1.1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§1. Матрицы и действия с ними

Матрицей размера

m n называют совокупность

m n чисел,

расположенных в в де таблицы из m строк и n столбцов:

и

a

a

С

a

11

12

1n

a21

a22

a2n

.

am2

amn

am1

Ч сла ai j , составляющие матрицу, называют элементами мат-

рицы (i номер строки;

j номер столбца. На их пересечении стоит

элемент ai j , i 1,2, ,m;

j 1,2, ,n).

рицы называют прямоугольными (прил. 1).

Д

Для краткости можно обозначить матрицу одной буквой, на-

пример А, ВбАи т.п., или записывать a , где i 1,2, ,m; j 1,2, ,n.

i j

Матрицу размера

1 n

называют матрицей-строкой:

a1,a2, ,an .

И

a1

Матрицу размера m 1

a2

называют матрицей-столбцом:

.

a

m

0

0

0

1

2

0

0

0

i

при

i j;

0

0

0

, или a

i j

3

0

при

i j.

0

0

0

n

Д агональную матрицу, у которой все диагональные элементы

равны ед н це, называют единичной порядка n:

и

0

0

С

1

Е

0 1

0 ,

бА

n

i j

0

0

1

здесь использовано о означение i j

1

при

i j;

0

при

i j.

Две матрицы одного и того же размера A ai j

и B bi j счи-

тают равными тогда и только тогда, когда для всех i

и j

выполняется

равенство ai j bi j .

Д

Суммой двух матриц A ai j

и B bi j

одного и того же раз-

мера m n

называется

матрица

C ci j

размера

m n,

где

ci j

ai j bi j для всех i и j

И

(прил. 2). Обозначение: C

A B.

Произведением матрицы A ai j размера m n на число на-

зывается матрица C ci j

размера m n: ci j ai j

для всех i

и j.

Обозначают C A.

A.

Матрицу C 1 A A называют противоположной матрице

Матрицу C ci j размера m n называют произведением мат-

рицы A ai j

размера m p на матрицу B bi j размера p n, ес-

ли

для всех i

и j элементы матрицы С находятся по формуле

Обозначение: C AB.

Заметим, что произведение AB возможно, если число столбцов

С

матрицы A совпадает с числом строк матрицы B.

хематически это можно изобразить так:

p

n

n

m

A

B

=

m

C

p

бА3. A 0 0 A A.

определено произведение

AB,

то необязательно BA имеет

смыслЕсли. A B квадратные матрицы одного порядка, то опреде-

лены про зведен я AB, и BA, но, возможно, что AB BA.

Если AB BA, то матрицы A и B называют перестановочны-

ми. Из свойств сложения и умножения чисел легко получают свойства

операций над матрицами:

1.

A B B A.

2. A B C A B C .

4.

A A 0.

И

5. A A.

6.

A B A B.

7. AДA A.

8. AB A B A B .

9. A BC AB C.

10. A B C AC BС.

11.

A B C AB AC.

С

4. AB T BT AT .

5. ET E.

НайтиA 1 1 1

0 ;

B

.

Пр меры:

1.

про зведение A B матриц:

столбца

1

1

2

0

3

0

2

4

4 3

1

1

3

1

0

3

А

Решение. У матрицы

четыре

, у

В – четыре строки, поэтому

умножение матриц возможно.

Д

2 0

3

0

1

1

1

11

2

4

AB 1 1

1

0

1

3

4

6 .

1 4

3 1

12

21

0

3

1 1

1

1

1

2

0

И

A 2 1

;

B 2

0

3 .

3 3

1

1

1

1

1

1 1 1

1

2

AB 2 1

0 2 0

3

С

3 3

1 1

1

1

1 2 1

1 0 1

2 3 1

2

2 6

2 0 0

2 2 0

4 3 0 4

2 7 .

3 6 1

3 0 1

6 9 1

10

2 14

Теперь найдем BA:

1

1

2 1

1

1

3

2

1

0

иBA 2 0

1 1

1

3 3

1

1 2 6

1 1 6

1 0 2

9

8

1

2 0 9

2 0 9

2 0 3 11 11

1 .

1 2 3

1 1 3

1 0 1

4

3

2

Д

ЗаметимбА, что AB BA.

1

1

И

2

4

3. Найти AT , если A

.

1

3

0

3

Решение. Матрица A размера 4 2. Матрица AT имеет размер 2 4:

T

1

2

1

0

A

.

4

3

1

3