
- •Введение
- •Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •1.1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •§1. Матрицы и действия с ними
- •§2. Определители
- •§3. Обратная матрица
- •§4. Крамеровские системы линейных уравнений. Метод Крамера
- •§5. Крамеровские системы линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •§6. Ранг матрицы
- •§7. Системы линейных уравнений: общий случай
- •§8. Метод Гаусса
- •§9. Однородные системы
- •1.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •§12. Базис и координаты
- •§13. Орт и направляющие косинусы
- •§15. Векторное произведение векторов
- •§16. Смешанное произведение векторов
- •§17. Основные понятия
- •§18. Полярная система координат
- •§19. Прямая на плоскости
- •§20. Кривые второго порядка. Эллипс
- •§21. Гипербола
- •§22. Парабола
- •§23. Плоскость
- •§24. Прямая в пространстве
- •§25. Поверхности второго порядка
- •Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •3.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
- •§ 29. Предел функции
- •§ 30. Основные свойства пределов функции
- •§ 31. Замечательные пределы
- •3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
- •§ 32. Непрерывность функции в точке
- •§ 33. Точки разрыва графика функции и их классификация
- •§ 34. Определение производной функции
- •§ 35. Производные некоторых элементарных функций
- •§ 36. Основные правила дифференцирования
- •§ 39. Дифференциал функции
- •§ 40. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 41. Правило Лопиталя
- •§ 43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
- •§ 44. Схема исследования функции и построения графика
- •§ 45. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
6 6 2 3 20 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 4 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5) Угол между сторонами АВ и АС равен углу между векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB и AC. Для точек A(3,1), B(1,7),С(6,3) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB 1 3;7 1 2;6 , |
AC 6 3;3 1 3;2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
cos |
|
AB |
|
AC |
|
|
|
2 3 6 2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AC |
|
|
|
|
|
4 36 |
|
9 4 |
|
|
|
|
40 |
13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В и С будет равен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Искомый угол между сторонами |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
6) Для вычисления периметра треугольника АВС сложим длины |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всех его сторон: Р |
|
|
|
|
|
|
С |
|
ВС |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Так как AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2;6 , AC 3;2 , |
ВC 5; 4 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
АС |
|
|
9 4 |
13; |
|
|
ВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 36 |
40 |
|
|
|
25 16 |
41 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Итак, периметр треугольника Р |
|
40 |
|
13 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
41 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
§20. Кривые второго порядка. Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Уравнение |
|
ax2 bxy cy2 |
Ax By C 0 |
называется общим |
алгебраическим уравнением второго порядкаИс двумя переменными.
Теорема. Всякое алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости определяет:
1)кривую второгопорядка:эллипс,или гиперболу, или параболу;
2)исключительный случай:
а) пустое множество точек (например, x2 y2 1 0);
б) одну точку (например, x2 y2 0);
83

|
|
в) одну прямую, пару пересекающихся прямых, пару параллель- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ных прямых [например, |
(4x +5y +3)2 |
= 0; x2 y2 |
0; x2 |
A2]. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, кривые второгопорядка – это эллипс, гипербола, парабола. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Посмотрите видео 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Элл псом называется геометрическое место точек плоскости, |
|||||||||||||||||||||||||||||
для каждой з которых сумма расстояний до двух фиксированных то- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а |
|||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
|
.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1F2 |
|
2c – расстояние между фокуса- |
||||||||||||||||
|
|
Пусть F1, |
F2 – два фокуса. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ми.Если M – про звольнаяточкаэллипса,то |
|
F1M |
|
|
|
F2M |
|
=2a 2c. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Введем с стему координат так, чтобы фокусы F , |
F находи- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
прил |
относительно |
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
лись |
на оси |
Oх |
с мметрично |
начала |
координат |
||||||||||||||||||||||||||
(рис. 27). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Составим уравнение эллипса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x c 2 y2 |
|
x c 2 y2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Отсюда |
|
бА |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x c |
y2 2a |
|
x c y |
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Преобразуем. Возведем обе части в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||
|
|
|
x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||
|
|
|
a2 cx a |
|
x c 2 y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84

Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем: |
||||||||
|
a4 c2x2 a2x2 a2c2 a2 y2,; |
|||||||
|
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 . |
|||||||
После преобразований приходим к уравнению |
||||||||
С |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
1. |
|
|
a2 |
a2 |
c2 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обознач м a2 c2 |
b2 , |
получим каноническое уравнение эллип- |
||||||
са с центром в начале координат |
|
|
|
|
||||
иx2 |
|
y2 |
1, |
|
||||
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
где a,b,c параметры эллипса, причем a2 |
c2 b2 ; a,b полуоси. |
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
бА |
||||||||
|
|
F1 |
|
|
|
|
F2 |
x |
|
a |
c,0 |
|
|
|
c,0 |
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||
|
|
|
|
Рис. 27 |
|
|
||
Если центр эллипса находится в точке x0, y0 , то уравнение эл- |
||||||||
липса имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 2 y y0 2 1.
a2 b2
Если полуоси эллипса совпадают a b R, то эллипс становится окружностью с уравнением
85

|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 2 y y0 2 R2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где x0, y0 центр окружности; |
R радиус. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Параметрическое уравнение эллипса с центром в начале коор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
динат |
|
|
|
|
|
|
|
|
x acost; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y bsint. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Параметр ческое уравнение окружности с центром в начале |
||||||||||||||||||||||||||||||||
коорд нат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Rcost; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y Rsint. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ч сло |
с |
|
называется эксцентриситетом эллипса. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
c2 |
|
a2 b |
2 |
|
|
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|||||||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, то |
1 |
|
|
|
, 0 эл 1. |
||||||||||||||||
|
|
|
a2 |
a2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||||
кали. |
Чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс по верти- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Оптическое свойство эллипса. |
Касательная к эллипсу образу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ет равные острые углы с фокальными радиусами. |
ругими словами, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, |
после зеркального |
||||||||||||||||||||||||||||||||
отражения от эллипса проходят через второй фокус. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
§21. Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
для каждой из которых разность расстоянийИдо двух фиксированных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точек – фокусов есть величина постоянная, равная 2a (прил.15). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть F1, F2 |
|
– фокусы. |
|
F1F2 |
|
2c – расстояние между фокуса- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ми. Если M точка на гиперболе, то |
|
|
|
|
F1M |
|
|
|
F2M |
|
|
|
2a, c a . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86

Если координаты фокусов F1 c;0 ; F2 c;0 , то уравнение гиперболы примет вид
x c 2 y2 |
x c 2 y2 |
2a. |
С |
|
|
|
|
|
После преобразований приходим к каноническому уравнению |
|||||
гиперболы с центром в точке О: |
|
|
|
||
|
x2 |
|
y2 |
|
1. |
|
a2 |
c2 a2 |
|||
|
|
|
|||
Обознач м c2 a2 |
b2 |
(связь параметров гиперболы), получим |
|||
бА |
|||||
уравнен е |
|
|
|
|
|
иx2 |
y2 |
1, |
|||
|
|
a2 |
b2 |
|
|
где a,b полуоси гипер олы (рис. 28). |
|
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Д |
||
|
|
|
|
b |
x |
|
F1 |
|
a |
|
a F2 |
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
|
b |
И |
|
|
|
|
|
Рис. 28
Прямые y b x являются асимптотами гиперболы. a
87