3. при b 0

lim

xn

a

;

cx

n yn

b

4. lim

c lim x

n

, где c const.

n

n

n

С

lim xn

a; lim yn

b, причем

xn yn при

Теорема 5. Если

всех n, то a b.

n

n

Теорема 6 (о двух милиционерах). Если xn zn

yn

при всех n

и

a.

и lim xn lim yn a, то lim zn

n

n

n

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

x1 x2

x3 , называется неу ывающей.

бА

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

x1 x2

x3 , называется невозрастающей.

Неубывающ е

невозрастающие последовательности называ-

ются монотонными.

Теорема 7. Всякая монотонная ограниченная последователь-

ность имеет предел.

n

1

Рассмотрим последовательность 1

.

n

Д

Эта последовательность обладает свойствами:

1) возрастает;

2) ограничена [заключена в интервале 2, 3 ], поэтому она имеет

предел, который обозначим е;

1 n

e 2,7 , т. е. lim 1

e (e осно-

n

n

вание натурального логарифма loge x ln x; ex

экспонента).

3.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

И

§ 29. Предел функции

С

x a

иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, от-

стоящих от а не далее, чем на , значения f(x) отличаются от А не бо-

лее, чем на .

и

y f x

y

бАx a

А

0

а

x

Рис. 66

Пример

а.

Д

Показать, что lim x =

В самом деле

f x

x, поэтому для

любого 0:

f x а

при условии x a

(здесь = ).

Можно использовать ещё одно определение предела функции.

Рассмотрим рис. 67.

И

y

А

f xn

y f

x

xn

x

a

3) f xn

б. б., то

lim f x (предел функции равен )

(рис. 70).

x a

y

С

и

a

x

бА

Рис. 70

§ 30. Основные свойства пределов функции

Теорема 1. Если lim f x A и lim f x B, то A B.

x a

x a

Иными словами, если предел функции при стремлении к a су-

ществует, то он единственный.

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим,

что у функции существуют два различных предела при стремлении к

Д

а: lim f x A и lim f x B, причем

A B. Выберем значение

x a

x a

и В не пересекались:

А В

так, чтобы –окрестности точек

.

Тогда, по определению предела lim f x A, у точки а найдется ок-

рестность

x a

x a

И

1, такая, что для всех x из этой окрестности значе-

ния функции удовлетворяют неравенству

f x A

, т. е. лежат в

-окрестности

точки А.

Аналогично,

по определению предела

Итак, A B. Теорема доказана.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки а выполняется

неравенство f x g x и lim f x A;

lim g x B, то A B.

С

x a

x a

Теорема 3 (о сжатой переменной). Если в некоторой окрестно-

сти

точки а выполняется

неравенство

f x x g x и

lim f x lim g x A, то lim x A (рис. 71).

x a

x a

x a

и

Эта теорема называется также теоремой о двух милиционерах.

y

бА

y = g(x)

y = φ(x)

y = f(x)

0

x0

x

Рис. 71

Теорема 4. Пусть lim f x A; lim g x

B, тогда

x a

x a

И

1) lim f x g x A B;

Д

x a

2)lim f x g x AB;

x a

f x

A

3) если B 0,

lim

;

B

x a g x

4)lim С f x C A, где С число;

x a

5)lim f x g(x)

AB.

x a

нуть выражения вида 0 ,

,

0

, 1 и подобные, которые являются

0

функций).

1

1. Если lim f x 0, то lim

.

f

x

x a

x a

чески

1

2. Если

lim f x

, то

lim

f x

0.

С

x a

x a

хемат

утверждение теоремы 5 можно записать так:

бА1

1

1

0

;

0

.

Пр меры:

1. lim

x2

2x 5

1 2 5

4 1

x 1

x2

7

x 1

1 7

x 1 8 2

2. lim

5

0, так как

lim tg x tg

.

tg x

x

x

2

2

2

Д1 1

3. Покажем, что (х) =

б.м. при x .

x2

Действительно,

1

ε выполняется для всех х,

неравенство

x

2

И

которые удовлетворяют условию x

, т. е. при N

.

Введем теперь определения предела функции при

x и пре-

дела функции, равного бесконечности.

Предел функции на бесконечности

1. Если для любой xn п.б.б.,

lim f xn A, то

lim

f x A

n

x