Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2278.pdf
Скачиваний:
53
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
4.86 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

6 6 2 3 20

 

 

 

 

22

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36 4

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) Угол между сторонами АВ и АС равен углу между векторами

 

AB и AC. Для точек A(3,1), B(1,7),С(6,3) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB 1 3;7 1 2;6 ,

AC 6 3;3 1 3;2 .

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

AB

 

AC

 

 

 

2 3 6 2

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

AC

 

 

 

 

 

4 36

 

9 4

 

 

 

 

40

13

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В и С будет равен

 

 

 

Искомый угол между сторонами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos

6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Для вычисления периметра треугольника АВС сложим длины

всех его сторон: Р

 

 

 

 

 

 

С

 

ВС

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2;6 , AC 3;2 ,

ВC 5; 4 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АВ

 

 

 

 

 

 

;

 

АС

 

 

9 4

13;

 

 

ВС

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

4 36

40

 

 

 

25 16

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, периметр треугольника Р

 

40

 

13

 

.

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

§20. Кривые второго порядка. Эллипс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

ax2 bxy cy2

Ax By C 0

называется общим

алгебраическим уравнением второго порядкаИс двумя переменными.

Теорема. Всякое алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости определяет:

1)кривую второгопорядка:эллипс,или гиперболу, или параболу;

2)исключительный случай:

а) пустое множество точек (например, x2 y2 1 0);

б) одну точку (например, x2 y2 0);

83

 

 

в) одну прямую, пару пересекающихся прямых, пару параллель-

ных прямых [например,

(4x +5y +3)2

= 0; x2 y2

0; x2

A2].

 

 

Итак, кривые второгопорядка – это эллипс, гипербола, парабола.

 

 

Посмотрите видео 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эллипс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элл псом называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой з которых сумма расстояний до двух фиксированных то-

чек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

.14).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1F2

 

2c – расстояние между фокуса-

 

 

Пусть F1,

F2 – два фокуса.

 

 

 

 

 

 

ми.Если M – про звольнаяточкаэллипса,то

 

F1M

 

 

 

F2M

 

=2a 2c.

 

 

 

 

 

 

Введем с стему координат так, чтобы фокусы F ,

F находи-

 

прил

относительно

1

 

2

лись

на оси

с мметрично

начала

координат

(рис. 27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим уравнение эллипса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a.

 

 

 

 

 

 

 

x c 2 y2

 

x c 2 y2

 

 

 

Отсюда

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

x c

y2 2a

 

x c y

2 .

 

 

 

 

 

Преобразуем. Возведем обе части в квадрат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

a2 cx a

 

x c 2 y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:

 

a4 c2x2 a2x2 a2c2 a2 y2,;

 

a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 .

После преобразований приходим к уравнению

С

 

x2

 

 

y2

 

1.

 

 

a2

a2

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обознач м a2 c2

b2 ,

получим каноническое уравнение эллип-

са с центром в начале координат

 

 

 

 

иx2

 

y2

1,

 

 

 

a2

 

b2

 

 

 

где a,b,c параметры эллипса, причем a2

c2 b2 ; a,b полуоси.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

бА

 

 

F1

 

 

 

 

F2

x

 

a

c,0

 

 

 

c,0

a

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

Рис. 27

 

 

Если центр эллипса находится в точке x0, y0 , то уравнение эл-

липса имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 2 y y0 2 1.

a2 b2

Если полуоси эллипса совпадают a b R, то эллипс становится окружностью с уравнением

85

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0 2 y y0 2 R2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x0, y0 центр окружности;

R радиус.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметрическое уравнение эллипса с центром в начале коор-

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динат

 

 

 

 

 

 

 

 

x acost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y bsint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметр ческое уравнение окружности с центром в начале

коорд нат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Rcost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y Rsint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч сло

с

 

называется эксцентриситетом эллипса.

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

c2

 

a2 b

2

 

 

 

b

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

, то

1

 

 

 

, 0 эл 1.

 

 

 

a2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

кали.

Чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс по верти-

 

Оптическое свойство эллипса.

Касательная к эллипсу образу-

ет равные острые углы с фокальными радиусами.

ругими словами,

лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса,

после зеркального

отражения от эллипса проходят через второй фокус.

 

 

 

 

 

§21. Гипербола

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,

для каждой из которых разность расстоянийИдо двух фиксированных

точек – фокусов есть величина постоянная, равная 2a (прил.15).

 

Пусть F1, F2

 

– фокусы.

 

F1F2

 

2c – расстояние между фокуса-

 

 

 

 

ми. Если M точка на гиперболе, то

 

 

 

 

F1M

 

 

 

F2M

 

 

 

2a, c a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

Если координаты фокусов F1 c;0 ; F2 c;0 , то уравнение гиперболы примет вид

x c 2 y2

x c 2 y2

2a.

С

 

 

 

 

 

После преобразований приходим к каноническому уравнению

гиперболы с центром в точке О:

 

 

 

 

x2

 

y2

 

1.

 

a2

c2 a2

 

 

 

Обознач м c2 a2

b2

(связь параметров гиперболы), получим

бА

уравнен е

 

 

 

 

 

иx2

y2

1,

 

 

a2

b2

 

 

где a,b полуоси гипер олы (рис. 28).

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

b

x

 

F1

 

a

 

a F2

 

c

 

 

 

c

 

 

 

 

b

И

 

 

 

 

 

Рис. 28

Прямые y b x являются асимптотами гиперболы. a

87

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]