2087
.pdf
4. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр больше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу.
Пример: = 12
Х1 = 236,51 237.
Типичные ошибки записи результата измерения представлены в табл. 6.
|
Примеры записи результата |
|
Таблица 6 |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Правильно |
Неправильно |
|
Ошибка |
|
|
1,2 0,2 |
1,244 0,2 |
Лишние цифры в значении результата |
|||
1,24 0,03 |
1,2438 0,0325 |
Лишние |
цифры |
в |
значении |
|
|
погрешности |
|
|
|
1,244 0,014 |
1,244 0,01 |
Грубое округление погрешности |
|||
1,24 0,03 |
1,24 10-2 |
Множитель 10n должен быть общим |
|||
6.3. Обработка многократных измерений постоянных величин
Теоретической базой статистического анализа результатов измерений служат математическая статистика и теория вероятностей. Любой параметр продукции представляет собой случайную величину, при единичном определении которой может быть получено любое значение из установленного множества величин.
Практически при анализе точности можно ограничиться параметрами распределения, одним из которых является среднее арифметическое значение, или математическое ожидание x (см. формулу 12).
Рассеяние значений случайных величин (размеров) в партии
относительно центра группирования характеризуется средним
квадратическим отклонением (см. формулу 13).
Чем меньше величина , тем выше точность изготовления (или измерения), т.е. тем меньше величины случайных погрешностей изготовления (измерения).
Среднее квадратическое значение среднего арифметического x
рассчитывается по формуле
|
|
xi |
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
x |
. |
(16) |
||||
n n 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
По результатам измерения можно установить границы, внутри которых с определенной, заранее заданной исходя из эксплуатационных требований вероятностью, будут находиться значения многократных измерений. Эти границы определяют так называемый доверительный интервал.
Границы доверительного интервала задаются величиной полной абсолютной погрешности Х, которая включает абсолютную случайную погрешность Хсл и абсолютную приборную погрешность
Хпр:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГР X Xсл 2 Xпр 2 , |
|
|
|
|
|
(17) |
|||
где Xсл = х tр;n (Р – доверительная вероятность); |
Xпр |
|
|
t ;n |
|||||
|
|
|
|||||||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
( цена деления прибора).
Таблица 7
Значения коэффициента t при числе измерений n от 2 до 20 и заданной доверительной вероятности Р
|
|
|
|
Доверительная вероятность Р |
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
|
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
2 |
1,00 |
1,38 |
1,96 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,80 |
|
63,70 |
127,30 |
637,20 |
3 |
0,82 |
1,06 |
1,34 |
1,89 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
|
9,92 |
14,10 |
31,60 |
4 |
0,76 |
0,98 |
1,25 |
1,64 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
|
5,84 |
7,50 |
12,94 |
5 |
0,74 |
0,94 |
1,19 |
1,53 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
|
4,60 |
5,60 |
8,61 |
6 |
0,73 |
0,92 |
1,16 |
1,48 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
|
4,03 |
4,77 |
6,86 |
7 |
0,72 |
0,91 |
1,13 |
1,44 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
|
3,71 |
4,32 |
5,96 |
8 |
0,71 |
0,90 |
1,12 |
1,42 |
1,90 |
2,36 |
3,00 |
|
3,50 |
4,03 |
5,40 |
9 |
0,71 |
0,89 |
1,11 |
1,40 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
|
3,36 |
3,83 |
5,04 |
10 |
0,70 |
0,88 |
1,11 |
1,38 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
|
3.25 |
3,69 |
4,78 |
11 |
0,70 |
0,88 |
1,09 |
1,37 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
|
3,17 |
3,58 |
4,59 |
12 |
0,70 |
0,88 |
1,09 |
1,36 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
|
3,11 |
3,50 |
4.49 |
13 |
0,70 |
0,87 |
1,08 |
1,36 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
|
3,06 |
3,43 |
4,32 |
14 |
0,69 |
0,87 |
1,08 |
1,35 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
3,37 |
4,22 |
15 |
0,69 |
0,87 |
1,08 |
1,34 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,33 |
4,14 |
16 |
0,69 |
0,87 |
1,07 |
1,34 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
3,29 |
4,07 |
17 |
0,69 |
0,86 |
1,07 |
1,34 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,25 |
4,02 |
18 |
0,69 |
0,86 |
1,07 |
1,33 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,22 |
3,96 |
19 |
0,69 |
0,86 |
1,07 |
1,33 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,20 |
3,92 |
20 |
0,69 |
0,86 |
1,07 |
1,33 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,17 |
3,88 |
∞ |
0,67 |
0,84 |
1,04 |
1,28 |
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
2,81 |
3,29 |
Графически границы доверительного интервала представлены на рис.23.
Если неизвестна (не задана) приборная погрешность, то границы доверительного интервала определяют по формуле
ГР = Х= x tр;n. |
(18) |
При числе наблюдений п < 20 значения коэффициента tр;n определяют по таблицам функции Стьюдента (табл. 7).
Д
Рис. 23. Границы доверительного интервала
Зная число наблюдений п и задавшись доверительной вероятностью Р, можно найти по табл. 7 значение tр;n и, умножив его на x, определить границы доверительного интервала.
Окончательный результат многократных измерений записывается в виде:
|
|
x x ГР; при Р = … , |
(19) |
где x среднее арифметическое значение измеряемой величины; гр
– граница доверительного интервала (стандартная случайная погрешность); Р – доверительная вероятность.
Вероятность того, что истинное значение измеренной величины x
попадает в указанный доверительный интервал x ГР , называют
доверительной вероятностью Р для серии измерений.
Пример 1. Дать оценку истинного значения измеряемой величины и точности измерения партии деталей из 15 штук 25 мм, обработанных на токарном станке. То есть необходимо указать доверительные границы истинного значения размера с заданной вероятностью Р = 0,95. Приборная погрешность не учитывается.
Решение:
1.Измерим диаметры деталей в одном и том же сечении (расположенном на определенном расстоянии от торца детали), соблюдая постоянство условий измерения. Для удобства дальнейших расчетов результаты измерений занесем в табл. 8.
2.Выполняем необходимые расчеты: среднее арифметическое по формуле (12) и среднее квадратическое отклонение по формуле (16). Промежуточныеиокончательныерасчетызаносимвтабл.8.
3.Определяем коэффициент Стьюдента при 15 наблюдениях результата и доверительной вероятности Р = 0,95 с помощью табл. 7.
tp;n = 2,14.
4.Находим границы доверительного интервала по формуле (18).
ГР = x tp;n = 0,01275 2,14 = 0,027285 мм.
5.Окончательно записываем результат, используя
указанные выше правила округления:
x x ГР= (24,83 0,03) мм; при Р = 0,95.
|
|
Результаты измерений и промежуточные расчеты |
Таблица 8 |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
Размер xi, |
|
Ср. арифм. |
(xi - |
|
), мм |
(xi - |
|
)2, |
(xi - |
|
)2, |
x, мм |
||
x |
x |
x |
|||||||||||||
|
мм |
|
|
|
, мм |
|
|
|
мм |
мм |
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
1 |
24,73 |
|
|
|
|
-0,096 |
0,009216 |
|
|
|
|
||||
2 |
24,90 |
|
|
|
|
0,074 |
0,005476 |
|
|
|
|
||||
3 |
24,89 |
|
|
|
|
0,064 |
0,004096 |
|
|
|
|
||||
4 |
24,82 |
|
|
|
|
-0,006 |
0,000036 |
|
|
|
|
||||
5 |
24,83 |
|
|
|
|
0,004 |
0,000016 |
|
|
|
|
||||
6 |
24,86 |
|
|
|
|
0,034 |
0,001156 |
|
|
|
|
||||
7 |
24,76 |
|
|
|
|
-0,066 |
0,004356 |
|
|
|
|
||||
8 |
24,85 |
|
24,826 |
0,024 |
0,000576 |
0,03416 |
0,01275 |
||||||||
9 |
24,81 |
|
-0,016 |
0,000256 |
|||||||||||
10 |
24,88 |
|
|
|
|
0,054 |
0,002916 |
|
|
|
|
||||
11 |
24,84 |
|
0,014 |
0,000196 |
|
|
12 |
24,79 |
|
-0,036 |
0,001296 |
|
|
13 |
24,78 |
|
-0,046 |
0,002116 |
|
|
14 |
24,86 |
|
0,034 |
0,001156 |
|
|
15 |
24,79 |
|
-0,036 |
0,001296 |
|
|
При обработке косвенных результатов измерений относительная погрешность связана с абсолютной погрешностью следующей формулой (при функциональной зависимости вида f(x, y) = xy и f(x,y) = x/y):
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
(20) |
|
|
||||||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Амперметр с пределами измерений 0…10 А показывает 8 А. Погрешность от подключения амперметра в сеть равна S = – 0,2 А. Среднее квадратическое отклонение показаний прибора I = 0,3 А. Укажите доверительные границы истинного значения измеряемой силы тока в цепи с вероятностью Р = 0,9544 (tp = 2).
Решение:
1. При определении значения силы тока, учитываем систематическую погрешность S с противоположным знаком, т.е.
I = 8 + 0,2 = 8,2 А.
2. Находим границы доверительного интервала
ГР = tp;n x = 2 0,3 = 0,6 А.
3. Окончательно записываем результат измерения
I = (8,2 0,6) А, Р = 0,9544.
Пример 3. При измерении толщины деревянной доски отсчет по штангенциркулю равен 49 мм. Среднее квадратичное отклонение отсчетаh = 0,5 мм. Погрешность от износа губок штангенциркуля S = –0,8мм. Определить доверительные границы для истинного значения толщины с вероятностью Р= 0,9973 (tp =3)в виденеравенства … h …
Решение:
1. При определении значения толщины, учитываем систематическую погрешность S с противоположным знаком, т.е.
h = 49 + 0,8 = 49,8 мм.
2. Находим границы доверительного интервала
ГР = tp;n x = 3 0,5 = 1,5 мм.
3.Определяем максимальное (верхнее) значение h = 49,8 + 1,5 = 51,3 мм.
4.Определяем минимальное (нижнее) значение h = 49,8 - 1,5 = 48,3 мм.
5.Окончательно записываем результат измерения
48,3 h 51,3, P = 0,9973.
Пример 4. Для определения силы инерции измерялись масса тела m = (100 1) кг, ускорение а = (2,00 0,05) м/с2. F = ma. Чему равна предельная погрешность измерения силы.
Решение:
1. Определяем, что задано. Среднее значение массы m = 100 кг; среднее значение ускорения а = 2 м/с2; абсолютная погрешность массы m = 1 кг; абсолютная погрешность ускорения а = 0,05 м/с2.
2.Находим силу инерции F = ma = 100 2 = 200 H.
3.Определяем относительную погрешность через абсолютные погрешности (для косвенных измерений при функциональной зависимости вида f(x, y) = xy и f(x,y) = x/y) по формуле
|
|
m 2 |
|
a |
2 |
|
1 |
2 |
|
0,05 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,027. |
|
m |
a |
100 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Относительная погрешность связана с абсолютной погрешностью формулой
F
F
Выражаем абсолютную погрешность для силы инерции:
F = F =200 0,027 = 5,4 5.
Пример 5. Электрическая мощность определяется по результатам измерений падения напряжения U = 220 В и силы тока I
= 5 А. P = UI. Среднеквадратические отклонения показаний вольтметра U = 1 В, амперметра I = 0,04 А. Записать правильно результат измерения мощности с вероятностью Р = 0,9944 (tp = 2,77).
Решение:
1. Определяем абсолютные погрешности напряжения и силы тока по формулам
U = U tp = 1 2,77 = 2,77 B;
I = I tp = 0,04 2,77 = 0,1108 A.
2. Определяем мощность по формуле
P = UI = 220 5 = 1100 Вт.
3. Определяем относительную погрешность для мощности по формуле
|
|
U 2 |
|
I 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
I |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
2,77 |
2 |
|
0,11 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,025. |
220 |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
4.Вычисляем абсолютную погрешность для мощности:
Р = Р = 1100 0,025 = 27,5 28 Вт.
5.Записываем окончательный результат:
Р= (1100 28) Вт, при вероятности Р = 0,9944.
Контрольные вопросы и задания
1.Объясните, что называется доверительными границами результата измерения?
2.Найдите и правильно запишите результат измерения. Электрическое сопротивление определяется по закону Ома R = U/I. При измерении силы тока и напряжения получены значения U = (100
1) В, I = (2,0 0,1) А. Вероятность Р = 0,95.
3.При многократном взвешивании массы m получены значения в кг: 98; 101; 96; 94; 93; 97; 95; 96. Укажите доверительные границы истинного значения массы с вероятностью P = 0,98 (tp = 2,986).
4.Объясните, что характеризует среднее квадратическое отклонение величины?
Перед нами безумная теория. Вопрос в том, достаточно ли она безумна, чтобы быть правильной.
Нильс Бор
ГЛАВА 7
ОРГАНИЗАЦИОННО-ПРАВОВЫЕ ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
____________________________________________________________
7.1. Государственная система обеспечения единства измерений
Государственная система обеспечения единства измерений
(ГСИ) представляет собой комплекс нормативных документов и органов межрегионального и межотраслевого уровней, устанавливающих правила, нормы, требования, направленные на достижение и поддержание единства измерений в стране (рис. 24).
Основы обеспечения единства измерений (ОЕИ)
Организацион- |
Научно-методичес- |
Правовые |
Технические |
|||||||
ные основы ОЕИ |
кие основы ОЕИ |
основы ОЕИ |
основы ОЕИ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
законодательные |
|
|
система государст. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
метрологические |
|
|
|
|
|
|
эталонов единиц ФВ |
|||
|
|
метрология |
|
акты |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
службы |
|
|
|
|
|
|
система стандартных |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
нормативные |
|
|
образцов состава и |
|
|
|
|
|
|
|
документы |
|
|
свойств веществ и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
материалов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система стандартных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справочных данных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о физических констан- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система государст. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
испытаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 24. Основы обеспечения единства измерений в России
Согласно закону РФ «Об обеспечении единства измерений» принятому в 1993 году «единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах
величин и погрешности измерений не выходят за установленные границы с заданной вероятностью».
Единство измерений необходимо для того, чтобы можно было сопоставлять результаты измерений, выполненных в разных местах, в различное время с помощью разнообразных приборов. Единство измерений обеспечивает взаимозаменяемость изделий, например, деталей, изготавливаемых по одному чертежу на разных предприятиях.
Основным нормативным документом ГСИ является Закон РФ «Об обеспечении единства измерений». На его основе разрабатываются нормативные документы, конкретизирующие общие требования закона применительно к отдельным отраслям народного хозяйства, областям измерений и методикам выполнения измерений.
На рис. 25 приведена схема построения ГСИ.
Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии (Ростехрегулирование)
Государственная метрологическая служба (ГМС)
Государственные научные метрологические центры (ГНМЦ) и органы ГМС с субъектах РФ
Метрологические службы федеральных органов управления
Региональные центры стандартизации, метрологии и сертификации
Метрологические службы юридических лиц
Рис. 25. Государственная система обеспечения единства измерений
Функциональное назначение Ростехрегулирования, ГМС,
ГНМЦ рассмотрено ниже.
Федеральные органы управления РФ (министерства, ведомства и т.д.) создают метрологические службы для выполнения работ по обеспечению единства и требуемой точности измерений и для осуществления метрологического контроля и надзора.
Эти же задачи в каждом регионе выполняют областные (республиканские, краевые) центры стандартизации, метрологии и сертификации.
Метрологические службы могут быть созданы на предприятиях, в организациях, учреждениях.
Объекты ГСИ:
единицы физических величин;
государственные эталоны и поверочные схемы;
методы и средства поверки средств измерений;
номенклатураиспособынормированияметрологическиххарактеристик;
нормы точности измерений;
способы выражения и формы представления результатов и показателей точности измерений;
методики выполнения измерений;
методики оценки достоверности и формы представления данных о свойствах веществ и материалов;
требованиякстандартнымобразцамсвойстввеществиматериалов;
термины и определения в области метрологии;
организация и порядок проведения государственных испытаний поверки и метрологической аттестации систем измерений
ииспытательного оборудования; калибровки систем измерений, метрологической экспертизы нормативно-технической, проектной, конструкторской и технологической документации.
7.2.Субъекты метрологической деятельности
Ксубъектам метрологической деятельности относятся:
Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии (Ростехрегулирование); Государственная метрологическая служба РФ (ГМС); метрологические службы федеральных органов управления и юридических лиц (МС); международные метрологические организации.
В ведении Ростехрегулирования находится Государственная метрологическая служба (ГМС). Кроме того, Ростехрегулирование осуществляет руководство: