Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2278.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§ 32. Непрерывность функции в точке

Функция y f x называется непрерывной в точке а, если она

определена в некоторой окрестности точки a и lim f x f a (прил.

x a

27).

Пределы справа слева:

и
lim	f x lim	f x предел справа (рис. 75);
x a	x a
Сx a
	бА
			а
			Рис. 75
lim f x lim		f x предел слева (рис. 76).
x a	x a
x a

		Д
	Рис. 76
Пределы справа и слева могут быть разными (рис. 77).
y			И
y
A
B
			x
lim	f x В	a	lim f x A
x a			x a

A B

Рис. 77

152

Развёрнутое определение непрерывности

Функция y f x является непрерывной в точке а, если 1) определено значение функции в точке а; 2) существуют конечные односторонние пределы

lim

f x ; lim f x ;

x a

3) эти пределы равны между собой: lim

f x lim

f x ;

x a

f x

x a

f x f a

эти пределы равны f (a):

lim

x a

( . 78).

рис

f а

Рис. 78

бА

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка a;b , то го-

ворят, что функция непрерывна на отрезке a;b .

Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если f x и g x непрерывны в точке а, то

f x g x сумма (разность) непрерывна в точке а;

f x g x произведение непрерывно в точке а;

f x

g x

отношение

непрерывно

в точке

при

условии

g a 0.

y x

Теорема 2 (непрерывность сложной

функции):

если

непрерывна в

точке а и z f y непрерывна в точке

b a , то

153

сложная функция z f x непрерывна в точке а.

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей об-

ласти определения.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке

a;b , то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наи-

большего значений: x1,x2

a,b : f x1 m,

f x2 M .

ледствие теоремы Вейерштрасса. Если функция непрерывна

на

отрезке

a;b ,

то

она

ограничена

на

этом

отрезке:

C :

f x C на a,b .

Замечан е. Для открытого интервала (а, b)

теорема Вейершт-

расса неверна.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке a;b , то

она пр н мает все промежуточные значения между наибольшим и

м значен ями: k

m,M

a,b

: f

наименьш

Следств е теоремы Коши. Если функция непрерывна на от-

резке a;b

пр н мает на концах отрезка значения противополож-

ных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой

она обращается в нуль: x0

a,b : f x0 0.

§ 33. Точки разрыва графика функции и их классификация

ТочкабА, в которой нарушено хотя бы одно из четырех условий

непрерывности, называется точкой разрыва графика функции.

Точка а называется точкой разрыва первого рода, если условие

2 развернутого определения непрерывности функции не нарушено.

Графики функций с разрывами первого рода имеют вид, изо-

браженный на рис. 79 83.

Иf a

Рис. 79

Рис. 80

154

y				y
f a					f a
несуществует
		x				x
	a				a
Р с. 81					Рис. 82
С	y			f a не существует
С
и
				(устранимый разрыв)
					x
				a
				a
			Рис. 83
Разрыв, изо раженный на рис. 83, называется устранимым раз-
рывом. Для устранения разрыва достаточно доопределить функцию в
точке a: f a lim	f x lim			f x .
x a		x a
Точка разрыва а называется точкой разрыва второго рода, если
бА
нарушается условие 2 непрерывности функции, т. е.
lim	f x и (или) lim				f x .
x a				x a
Графики функций		с		Д
Графики функций		с	разрывами второго			рода показаны на
рис. 84 87.					И
y				y
				y
		x
		x				x
a						x
a						a
						a
Рис. 84					Рис. 85
				155

y		y
		y
	x	x
		a
Р с. 86		Рис. 87
Пр мер
С1	не определена при x 0. В этой точке она имеет
Функц я y	не определена при x 0. В этой точке она имеет
x	lim f x ; lim f x (рис. 88).
разрыв второго рода.	lim f x ; lim f x (рис. 88).
	x 0	x 0
и		y
		y
		Разрыв второго рода
		x
		Рис. 88
бА
Примеры:
Определить разрывы функций, изображенных на рис. 89 91.
1.		Д
		Д
		И
		Рис. 89
		156

На рис. 89 изображен разрыв первого рода (скачок), не устранимый в точке x0 . Нарушен пункт 3 определения непрерывности:

lim f x	A; lim	f x B; A,B = const; A B.
x x0 0	x x0 0
С	в точке x0	имеет скачок, равный B A.
Функция f x	в точке x0	имеет скачок, равный B A.
2.
и
бА
		Рис. 90

Разрыв на рис. 90 – это разрыв первого рода (устранимый). Нарушены условия 1 и 4 развернутого определения непрерывности:

f x0 не существует, т. е. f x0		lim f x .
		x x0
3.	Д
3.
	Рис. 91	И
	Рис. 91
На рис. 91 показан разрыв второго рода
lim	f (x) или lim f	(x) .
x x0	x x0

Такой разрыв часто называют бесконечным.

157

Примеры:

1. Определить точки разрыва графика функции

2x2 ,

x 1;

y(x)

, 1 x 3;

x 2

3 x .

x 2,

При

с помощью

трех функцийy 2 x2;

Решен е.

Функц я

задана

;

y x 2.

этом функции y 2 x

и y x 2 непрерыв-

x 2

бА

ны, функц я y

не определена и поэтому разрывна при x 2.

x 2

x 1; x 3, в

Исследуем в д разрыва в точке x 2 и в точках

которых стыкуются графики указанных выше функций.

a) x 2.

Вычисляем односторонние пределы:

lim

;

lim

x 2 x 2

Д1

Пределы равны бесконечностям, значит,

x 2 точка разрыва

второго рода;

б) x 1.

Найдем односторонние пределы:

lim f (x) lim

2x2 2;

lim f (x) lim

x 1 0

x 1 0 x 2

x 1

Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке

функция имеет разрыв первого рода (скачок);

в) x 3.

Имеем

lim f (x) lim

lim f (x)

lim x 2 1.

x 3 0

x 3 0 x 2

x 3 0

158

Пределы слева и справа конечны и равны. Кроме того, функция определена при x 3 и y(3) 3 2 1, поэтому точка x 3 точка непрерывности функции.

2. Определить точки разрыва функции	y	x3	4	.
		4x2

Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки

х = 0.

Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 0. Для

этого выч сл м односторонние пределы
ли						x3	4
Сx3		4				x3	4
lim	y lim		;	lim y	lim			.
x 0 0	x 0 0 4x2			x 0 0	x 0 0 4x2

	Область
Получ , что в точке х = 0 имеет место разрыв второго рода, а
прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика функции.
3. Определ		точки разрыва функции y	2x 1	.

Решение.			(x 1)2
		определения функции

D(y) = x ;1 1; .

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x =1. Вычис-
лим её односторонниеАпределы в этой точке:
lim	2x 1	;	lim	2x 1	.
	2
				2
x 1 0	(x 1)		x 1 0	(x 1)
		Д
Таким образом, точка x = 1 является для заданной функции точ-
кой разрыва второго рода, а прямая x = 1 –				вертикальной асимптотой.

Вопросы и задания для самопроверки поИразделу «Введение

в математический анализ» ([1,2,3,7,8,9,10,11], прил. 21–27)

1. Дайте определение функции.

2. Что такое область определения функции?

3. Какое множество называется множеством значений функции?

4. Приведите определение сложной функции.

5. Чем различаются явное и неявное задания функции?

159

6. Приведите определение и нарисуйте график показательной функции.

7. Как выглядят определение и график логарифмической функ-

ции?
8. Нарисуйте график функции y = sin x.
9. В каких точках равен 1 график функции y = cos x ?
10.	Укажите множество значений функции y = arcsin x.
11.	Какова область определения функции y = arccos x ?
12.	На как х промежутках функция y = tg x возрастает ?
13.	Нар суйте график функции y = arctg x .
14.	Дайте		обратной функции.
С
15.	Как	функц называют элементарными?
16.	Пр	вед те определение предела последовательности.
17.	Какая последовательность называется сходящейся?
18.	Что такое δ-окрестность точки x0?
19.	Нап ш те			предела функции при x x		0	.
определение						0
20.	В каком случае предел функции называется правым?
21.	Дайте определение предела функции при стремлении к точке
слева.
22.	Укажите нео ходимое и достаточное условие существования
предела функции в точке.
23.	Что означает «x »?
24.	Что означает «x »?
25.	НапишитебАопределение lim f x A.
			x
26.	Что означает запись lim			f x A?
			x	Дlim f x .
27.	Приведите определение			Дlim f x .
				x x0	И
28.	Дайте определение		lim	f x .
			x x0
29.	Что означает запись lim f x ?
			x x0

30.Что называется бесконечно малой величиной (б.м.)?

31.Что такое бесконечно большая величина (б.б.)?

32.Сформулируйте теорему о связи б.м. и б.б. величин.

33.Укажите критерий существования предела функции.

34.Вспомните теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций.

35.Напишите формулировку теоремы «о двух милиционерах».

160

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.82 Mб452271.pdf
#
07.01.20214.82 Mб62272.pdf
#
07.01.20214.85 Mб62273.pdf
#
07.01.20214.86 Mб522276.pdf
#
07.01.20214.86 Mб242277.pdf
#
07.01.20214.86 Mб532278.pdf
#
07.01.20214.88 Mб502279.pdf
#
07.01.2021360.3 Кб17228.pdf
#
07.01.20214.88 Mб1232280.pdf
#
07.01.20214.89 Mб232281.pdf
#
07.01.20214.89 Mб372282.pdf