§20. Кривые второго порядка. Эллипс

в) одну прямую, пару пересекающихся прямых, пару параллель-

ных прямых [например,

(4x +5y +3)2

= 0; x2 y2

0; x2

A2].

Итак, кривые второгопорядка – это эллипс, гипербола, парабола.

Посмотрите видео 3.

Эллипс

Элл псом называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой з которых сумма расстояний до двух фиксированных то-

чек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а

С

(

.14).

F1F2

2c – расстояние между фокуса-

Пусть F1,

F2 – два фокуса.

ми.Если M – про звольнаяточкаэллипса,то

F1M

F2M

=2a 2c.

Введем с стему координат так, чтобы фокусы F ,

F находи-

прил

относительно

1

2

лись

на оси

Oх

с мметрично

начала

координат

(рис. 27).

Составим уравнение эллипса:

2a.

x c 2 y2

x c 2 y2

Отсюда

бА

2 2

x c

y2 2a

x c y

2 .

Преобразуем. Возведем обе части в квадрат:

Д

x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2,

И

a2 cx a

x c 2 y2

.

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

a4 c2x2 a2x2 a2c2 a2 y2,;

a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

После преобразований приходим к уравнению

С

x2

y2

1.

a2

a2

c2

Обознач м a2 c2

b2 ,

получим каноническое уравнение эллип-

са с центром в начале координат

иx2

y2

1,

a2

b2

где a,b,c параметры эллипса, причем a2

c2 b2 ; a,b полуоси.

y

b

бА

F1

F2

x

a

c,0

c,0

a

b

Д

Рис. 27

Если центр эллипса находится в точке x0, y0 , то уравнение эл-

липса имеет вид

И

x c 2 y2

x c 2 y2

2a.

С

После преобразований приходим к каноническому уравнению

гиперболы с центром в точке О:

x2

y2

1.

a2

c2 a2

Обознач м c2 a2

b2

(связь параметров гиперболы), получим

бА

уравнен е

иx2

y2

1,

a2

b2

где a,b полуоси гипер олы (рис. 28).

y

Д

b

x

F1

a

a F2

c

c

b

И