулях производной f (x) в критических точках

и на интервалах, а в третьей – информацию о возрастании, убывании,

экстремумах данной функции f (x).

Таблица 1

( ,0)

x1 = 0

(0, 2)

x2 = 0

(2, )

f (x)

f (x) < 0

f (x) > 0

f (x) < 0

ymin (0) 0

f (x)

Убывает

Возрастает

ymax(2)

Убывает

204

Делаем выводы о поведении функции f (x):

на интервалах (– ; 0), (2; + ) функция f (x) убывает;

на интервале (0; 2) – возрастает;

x1 = 0 является точкой минимума, причем ymin(0) 0;

С						4
	x2	= 2 – точка максимума и			ymax(2)		0,54.
						e2
Теорема (достаточный признак существования экстремума,
основанный на второй производной). Пусть x c – критическая
симума					f (c) 0. Тогда
точка для функц				y f (x), причем
а) если		f	(c) 0, то x c – точка локального минимума;
б) если		f (c) 0, то x c – точка локального максимума.
Доказательство. По условию,					f (c) 0. Пусть для определен-
ности	бА
	f (c) 0. Покажем, что x c является точкой локального мак-

По определен ю второй производной, имеем равенство

f (c)

lim

f c x f c

lim

f c x

x 0

Так как f (c) 0, то предел

lim

f c x

0, поэтому су-

x 0

ществует некоторая окрестность точки x c, во всех точках которой

верно неравенство

f c x 0.

Из этого

неравенства получаем,

что

если x 0, то

f (c x) 0,

что означает, что слева от точки с функция y f (x)

имеет положительную производную, т. е. функция возрастает.

Если x 0,

то

f (c x) 0, что означает, что справа от точ-

ки с функция

y f (x) имеет

отрицательную

производную, т. е.

функция убывает.

Получили, что при переходе через точку c слева направо знак

первой производной меняется с + на – . По признаку существования

экстремума это означает, что в точке

x c функция y f (x) имеет

локальный максимум.

205

Примеры:

1.Найти точки экстремумов функции y 4 x2 x 4.

Решение. Функция не определена при x = 1. Найдем критические точки 1-го рода:

				4 x2 x 4							8x 1 x 1 1							4 x2 x 4
				4 x2 x 4							8x 1 x 1 1							4 x2 x 4
	y
	y																2
							x 1										2
							x 1										x 1
и																				4
					2
С4 x 8 x 5									.
					x 1 2				.
		Первая про зводная равна нулю при x2 2x																		5	0, т. е. при
		Первая про зводная равна нулю при x2 2x																			0, т. е. при
											x		5	;	x		1.
											x			;	x		1.
										1		2				2	2
	Найдем теперь вторую производную:
														Д
						4 x2		8 x 5				8x 8 x 1 2						4x2	8x 5			2 x 1
	y					бА
	y							2											4
							x 1											x 1
			18				.
			x 1 3				.
	Определим знаки второй производной в критических точках:
5					18										5
								0,	поэтому x								является точкой локального ми-

y				5		3									2
2				5		3									2			И
						1
				2

нимума.

206

	1				18					1
								0, поэтому x			является точкой локального

y	2				1	3				2
	2				1	3				2
						1
						1
					2
максимума.
С									x3	2x2 3x 1 на экстремум с
	2.		Исследовать функцию y							2x2 3x 1 на экстремум с
								3
помощью второй про зводной.
Решен е.					Найдём первую производную данной функции
условие
y x2		4x			3		реш м уравнение y x2 4x 3 0. Корни этого
уравнен			я x1 1; x2					3 – критические точки 1-го рода, в которых мо-
гут быть экстремумы функции, так как в них выполнено необходимое
			экстремума.
				бА
	Найдём вторую производную данной функции y 2x 4. Про-

верим, выполнены ли достаточные условия экстремума, т. е. определим знак второй про зводной в критических точках: y (1) 2 0; y (3) 2 0. Это позволяет сделать вывод, что x1 1 – точка максимума; x2 3 – точка минимума.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

ymax y	1 21;	ymin y 3 1.
	Д
	2
III. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
перегиба
График дифференцируемой функции			f (x) называется выпук-
лым (выпуклым вверх) на	некотором множестве Х, если он располо-
жен ниже любой своей касательной на Х(рис. 103).
График дифференцируемой функции			f (x) называется вогну-
тым (выпуклым вниз) на Х, если он расположен выше любой своей
касательной на Х (см. рис. 103).			И

На интервалах выпуклости и вогнутости касательные, проведенные к графику, не пересекают график функции.

Точка x с называется точкой перегиба, если в этой точке график меняет направление выпуклости.

207

С
функции					Рис. 103
точках Х.	бА
Касательная, проведенная к графику функции в точке перегиба,
пересекает граф к				в точке касания. На рис. 103 это точка А.
Теорема. Пусть			функция y f (x) определена на некотором
промежутке Х, про зводная					f (x) определена во всех внутренних
точках Х.					выпукла вверх (вниз) на Х, если и толь-
Тогда функция y f (x)
ко если производная		f		(x) у ывает (возрастает) во всех внутренних

Если f (x) 0 во всехДвнутренних точках Х, то функция y f (x) выпукла вверх на Х.

Если f (x) 0 во всех внутреннихИточках Х, то функция

y f (x) выпукла вниз на Х (рис. 104).Знакграфика

функции y f (x)

Рис. 104

208

Теорема (необходимое условие точек перегиба). Пусть график

функции y f (x)

имеет перегиб в точке с. Если функция y f (x)

имеет непрерывную вторую производную, то f (c) 0.

Доказательство.

По условию, функция y f (x) в точке с ме-

няет направление выпуклости, т. е. слева и справа от точки перегиба с

f (x)

имеет разные знаки. По условию, вторая

вторая производная

производная

f (x)

непрерывна, поэтому, по теореме Коши о проме-

жуточных значен ях непрерывной функции, получаем, что f (c) 0.

Замечан я:

1. Возможно,

что в некоторой точке с выполняется условие

f (c) 0. При этом точка с не о язательно является точкой перегиба.

Пр мер

Функц я y x4 переги ов не имеет, но при этом вторая произ-

воднаяприравна нулю x 0:

12 x2 0

при x 0.

y x4

4 x3

2. Функция y f (x)

может иметь перегиб и в точке, в которой

вторая производная не определена.

ПримербА

Функция y 3

определена на всей числовой оси. Вторая про-

изводная y

не определена при x 0,

Дx

но при этом вторая производная слева и справа от x 0 принимает

разные знаки, т. е. имеет разные направления выпуклости. Получаем,

что точка x 0 является точкой перегиба.

Точка

x с

называется критической точкой 2-го рода, если

имеет место одно из условий:

f (c) 0;

f (c)

или

f (c)

не существует.

Точки

перегиба

следует

искать

среди критических точек

2-го рода.

209

Теорема (достаточное условие существования точки переги-

ба). Пусть функция y f (x) непрерывна, дважды дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x c, за ис-

ключением, возможно, самой точки c. Пусть x c – критическая точ-

ка 2-го рода. Если при переходе аргумента через точку с вторая про-

изводная функции меняет знак, то данная критическая точка 2-го рода

является точкой перегиба.

Пр мер

функции

Определ ть

нтервалы выпуклости, вогнутости и точки переги-

ба граф ка функц

y = x2 e –x.

Решен е. Функц я определена при всех действительных x. Вычислим

вторую про зводную

f (x) = x 2 e –x:

бА

f ' (x) = 2 x e –x – x 2 e –x;

f '' (x) = 2e–x – 2xe–x – 2xe–x + x2e–x = e–x (2 – 4x + x2).

Найдем значения x, при которых f (x) = 0 и интервалы знако-

постоянства второй производной

f (c) :

f (x) = 0, e–x (2 – 4x + x2)= 0.

Найдем корни этого

2 0,58 и

уравнения:

x1= 2 –

x2 = 2 +

3,41.

Значения функции f (x) в точках x1, x2:

y1 = f (x1) 0,34

и y2 = f (x2) 0,38.

Результаты исследования внесем в табл. 2.

Таблица 2

( , 2

x1 2

x2 2

2, )

f (x)

f (x) > 0

f (x ) =0

f (x) < 0

f (x

) =0

f (x) > 0

f (x)

Кривая

M1(x1, y1) –

Кривая

M2(x2, y2) –

Кривая

вогнутая

точка

выпуклая

точка

вогнутая

перегиба

210

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3127 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.82 Mб482271.pdf
#
07.01.20214.82 Mб82272.pdf
#
07.01.20214.85 Mб82273.pdf
#
07.01.20214.86 Mб592276.pdf
#
07.01.20214.86 Mб382277.pdf
#
07.01.20214.86 Mб722278.pdf
#
07.01.20214.88 Mб572279.pdf
#
07.01.2021360.3 Кб22228.pdf
#
07.01.20214.88 Mб1262280.pdf
#
07.01.20214.89 Mб322281.pdf
#
07.01.20214.89 Mб432282.pdf