§ 39. Дифференциал функцииД

гаемых, из которых первое

f (x0)

x является главной частью при-

ращения y, линейной относительно x [при f (x0)

0].

Дифференциалом функции f (x) в точке x0

называется главная

линейная часть приращения функции и обозначается dy или d f (x0)

(прил. 31).

ледовательно,

С

d f (x0) = f (x0) x.

Пр мер

y

для функц y = x 2

при:

1) про звольных x и x;

2) при x0 = 20;

x = 0,1.

2

2

2

2

2

2

Найти

+ 2x x + ( x)

– x = 2x x + ( x) ;

Решен е. 1) y = (x

+ x) – x

= x

dy = 2x x;

2) если x0 = 20; x = 0,1, то

y = 40 0,1 + (0,1)2 = 4,01;

d y = 40 0,1= 4.

бА

Запишем равенство y =

f

(x0) x + x

в виде

y = dy + x.

Приращение y отличаетсяДот дифференциала dy на бесконечно

малую высшего порядка по сравнению с x, поэтому в приближен-

И

Учитывая, что y = f (x0 +

x) – f (x0), получаем формулу для

приближенных вычислений

С

f(x0 + x)

f(x0) + dy.

Или

f (x x0 ) f (x0 ) f (x0 ) x.

Пр мер

функцию

4,1.

Выч сл ть пр бл женно

Решен е. Рассмотр м

f (x) =

; x0 = 4; x = 0,1, тогда

x

= f(x0 + x). Используя формулу приближенных вычислений,

4,1

получ м

бА

= f(x0 + x) f(x0) + dy;

4,1

f(x0) =

=2;

4

dy = f'(x0) x =

1

0,1 =

0,1

= 0,025.

2

4

4

Значит,

Д

4,1

2,025.

Геометрический смысл

И

дифференциала df (x0)