1930

Передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном:

где kРC k0 kЭУ k1 kД kТГ .

Находим такое значение k0, чтобы статическая ошибка соответствовала разрешенной:

Вычислить параметры передаточной функции корректирующего звена.

6. Критерий устойчивости Гурвица

Для исследования устойчивости замкнутой САР по критерию устойчивости Гурвица необходимо составить определитель Гурвица. Для этого понадобится характеристическое уравнение замкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы:

WРАЗ (p) WКЗ (p) WЭУ (p) WГ (p) WД (p) WТГ (p). (28)

После подстановки численных значений получим:

Характеристическое уравнение:

где a0 b0 c0,a1 b1 c1...an 1 bn 1 cn 1,an bn cn .

11

Определитель Гурвица системы n–го порядка:

Алгоритм составления определителя Гурвица:

1)a0 > 0 – это условие всегда выполнимо, т.к. левую и правую части характеристического уравнения при необходимости можно умножить на ( – 1);

2)по главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов, начиная от первого и кончая an ;

3)столбцы определителя заполняются вверх от диагональных элементов по возрастающим индексам, а вниз по убывающим индексам;

4)коэффициенты с индексами меньше 0 и больше n заменяются

на 0.

Условие устойчивости системы заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Критерий устойчивости САР четвертого порядка

Характеристическое уравнение четвертого порядка:

7. Критерий устойчивости Михайлова

Для исследования системы на устойчивость по критерию Михайлова необходимо составить передаточную функцию разомкнутой системы и подставить в нее численные значения коэффициентов:

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

где a0 b0 c0;a1 b1 c1;...;an 1 bn 1 cn 1;an bn cn .

Для перехода к частотной форме записи характеристического уравнения делается следующая подстановка: i .

из слагаемых уравнения (40), содержащих четные степени λ; i VD ( )

– мнимая часть комплексного числа, получаенная из слагаемых

Правило построения годографа

Задавая значения частот 0 , вычисляются значения UD ( ) и i VD ( ) . На комплексной плоскости строится годограф Михайлова (рис. 9).

Формулировка критерия Михайлова

Система устойчива, если годограф начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения.

13

Рис. 9. Годограф Михайлова

Пример.

20

WРАЗ(p) 0,1 p4 2 p3 11 p2 23p 1; 0,1 4 2 3 11 2 23 1 21 0 0.

Производим замену i

0,1 4 2 i 3 11 2 23 i 21 0;

UD ( ) 0,1 4 11 2 21; i VD ( ) 2 3 23 .

Составляем таблицу:

По таблице строим годограф (рис. 10):

Рис. 10. Пример построения годографа Михайлова

14

8. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Чтобы построить АФЧХ, необходимо перейти к частотной форме записи передаточной функции разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы:

Амплитуда частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя, а фаза – как разность аргументов числителя и знаменателя (табл. 1).

Амплитуда передаточной функции разомкнутой системы равна произведению амплитуд отдельных звеньев, а фаза – сумме фаз звеньев.

15

Рис. 11. Амплитудно–фазовая частотная характеристика

Условие устойчивости по критерию Найквиста

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(iω) при изменении частоты0 не охватывала точку с координатами ( –1;0) (см. рис. 12).

Рис. 12. Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых систем

Пример.

Исследуем на устойчивость систему с передаточной функцией:

16

Найдем амплитуду и фазу каждого звена:

Составим таблицу значений:

17

Построим график АФЧХ (рис. 13):

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Рис. 13. Пример построения АФЧХ

9. Логарифмический критерий устойчивости

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья так, как было описано в п. 8 – уравнения (41) – (44).

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Логарифмические критерии, так же как и критерии Найквиста, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по виду ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Для систем устойчивых в замкнутом состоянии ЛАХ разомкнутой системы должна пересечь ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перейдёт через значение –π (рис. 14). Или на частоте среза C величина фазы φ должна быть меньше значения – π,

т.е. φ< | –π |.

Запас устойчивости по фазе ( φ) – это величина, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза C , чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде ( L) – это величина допустимого подъёма ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости.

18

При проектировании САР рекомендуется обеспечить: 30 и

L 6дБ .

Таблица 2

Примеры построения ЛАХ и ЛФХ

Рис. 14. Пример ЛАХ и ЛФХ устойчивых и неустойчивых систем (1 и 4 – замкнутая система устойчивая; 2 – замкнутая система на границе устойчивости; 3 – замкнутая система не устойчивая)

19